习题 11-4
1. 研究级数
ΛΛ+??
? ??-+-+++??? ??+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的收敛性和一致收敛性. 解：级数前n 项的和 1n S x n =+，由于1
lim lim 0n n n S x n
→∞→∞==+所以级数收敛，
但[)
()0,11
sup
00x n x n n
∈+∞-=→→∞+， 所以级数在区间),0[+∞上一致收敛。 2.按定义讨论下列函数列或级数在所给区间上的一致收敛性： （1）()()1,1,,2,1,22-==+=-D n n x x f n Λ；
（2）()()∞∞-==+=
,,,2,1,12
2D n x n x
x f n Λ； （3）()[]()∞∞-=-===,,100,100,,2,1,sin 21D D n n
x
x f n Λ.
解：（1）由于 ()()lim n n f x x f x →∞
=@，
所以()(
)21
n f x f x x n
--==
≤
， 于是
()()limsup 0,
n n x D
f x f x →∞∈-=即
(
)()(),1,1.n f x f x x x D =?=∈=-（2）由于对任意的(),,
x ∈-∞+∞有 ()22
lim lim
01n n n x
f x n x →∞
→∞==+
因 ()()221
12n x f x f x n x n
-=≤+， 故 ()()limsup 0,n n x D f x f x →∞∈-= 于是 ()()()22
0,,.1n x
f x f x x n x
=
?=∈-∞+∞+ （3）由于对任意的(),,x ∈-∞+∞有 ()()lim limsin 0,n n n x f x f x n
→∞
→∞
==@
在[]1100,100D =-， 因 ()()100sin n x x
f x f x n n n
-=≤≤，
故
()()1
limsup 0,
n n x D
f x f x →∞∈-=于是
()()[]sin
0,100,100.n x
f x f x x n
=?=∈- 在()2,D =-∞+∞上，()()2
sup 22122n n x D
f x f x f n f n ππππ∈???
?-≥+-+= ? ?????
，
故 ()()2
limsup 0,n n x D
f x f x →∞∈-≠，于是()sin n x f x n
=在(),,-∞+∞不一致收敛。
3. 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
(1)()[]r r x n x n ,,!1-∈-∑; (2) 1,≥>∑r x x
n
n ;
(3) []1,0,2∈∑x n
x n
; (4)
().,,sin 3
4
4∞∞-∈+∑
x x
n nx
解：（1）设 (),1!
n
n r M n =-则
n
M
∑是正项级数，且有
()111!0,!n n n
n n M r r
M n r n
++-=?=→ 即 n M ∑收敛，而对[],x r r ?∈-，有
()()1!1!n n
n
x r M n n ≤=--， 故由优级数判别法知()1!
n
x n -∑在[],x r r ∈-上一致收敛。
（2）当1x r >>时，有n n n
n
r x
≤，且
1.n r →∞= 因此当1
1r <，即1r >时，n
n r ∑
收敛，故由优级数判别法知n n x ∑在1x r >>上一致收敛
而当1r =时，即1x >时，由于()1
limsup 11n n
n x n R x n →∞>≥
→∞??+ ???
所以n n
x
∑
在1x >上不一致收敛。
（3）由于 []221,0,1n x x n n
≤∈，而21
n ∑收敛，
故由M 判别法知2n
x n
∑在[]0,1x ∈上一致收敛。
（4）由于
()43
1,,x n
≤
∈-∞∞，而43
1n
∑
收敛，
故由M
判别法知在(),x ∈-∞∞上一致收敛。.
习题 11-5
1.求下列幂级数收敛域：
（1） ΛΛ+?++?+?n
n n x x x 3323122； （2）()∑∞
=++-112121n n n n x ； （3）2
21
212-∞
=∑-n n n x n ； （4）.)5(1∑
∞
=-n n n x 解：()()113(1)lim lim 13313
n n n n n n x n nx x
n x n ++→∞→∞?==++Q ，所以当13x <时幂级数收敛，当
13
x
>时发散。而当3x =-时由莱布尼茨判别法知级数收敛；当3x =时级数为1n
∑发散。故此幂级数的收敛域为[)3,3-。
（2）()()
()()()()
1
2(1)12221112121lim lim 2323n n
n n n n x n x n x n x n ++++→∞→∞--++?==++Q ，所以当21x <，即1x <时幂级数收敛，当1x >时发散。而当1x =±时由莱布尼茨判别法知级数收敛，故此幂级数的收敛域为[]1,1-
（3）()()()()
22
21
2221212lim
lim 2212212n n
n n n n n x x n x n x n +-→∞
→∞++?==--Q ，所以当212x <
，即x <时幂级数收敛，
当x
>时发散。而当x =
知级数发散，故此幂级数的收敛域为(
（4
）5n x =-， 所以当51x -<，即()4,6x ∈时幂级数收敛，当51x ->时发散。而当4x =时由莱布尼茨判别法知级数收敛，当6x =时
幂级数为为发散级数，故此幂级数的收敛域为[)4,6。 2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： （1）()n
n x n n ∑∞
=+11； （2）11
-∞
=∑n n x n ；
（3）n n x n 41141∑∞
=+； （4）1
211
21-∞
=∑-n n x n . 解：（1）由于该级数的收敛区域为()1,1-，即该级数的和函数
()S x =()()11,1,1.n n n n x x ∞
=+∈-∑
由 (
)(
)
()
1
1
1
200
111x
x
n
n n n x nx x nx
x nt dt x nt dt x x x ---'
'
'
??==?=== ?-??-∑∑∑∑?? ()()()
()()()
()223
21,1,1.11x
n n x x
S x n n t dt x nx x x x '??'
'=
+=?==∈-??--????∑∑?
（2）(
)
()
1
1
20
1111x
n n nx
nt dt x x --'
'
??=== ?-??-∑∑? ()11.x -<< （3）由于该级数的收敛区域为()1,1-，该级数的和函数
()4
4414001111141
411x x n n n t S x x t dt dt n x n x t ∞
+='??==?=? ?++-??∑∑?? =()1
11
ln
arctan ,11.412
x x x x x ++--<<- （4）由于该级数的收敛区域为()1,1-，该级数的和函数
()212120011121
211x x n n n t
S x x t dt dt n n t ∞
--='??=== ?---??∑∑??
()11ln ,11.21x x x x
+=
-<<- 习题 11-6
1. 直接求函数()x x f cos =的泰勒级数，并验证在整个数轴上收敛于这函数。
解：因为 ()cos cos 2
n n x x π?
?=+ ??
?
，
且 ()()()()
()1
100cos 20,,1!1!n n n n x x R x x x x n n ξπ++?
?+ ?-??=-≤
→∈-∞∞++ 故 ()()()00000cos 2cos cos cos .
,.2!n n x x x x x x x x n ππ?
?+ ?????=++-++-+-∞∞ ??
?L L
2.用间接法将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）()x +2ln ； （2）x 2sin ； (3) x xe 2；
(4) x
x
+1； (5)()()x x ++1ln 1； (6)2x x e e --.
解：（1）()()
(]1
1
1ln 2ln 21ln 21,2,2;22n
n n x x x n +∞
=??
??
+=+=+-- ? ?????
∑
（2）()
()
()21
2
1
21cos 2sin 1,,.22(2)!
n
n n x x x x n -∞=-==-∈-∞∞∑
（3）()
()21
1
22.,,.!!
n
n x
n n x xe x x x n n ∞
+===∈-∞∞∑
∑ （4
()()()()(]21
1221
22!11,
1,1;(!)2n n n n x x x x n +∞
-=??=--=+-- ?
??∑
（5）()()()
()()(]1
1
2
11ln 1(1)1,
1,1;1n n n
n
n n x x x x x x n
n n -∞
∞
==-++=+=+---∑
∑
（6）
()()2100111
()!!,,.2
221!
n n x x
n n n n x x e e x n n x n ∞
∞--∞===---==∈-∞∞-∑∑∑
3.将下列函数展开成()1-x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）x ln ； （2）x
1； （3）3x . 解：（1）()()()
()
(]1
11ln ln 111,0,2;n
n n x x x x n
∞
-=-=+-=-∈∑
(2)
()
()()()()23111111(1)1(02)
11n n x x x x x x x ==--+---++--+<<+-L L （3）()()()()()[];2,0,
212213)!(!22112312
20
3
+∞
=??? ??-++-+-+=∑n n n n x n n n n x x
4.将函数()2
31
2
++=x x x f 展开成()4+x 的幂级数。 解：
()()21111
321212
x x x x x x ==-++++++
()()11011
443121321
14,6,2.
2
3n n n n x x x x ∞
++==
-
++????-- ? ?????
??=-+∈- ???∑
5.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：
（1）3ln （误差不超过0.0001）； （2） e （误差不超过0.001）.
解：（1）由()()()35
1ln ln 1ln 12(,1,1135
x x x x x x x x +=+--=+++∈--L ， 令
131x x +=-，解出 12x =，以1
2
x =代人上式得 3511111ln 3223252??
=+?+?+ ???
L 取前四项作为近似值，则误差为
2
511131111
1111211121112132112441110.0000591856111266161614r ??
????
=?+?+
===???-L L
68
1111
ln 31 1.098612807292≈++++≈??。
（2）由2112!x e x x =+++L ，知
4
1111
128684!2
=+++++??L 由于5
3
110.0002604105!2-??=<< ???
，
4
1111
1 1.645828684!2≈+++
+=??。
6. 利用被积函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：
（1）dx
x ?
+5
.00411（误差不超过3
10-）；， （2）dx x
x
?5.00arctan （误差不超过210-）.
解：（1）因为 )11()1(111
)1(21422
<<-+-+-+-=+--x x x x x n n ΛΛ 所以 0.50.54814(1)
4
001(1(1))1n n dx x x x dx x --=-+-+-++??L L 59
1111125292????
=-+- ? ?????
L 此为交错级数，且9
3
110.0002171092-??=< ???
故 0.5
0arctan 1
0.50.4937532
x dx x ≈-=??
。
（2）因为 )11(1
21)1(5131arctan 1
2153≤≤-+--+-+-=--x x n x x x x n n ΛΛ
所以0.50.524122
00arctan 111(1(1))3521
n n x dx x x x dt x n --=-+-+-+-??L L
3
5
21
12221111111[(1)23252(21)2n n n --??????
=-+-+-+ ? ? ?-??????L L
此为交错级数，且5
22110.001251052-??
=< ???
故0.5
arctan 1
0.50.48698
x dx x ≈-=??
。 7.将函数()x e x f x cos =展开成x 的幂级数。
解：()()()22000
11cos 2cos ,!2!4!n
n n x
n n n n n n x e x x x n n n π∞
∞∞===-=?=?-∞∞∑∑
∑。
习题 11-7
1.在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）()));202;1,πππ<<<<-=x x x x f (2) ())).202;1,2πππ<<<<-=x x x x f
解：（1） 1) 因为()f x x =在x ππ-<<上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。
因为()f x x =在x ππ-<<上为奇函数，故0,0,1,n a n ==L ，
()1
12
2
2
2sin cos cos cos 20n n b x nxdx xd nx x nx nxdx n n n n
π
π
π
ππ
π
π
π+-=
=-
=-+
=
??
?
?
所以()f x =()
1
1
12sin .n n nx n
+∞
=-∑
x ππ-<<
2）因为()f x x =在02x π<<上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。
()22000
1
1
2,a f x dx xdx π
π
πππ==
=?
?
2200
1
1
()cos cos 0,n a f x nxdx x nxdx π
π
ππ===?
?
220
1
1
2
sin sin ,n b x nxdx x nxdx n
π
π
π
π
=
=
=-?
?
故 ()()11
2sin ,0,2n f x nx x n
ππ∞
==-∈∑。
（2） 1) 因为()2f x x =在x ππ-<<上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。
()2
201
1
2,3
a f x dx x dx π
π
π
πππ
π-
-==
=?? ()221
14
()cos cos 1,,1,n n a f x nxdx x nxdx n n
π
ππ
ππ
π-
-=
==-=??L ，
2
1
1
()sin sin 0.n b f x nxdx x nxdx π
π
ππ
ππ-
-
=
==??
所以()f x =()()22
1
1cos 41.x ,3n n nx
n πππ∞
=+-∈-∑ x ππ-<< 2）因为()2f x x =在02x π<<上按段光滑，可以展开为傅立叶级数。
()222
20001
1
8,3a f x dx x dx π
π
πππ=
=
=??
222200114
()cos cos ,n 1,n a f x nxdx x nxdx n ππππ===≥??
22200114
sin sin ,n 1,n b x nxdx x nxdx n πππππ===-≥??
故 ()()221
4cos 4(sin ),0,2.3n nx f x nx x n n π
ππ∞
==+-∈∑
2.把函数()ππππ
<≤<<-?????-=x x x f 00
44展开成傅立叶级数，并由它推出：
（1）;71
513114Λ+-+-=π
（2）;17
1
131111715113Λ++--+=π
（3）
.17
1
1311117151163Λ-+-+-=π 解：因为()f x 是按段光滑，可以展开为傅立叶级数。其中
()0001
1
[0,44a f x dx dx dx π
ππ
πππ
π
π-
-??=
=
-+= ???
???
01
1
()cos [cos cos 0,44n a f x nxdx nxdx nxdx π
ππ
ππππ
π-
-??
??==-+= ? ?????
???
()001
1
1()sin [sin sin ]11,n 1,
442n
n n b f x nxdx nxdx nxdx π
ππ
ππππ
π-
-??????=
=
-+=--≥ ? ???????
???所以()f x =().12sin 121
1
x n n n --∑∞
= ()(),00,x ππ∈-? 当2
x π
=
时，有
()11111
sin 211.4
21
2357n n n π
π∞
==-=-+-+-∑
L
由()111111
sin 21(1).12
21
23357n n n π
π∞
==-=-+-+-∑
L 可得：
111111111111(1)1;34
1235739152157111317π
π
π
??
=
+
=-+-++-+-+=+--++ ???
L L L 当3
x π
=
时，有
(
)1111111
sin 21)4
21
3257111317n n n π
π∞
==-=-+-+-+-∑
L
从而
.17
1
1311117151163Λ-+-+-=π 3.对于三角级数 ∑∞
=++1
)sin cos (2n n n nx b nx a a ，若级数
∑∞=++10)(2n n n b a a 收敛，则它在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。
证：因为 ()cos sin ,,n n n n a nx b nx a b x +≤+∈-∞∞
所以若级数
∑∞
=++1
)(2n n n b a a 收敛，则由比较判别法知：三角级数绝对收敛，由优级数判别法知：三角级数一致收敛。
4.设()x f 是以π2为周期的可积函数，证明()x f 的傅立叶系数为
).
,3,2,1(sin )(1
)
,3,2,1,0(cos )(1
22ΛΛ==
==?
?++n nxdx
x f b n nxdx x f a c c
n c c n π
π
ππ（其中c 为任意实数）
证：
()()()221
1
1
1
()cos ()cos ()cos ()cos 1
1
cos 2cos 2.(0,1,2,3,)
c c c
c
c
n n
c
f x nxdx f x nxdx f x nxdx f x nxdx
a f x nxdx f t n t dt a n π
π
π
π
π
π
π
πππππππππ
+-+-
--
=
+
+
=+
+
++==?
?
???
?Q
L ()()()221
1
1
1
()sin ()sin ()sin ()sin 1
1
sin 2sin 2.
(1,2,3,)
c c c
c
c
n n
c
f x nxdx f x nxdx f x nxdx f x nxdx
b f x nxdx f t n t dt b n π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
πππ
π
+-+-
--
=
+
+
=+
+
++==?
?
???
?Q L 。
5. 设周期函数()x f 的周期为,2π证明： （1）如果
()()x f x f -=+π，则
()x f 的傅立叶系数
()Λ,2,10,0,0220====k b a a k k ；
（2）如果()()x f x f =+π，则()x f 的傅立叶系数()Λ,2,10,01212===--k b a k k . 证：（1） 由于 1
()cos n a f x nxdx π
ππ
-
=
? ()()()()()()()()()0
10
1
[cos cos 1
[cos cos 1
[cos cos 1
11cos ,
0,1,2,n f x nxdx f x nxdx
f x nxdx f x nxdx
f t n t dt f x nxdx
f x nxdx n π
ππ
π
ππ
π
π
ππ
ππ
π
--+=+=-++=--+??=-+=??
?
??
????
L
故 ()020,0,1,2,k a a k ===L 同理有20,1,2,.k b k ==L
（2）由于 1
()cos n a f x nxdx π
ππ
-
=
?
()()()()()()()()()0
1
[cos cos 1
[cos cos 1
[cos cos 1
11cos ,0,1,2,n f x nxdx f x nxdx
f x nxdx f x nxdx
f t n t dt f x nxdx
f x nxdx n π
ππ
π
ππ
π
π
ππ
ππ
π
--=+=++=-+??=-+=??
???
????
L
故()x f 的傅立叶系数()210,1,2,k a k -==L .同理有210,1,2,.k b k -==L 6.把下列各周期函数展开成傅立叶级数，其中一个周期内的表达式为： （1）();212
112??
? ??≤≤--=x x x f （2）().3
0031
12<≤<≤-???+=x x x x f
解： （1）因为()21f x x =-在1
1
2
2
x -≤≤
上为偶函数，故0,1,2,n b n ==L ， ()1
22102
1222[(1)],12l l a f x dx x dx l --==-=??
