对线性代数课程教学体系及教学方法的思考
摘要：线性代数是一门非常抽象，难于理解的学科，本文通过对现有线性代数课程教学体系和教学方法思考，使学生对线性代数学习的兴趣，从而更好地掌握运用到生活中。并且总结了教学方法及教学过程中应注重的问题。
关键词：线性代数课程体系教学方法
中图分类号：g424 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）02（a）-0099-01
线性代数是高等学校理工科各专业以及经济类专业的一门重要
的基础理论课，主要研究变量之间普遍存在的线性关系。可以毫不夸张地说线性代数是很多专业课的前导课程，如果线性代数学不好，会直接影响其专业课的学习，由于该学科具有抽象性，严密的逻辑性和广泛的应用性这三个特性，所以学习起来比较困难，要付出一定努力，下一定功夫才能掌握，线性问题广泛出现在科学研究的各个领域，很多技术也应用到线性代数，在当今社会科学技术不断飞速发展的今天，该课程也就成了重中之重，享有“数学学科之王”的地位。学生通过对线性代数的理论学习能培养学生良好的运算能力、逻辑思维能力、抽象分析能力、综合推理能力以及锻炼自己数学建模的能力，另外通过该门课程的学习可以为其后续的专业课做铺垫，例如计算机专业的学生等，为了使这类学生能更好的掌握自己的专业知识，我们一直在努力地从课程体系、教学内容及方法和教学手段等多个方面，进行探讨摸索如何使学生能更好的理解
大学线性代数教学改革的几点思考 作者：王慧贾利东 来源：《数学学习与研究》2019年第17期 【摘要】大学线性代数课程具有理论性强、具有高度抽象的思维方式、计算复杂等特点.本文结合这些特点，从不同方面分别探讨了线性代数教学改革中，教学方式和课程系统的相应对策，希望能够提高线性代数教学水平的质量，并且提高大学生对大学数学的认知率. 【关键词】抽象性;案例教學;传统教学;线性代数;教学改革 一、引言 线性代数是理工科经济学科、管理学科等学生在大学中必须修的一门公共基础课程.学好线性代数为很多专业学生学习后续相关课程打下了坚实的基础，同时也可以为科学研究提供科学的理论和工具.很多大学线性代数教师在教学课堂缺乏对实际应用问题的举例证明.很多大学在这门课程的教学安排上，多采取以教师为中心的教学方式，但是很少在课堂上引入学习操作数学软件等内容，再加上线性代数课程难度高，思维方式比较抽象，所以很多大学生对线性代数的学习并不感兴趣.目前，部分大学院校针对这一问题进行了相应的讨论并进行实验改革——尝试将应用引入到教学课堂中，并将数学实验与线性代数学习相结合.这些改革措施在一定程度上起到了积极的作用，但因为时间比较短、默契度不够高、研究范围和力度都比较小，所以取得的效果并不明显.下面笔者针对当前线性代数教学的过程中所出现的相关问题给出了一些思考和改革措施. 二、线性代数教学改革的现状和目标 线性代数对大多数的大学生来说难度很大，主要是因为线性代数中有很多极具抽象性意义的概念，对大学生初学者而言很难懂，比如，为什么矩阵的乘法是这样运算？向量的线性相关是什么意思、有什么用处？这一系列的抽象概念让学生普遍感到无法理解、接受不了.所以线性代数的教学模式必须进行调整. 线性代数教学有以下几个改革目标：（1）要结合学生学习的实际情况和对知识的掌握程度进行代数讲解.比如，利用运算这一基础知识和lingo软件讲解线性代数，以及数值怎样运算等.（2）运用科学的教学方法将学生培养成应用型人才，提高学生在线性数学方面的实践能力.（3）运用多元化的教学方法进行教学.如课堂教学为主、远程教学为辅，对知识进行讲解、辅导作业等.学习和讲授线性代数这一门课程需要将主要知识与实际问题结合起来，积极地鼓励学生超越自我、转变传统的思维模式，同时还需要将专业知识运用到线性代数的思考之中，两者相结合才能相互发展、共同进步.（4）在教学过程中将线性代数的抽象性向应用性转变.在实
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
教学方法与手段 根据学前教育专业的人才培养规格及要求，以“精品课程”建设为契机，完善课程体系，增加技能训练比重，理论教学与实践教学并重；以教材建设为基点，更新课程内容，满足课程改革需求。建立了适应高职教育要求的、以岗位职业能力为核心的课程体系。在教学改革上，推行“基础知识教学—基本能力训练--案例教学--模拟教学——顶岗实训”人才培养模式，以工学结合为切入点，按照具体岗位需求进行教学设计、教学评价，在具体教学过程中采用项目导向教学法、注重学生的体验式学习，引导学生在实践的过程学习、体验、反思、再学习、再体验，不断提升学生的综合能力。 在教学方法的运用上，鼓励教师根据教学目的、教学内容和学生特点灵活地运用讲授、谈话、讨论、示范、练习、情境、发现等多种教学方法，并采用案例教学、情境教学、模拟教学、图式教学等教学模式，不拘一格，各具特色。针对课程的具体特点和学生的实际情况，开展体验性学习。归纳并应用了多种互动式教学形式和方法，如头脑风暴法、课堂讨论法、情景模拟法、角色演练法等，突出学生的主体地位，重视因材施教，因材施教，真正让学生成为课堂的主角，实现课堂教学与具体实践的互动，将案例教学贯穿课程始终，进行院内模拟试讲和实训基地实战演练，根据课程内容及学生实际，灵活运用各种教学手段，结合现代教育的特点，充分利用现代化教学手段，运用电教设施和多媒体设施以及网络资源辅助教学，不断丰富网上内容，把部分教案、自制课件、参考书目、习题、理论教学大纲及实践教学
大纲等挂到网页上，供学生上网点击、查阅，实现资源共享，将现代教学手段与传统教学手段相结合，收到了良好的效果。 网络教学资源建设初具规模，并能经常更新，运行机制良好，在教学和学生自主学习中发挥积极的、实际的作用。教学方法的灵活运用极大地激发了学生学习积极性和热情，提升了教学质量和效果，促进了学生职业能力发展的发展。在教学组织形式上，主张教师依据课程特点及学生实际，对个别教学、集体教学、分组教学等教学组织形式进行优化组合，因课而异、因人而异，确保高效。 课程建设与职业能力训练和职业技能鉴定与考核紧密结合。在学生中开展职业技能考证工作，学生在毕业时既有毕业证，又有职业资格证书。学生职业资格证书和技术等级证书已纳入教学计划中，学生毕业除了必须通过所学的各门课程之外，还必须获得高等学校英语应用能力考试A级证书、国家劳动与社会保障部颁发的全国计算机信息高新技术考试中级操作员证书和国家劳动与社会保障部颁发的中级育婴师等级证书。获得大连市人事局幼儿教师职业资格证书；获得北京儿童教育研究院蒙特梭利教师资格证书；获得北京儿童教育研究院感觉统合教师资格证书；获得奥尔夫音乐教育学会奥尔夫教师资格证书等。 学生获得育婴师职业资格、感觉统合教师资格、蒙特梭梭利教师资格证书的比例达到98%。 积极探索适合学前教育专业特点的考试模式，考核方式新、改革力度大、效果好。进行了《幼儿园课程与教育活动设计》课程考核改
高校线性代数教学改革 第一篇：高校线性代数教学改革 一、从教学内容角度进行高校线性代数教学改革 对于非数学专业学生而言，线性代数学科只是一门提供思维方式和数学应用工具的公共基础课，所以其学习内容应重在应用，而不应让定理、推论等复杂的证明过程占据教学内容的较大份额，这不仅使学生的学习负担加大，而且教学意义并不明显，教学内容中以抓住知 识点间的内在联系，使学生对核心问题全面认知，通过精选的教学内容和优化的课程体系，培养出线性代数逻辑思维，并在实践中可以灵活应用，是教学内容改革的目标，例如，在讲授行列式和矩阵的秩定义内容时，如果教师突破教材内容的限制，以线性方程组为基础，进行矩阵与矩阵初等切换、矩阵分块计算和可逆矩阵的授课，在学生有所掌握的前提下对矩阵 的秩进行定义，引入向量组的线性相关性和向量组的秩，这时学生对矩阵的秩已经有了比较 全面的了解，教师在引导学生对知识进行巩固的过程中，传授线性方程组的解相关知识，由此引向行列式，学生就可以对整块知识系统的理解，而且这个顺序与MATLAB十算软件应用 保持同步，教师可以引导学生利用计算软件解决生活中常见到的现象，这样不仅可以培养学 生的数学应用能力而且也能调动学生的学习兴趣，由此可见精简教学理论推导内容，增加实验和应用内容是教学内容改革的途径。 二、从教学方法角度进行高校线性代数教学改革 高校线性代数课程内容多但课时并不多，所以教学效果对教学方法的依赖性非常强，教学改革要求突出数学的应用性，所以教学方法也要随之做出调整，笔者个人觉得以下几种教 学方法效果较理想，一种是探究式教学法，高校学生的思维和心理都较成熟，有较强的探索和处理问题的欲望，教师可以结合教学内容，引导学生发现问题，然后让学生自主查阅资料，总结分析，找到解决的办法，使学生在参与的过程中掌握知识，调动其学习的兴趣，例如在讲完mx n矩阵定义后，教师可以写出一个n阶行列式，让学生自行找出其特征，以此加深 学生认知，并为特殊矩阵教学做铺垫；一种是研讨式教学法，教师根据教学目标在课前设计 教学脉络，逐步引导学生进行思维扩展，学生在探索的过程中逐渐掌握主动权，使学生成为线性代数课堂上的主人翁，例如在学习行列式定义与性质时，教师就可以在先进行系统的讲解，使学生的思维不断扩展，然后把问题抛给学生，让其尝试进行总结等，除此之外，参与式教学法、头脑风暴法、直观展示法等都可以结合教学内容进行应用。 三、从教学手段角度进行高校线性代数教学改革 随着信息科技的发展，教学手段逐渐趋向多样化，例如电子白板、计算机、幻灯片、互 联网等都成为现代教学的重要手段，这为线性代数教学手段改革提供了可能，例如教师利用 1 / 2
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数（B 类）课程教学大纲
理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其性质与求法。 理解相似矩阵的概念及性质以及n 阶方阵能相似于对角矩阵的充要条件。掌握求矩阵的相似对角矩阵的方法。 理解正交矩阵的概念及其性质。 了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。掌握实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法。 对于相似于对角矩阵的方阵，能由方阵的特征值与特征向量构造出对应的方阵。 6.第六章实二次型（学时数：2.5 次课5 学时，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、 B3、C1、C2、C4 ） 理解实二次型和它的矩阵、秩等概念。了解实二次型经非退化的线性代换仍为二次型且秩不变的性质。 知道矩阵的合同的概念及简单性质。 理解二次型的标准形与规范标准形的概念。熟练掌握用正交代换化二次型为标准形。会用配方法化二次型为标准形。能用非退化的线性代换化二次型的标准形为规范标准形。 了解惯性定理。理解正定二次型与正定矩阵的概念及其性质。掌握正定二次型的判别方法。 7.第七章线性变换（学时数：4 ～6，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、B3 C1、C2、C4 ）（由于课时所限，课堂教学不讲授该章的内容） 了解线性变换、变换的象与原象等概念。知道线性变换的简单性质。 了解线性变换与矩阵之间的关系，知道线性变换的矩阵。 掌握Ｒ^n 中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。 了解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。掌握在Ｒ^n 中利用过渡矩阵求线性变换在不同基下的矩阵的方法。 了解在一般的线性空间中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。了解线性变换在不同基下的矩阵的求法。
世界四大教学体系 近年来，随着我国经济上的对外开放，文化交流也日益频繁起来，世界上较有影响的音乐教育体系和教学方法通过各种传播媒介传入我国，推动了我国音乐教育理论与实践的发展。在学校、幼儿园，呈现了音乐教育内容与形式的多样化。 达尔克洛兹(1865-1950)是瑞士音乐教育家。他创建了著名的“体态律动学”。体态律动学音乐教学法主要特点是把音乐与身体的感应和运动紧密结合起来。即让学生通过身体来体验节奏感，从而培养学生们的想象力、创造性，使学生们在课堂上保持注意力的高度集中，训练学生耳聪目明，反应敏捷。 生活中我们常常看到，当幼儿听音乐时，会自然而然地摇头晃脑、手舞足蹈，这就是生理和心理两方面同时产生强烈反应的表现。所以，音乐教育也应同时从身心两方面去启发、去引导和训练幼儿，让孩子从一开始接触音乐就习惯于同时从身心两方面去感受音乐，做到不仅心理上对音乐有所感受，而且生理上整个肌体也能感受音乐节奏、音乐的呼吸和情绪起伏的律动，这样就能使学生真正地感受音乐、理解音乐的精髓，所以身体的动作本身就是音乐的化身，身体的动作产生于音乐，反过来音乐也体现在身体动作中。这样的身体动作才是真正充满生命力的。 达尔克络兹全部教学法包括三个部分，除体态律动学外还有视唱—节奏性视唱、即兴两部分。这里不再一一详述。 柯达伊教学法是由匈牙利著名作曲家和音乐教育家柯达伊·左尔坦(1882-1967)倡导和建立的音乐教育体系和教学法。他认为器乐文化永远不可能成为大众的文化，只有歌唱，才能属于每一个人。所以，该体系以集体歌唱为主要教学形式，教材大多取材于匈牙利民歌或以本民族风格创作的多声部合唱，以五声音阶为视唱教学的支柱，采用首调唱名法及柯尔文手势等教法，有高度严谨的结构系统性。 他非常重视儿童的早期音乐教育，所以无论从教材的选择还是教学顺序的安排上都充分考虑儿童的接受能力和特点。比如，在节奏方面，从适合儿童自身活动的节奏特点(行走合乎四分音符，跑步合乎八分音符)入手，在曲调方面，从幼儿发声最早、最自然的音调下行小三度(Sol-mi )起步。幼儿的启蒙教育虽然是初步的，简单的，但它应是正规的入门，需要素质较高的音乐教师。
几种主要行动导向教学方法介绍 项目教学法概述 一、项目教学法的概念。 项目教学法就是在老师的指导下,将一个相对独立的项目交由学生自己处理，信息的收集、方案的设计、项目实施及最终评价、都由学生自己负责,学生通过该项目的进行,了解并把握整个过程及每一个环节中的基本要求的教学方法。一个项目是一项计划好的有固定的开始时间和结束时间的工作，项目结束后应有一件可以看到的产品。在项目教学法中,项目指以生产一件具体的、具有实际应用价值的产品为目的的任务。“给你55分钟,你可以造一座桥吗？ 二、项目教学法的特点 （1）以项目为主线，注重过程.（２）问题导向。（3）产品导向.(4)注重理论与实践相结合。（5)学生主体。(6)教师主导。(7)适合于复杂问题的分析和解决。 三、项目教学法的实施程序 １．确定项目 原则上，项目教学法中的项目要基于所有现实问题进行开发，这样的话,项目的目标和其中的任务就能与职业现实紧密联系.教师的任务是开发一个与职业工作实践密切相关的项目主题，项目中有待解决的问题应同时包含理论和实践两个元素，项目成果能够明确定义将设计的项目融入到课程教学中确保项目工作进行的空间、技术、和时间等前提条件。 项目的目标和任务应由项目所有参与人员共同确定。项目可由教师单独确定，也可由师生共同确定,也可由学生围绕教师的要求自主确定.这样能够有效激励参与人员来实施项目，并唤起所有参与人员的兴趣和参与意识。在整个教学过程一个项目又可以分为2―3个子项目或任务。有些难度较大项目提供给有能力的学生. 2。制定计划 本阶段中心任务：学生通过调研、实验和研究来搜集信息、来决策，如何具体实施完成项目计划中所确定的工作任务。教师提供相关参考资料,学生查阅相关资料，获取有关的信息,补充必要的知识和技能。
经济研究导刊 ECONOMIC RESEARCH GUIDE 总第185期2013年第3期Serial No .185 No .3，2013线性代数这门课程是高等学校工科学生的重要的基础课程，也是工科专业课程的必备的基础课程。线性代数作为基本的数学工具在自然科学和工程技术等领域中的地位日益受到重视。线性代数的理论思想是计算机技术的基础。随着计算机技术的发展，很多工科专业，如信息科学，机械工程，土木建筑等，对线性代数的要求越来越高。线性代数［１］这门课程的特点是概念比较抽象，概念之间的联系紧密。但是工科线性代数没有数学专业要求的高，因此，为了更加强调线性代数在工科专业中的思想方法和实用性，我们进一步地对工科线性代数的教学改革进行不断的探讨。 数学教育家斯托利亚尔［２］关于数学课程现代化的观点对我们同样富有启发性。他说，数学教学落后于现代数学科学与其说在于内容，还不如说在于思想基础和内容的逻辑结构，就是说，要把教学建立在现代数学的思想基础上，使课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言，使学生的思维向现代数学思维发展。线性代数也是如此，它在工科中的应用主要是它的思想方法和实用价值。因此，在工科专业线性代数的教学中，我们应重点强调线性代数在工科专业应用中的思想方法。随着自然科学的发展，人们所考虑的问题越来越复杂，并且为了更好体现实际的自然现象的精确性，由此而产生的数学模型中所涉及的变量越来越多。对于这样复杂的问题从数学的角度需要进行简化为线性的形式才容易从计算的角度来得到它们的更精确的表现形式，从而应用到实际的具体的自然现象中去。于是线性代数的大规模的线性计算方法也就成为了工科专业中的重要的数学工具。然而，由于线性代数具有抽象的概念，严谨的逻辑思想以及相对独立性的解题思想方法和大量的烦琐计算，使得工科学生在学习线性代数的过程中感觉不到它的实际意义和广泛的应用。大多数工科的学生对线性代数学术感到很乏味。我们结合线性代数在工科中的广泛应用，为提高和培养工科学生学习线性代 数的兴趣，在工科线性代数教学经验的基础上，从教学方法、教学手段和教学实践等方面探讨工科线性代数的教学改革。 １．从教学方法方面进行探讨。很多学生感到线性代数的概念比高等数学的概念抽象得多，更难理解。因此，在教学中就要选择合适的方法来引导学生理解这门课程的实质和广泛应用，结合工科专业的一些应用来讲解和引入概念、方法等，使得学生更容易接受所学知识并激发学生学习线性代数这门课程的兴趣。对这方面的探讨我们主要从下面几个不同的角度来考虑。 首先，讲解概念时很多教材忽视了引入概念的实际背景，从而让学生感到概念很抽象。因此在教学过程中，教师最好通过实际的例子来引入各种不同的概念，使学生对概念的思想由来得以把握，从而使学生更能把线性代数和实际联系起来。例如在引入矩阵的概念时结合工程中或经济生活中为解决问题而得到的大量实验数据以及这些实验数据之间的关系，可以用矩阵形式来表示，这样既方便又容易理解。 其次，在讲解线性代数中的不同计算思想和方法时，最好可以寻找到这些思想方法的由来和源泉及其在应用中的重要作用，从而激发学生学习线性代数中的各种方法的积极性。 另外，在讲解线性代数的各种计算方法时，要注重思想方法的讲解，从简单的典型计算入手，让学生感到方法的思想和技巧也就够了。随着现代技术的发展，很多工科专业的实际运用相关软件进行处理的，而这些相关软件是通过计算的原理和思想进行编程而得到的。因此，很多时候一定要让学生理解处理问题的思想和实质，在线性代数的计算方面只需学生掌握有代表性思想的低阶的行列式计算方法或低维的线性方程组的解法，不必进行大量的复杂计算来理解方法的运用。 最后，有关习题或例题的选讲问题。我们除了在讲解概念后给出例子来说明概念的应用，还可以在每一章节后面多 收稿日期：２０１２－１１－０６ 基金项目：广西新世纪教改工程“十一五”项目资助（桂教高教[2007]109）作者简介：郭艳凤（1976－），女，河南新乡人，副教授，硕士，从事应用数学研究。 工科线性代数教学改革之探讨 郭艳凤，张明俊，黄李韦 （广西工学院信息与计算科学系，广西柳州５４５００６） 摘要：根据线性代数这门课程的特点，结合线性代数在工科中的广泛应用，为培养和提高工科学生的学习兴 趣，在工科线性代数教学经验的基础上，从教学方法、教学手段和教学实践等不同的角度探讨工科线性代数的教学改革。 关键词：教学方法；教学手段；教学改革；工科线性代数中图分类号：Ｇ６４２．０ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０１３）０３－０３０１－０２ ３０１——
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令
我国教育法体系的纵向结构包括 教育法规体系的纵向结构包括哪些呢? 首先是宪法中关于教育的条文;其次是教育基本法，在我国来说，教育的基本法有且只有一部，那就是《中华人民共和国教育法教育》;其次是单行法，什么叫单行法呢?就是调整某一类教育或者教育某一方面工作的教育法规，比如我国的《教师法》《义务教育法》等;再次是教育行政法规，教育行政法规是国务院颁布的有关教育行政管理的规范性文件。比如《教师资格条例》等;然后是地方性教育法规，地方性教育法规是省自治区直辖市的人大或者人大常委会制定的规范性文件;最后是教育行政规章。教育行政规章分为部门教育规章和地方政府教育规章。所谓部门教育规章其实是指教育部颁布的一些关于教育的规定性文件，而地方政府教育规章是指省自治区直辖市政府制定的有关教育的规定性文件。这就是教育法规体系的纵向结构，需要大家一定要熟记。 这部分在考试中如何来考察呢?一方面它会考察这个纵向结构体系中各部分效力的大小，这个是比较简单的。我们应该可以看得出来，效力最高的肯定是宪法，其次是基本法，然后单行法，再下去依次就是教育行政法规，地方性教育法规，教育行政规章。因此做这种题只需要把这个顺序记住就行了，比较简单。但是有时候它会考察的灵活点，怎么来考察呢?它会给你一部教育法律，来问你它属于纵向结构中的
那一层次?这个怎么做呢?今天就教给大家一个小技巧，那就是看它的制定主体。在这个纵向结构中，宪法和基本法都是全国人大制定的，而单行法律是全国人大常委会制定的，教育行政法规是国务院制定的，地方性教育法规是省自治区直辖市人大或者人大常委会制定的，而教育行政规章刚才也说过，部门规章是教育部制定的，地方政府教育规章是省自治区直辖市政府制定的。这样根据制定主体来做这种题，是比较好用和可靠的方法。 好了，这是教育法律法理部分的一些内容，我们今天就先学习这么多，下次我们接着进行学习。 牛刀小试： 国务院颁布的《教师资格条例》属于教育法规纵向结构中的( ) A.基本法 B.单行法 C.部门教育规章 D.教育行政法规 答案：D 解析：由国务院颁布的有关教育教育行政管理的规范性文件属于教育行政法规。
常用教学方法介绍 一、国外学者的教学方法分类模式 1、巴班斯基的教学方法分类 依据是对人的活动的认识，认为教学活动包括了这样的三种成分，即知识信息活动的组织、个人活动的调整、活动过程的随机检查。把教学划分为三大类：第一大类：“组织和自我组织学习认识活动的方法”。 第二大类：“激发学习和形成学习动机的方法”。 第三大类：“检查和自我检查教学效果的方法”。 2、拉斯卡的教学方法分类 分类的依据是新行为主义的学习理论，即刺激——反应联结理论。 （教学方法——学习刺激——预期的学习结果） 依据在实现预期学习结果中的作用，学习刺激可分为A、B、C、D四种，据此相应地归类为四种基本的或普通的教学方法。 第一种方法：呈现方法。 第二种方法：实践方法。 第三种方法：发现方法。 第四种方法：强化方法。 3、威斯顿和格兰顿的教学方法分类 依据教师与学生交流的媒介和手段，把教学方法分为四大类： 教师中心的方法，主要包括讲授、提问、论证等方法； 相互作用的方法，包括全班讨论、小组讨论、同伴教学、小组设计等方法； 个体化的方法，如程序教学、单元教学、独立设计、计算机教学等； 实践的方法，包括现场和临床教学、实验室学习、角色扮演、模拟和游戏、练习等方法。
二、中国学者建构的教学方法分类模式 1、李秉德教授主编学论中的教学方法分类 按照教学方法的外部形态，以及相对应的这种形态下学生认识活动的特点，把中国的中小学教学活动中常用的教学方法分为五类。 第一类方法：“以语言传递信息为主的方法”，包括讲授法；谈话法；讨论法；读书指导法等。 第二类方法：“以直接感知为主的方法”，包括演示法；参观法等。 第三类方法：“以实际训练为主的方法”，包括练习法；实验法；实习作业法。 第四类方法：“以欣赏活动为主的教学方法”例如陶冶法等。 第五类方法：“以引导探究为主的方法”，如发现法；探究法等。 2、黄甫全教授提出的层次构成分类模式 黄甫全教授认为，从具体到抽象，教学方法是由三个层次构成的，这三个层次是： 第一层次：原理性教学方法。解决教学规律、教学思想、新教学理论观念与学校教学实践直接的联系问题，是教学意识在教学实践中方法化的结果。如：启发式、发现式、设计教学法、注入式方法等。 第二层次：技术性教学方法。向上可以接受原理性教学方法的指导，向下可以与不同学科的教学内容相结合构成操作性教学方法，在教学方法体系中发挥着中介性作用。例如：讲授法、谈话法、演示法、参观法、实验法、练习法、讨论法、读书指导法、实习作业法等。 第三层次：操作性教学方法。指学校不同学科教学中具有特殊性的具体的方法。如语文课的分散识字法、外语课的听说法、美术课是写生法、音乐课的视唱法、劳动技术课的工序法等 三、中学常用教学方法： 1讲授法 讲授法是教师通过简明、生动的口头语言向学生传授知识、发展学生智力的方法。它是通过叙述、描绘、解释、推论来传递信息、传授知识、阐明概念、论证定律和公式，引导学生分析和认识问题。运用讲授法的基本要求是：
我国工科线性代数课程必须改革
陈怀琛 现在线性代数的用途比过去任何时候都更广泛。在20世纪后半期，它的应用不断扩展到了越来越多的新领域。它在数学课程中的角色已经上升到可与微积分学相比美。线性代数的这种发展主要是由于人们所研究的问题的规模愈来愈大，愈来愈复杂，牵涉的变量成百上千，这样复杂的问题，目前只能把变量之间的关系简化为线性才好解，所以大规模的线性代数问题就成为热门的数学工具。除了上述应用的‘需求牵引’之外，线性代数的发展的另一个动力是‘技术推动’，那就是计算技术高速发展的推动, 线性代数是一门应用性很强，但在理论上又可进行高度抽象的数学学科，因此它可以有两种发展方向。为了进一步搞数学理论，可以向抽象方向引导；为了解决工程实际问题，就应当向应用方向发展。在教学中，这个方向性的问题必须十分清楚。其实，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法可能是每个人会记忆一辈子的，这就是最简单的线性代数。当把方程的变量提高到了三元以上时，她不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题。对于数学家来说，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能用理论指导完成实际的计算。事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予它在应用方面的生命力。 原来，线性代数主要是对理科、特别是数学系开设的。由于它的愈来愈广泛的应用价值，理、工、经、管各个大学专业都把它列为必修课。但因为由数学系开课，其内容和要求难免带有很深的数学专业的烙印，很难适应大量工科学生的要求。针对这种情况，美国的线性代数教育从1990年起开始了一次大的改革，该年1月，一些有名望的数学家们组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究线性代数教育如何满足数学和非数学专业的不同需求, 以及如何使线性代数的教育得到更大的关注。同年8月，美国国家科学基金会赞助了大学线性代数课程计划的一次会议，它把数学界和其他专业的许多代表聚集在一起。会产议生了五条重要的建议，简称为LACSG Recommendation它们是[1]： (i) 线性代数的第一门课程（简称线性代数1）一定要满足非数学专业的需要； (ii) 这一门课程应该是面向矩阵的; (iii) 这一门课程应该是根据学生的需要来组织的； (iv) 这一门课程应该利用新的计算技术; (v) 对于数学专业，至少还要开设一门线性代数2。 第 (i)条建议强调了，学线性代数的学生中只有少数会攻读数学学位，大量的非数学专业的学生要更多注重于应用。教材中大量的应用篇幅；可以提高学生的理解水平和学习动力；第(ii)条建议强调了矩阵运算，即教材中要摆脱单个元素运算的中学方法；第(iii)条建议强调了从学生需要而不是教师思路出发，这里有两个要点：一是阐述问题应该从具体到抽象，从R2或R3的例子引到高维空间；二是要让学生主动学习，就是要‘带着问题学’，而不是从定义出发。所以新教材大多由线性方程组引出行列式，并由二阶、三阶、递归地定义高阶行列式；第(iv)条建议使用数学软件或图形计算器. 大多数的教材今天都采用了MATLAB。第(v)条建议说明，他们只对数学系的学生强调抽象思维，且用线性代
高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用）【欢迎分享】tiantian 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli 试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组
课堂教学质量评价指标体系及评价方法 王焕定1,2 邱志贤1曾森2 1哈尔滨工业大学（威海）土木工程系；2哈尔滨工业大学土木工程学院摘要：为了提高教学质量，改进教学方法，各高学校都有一套教学评价的方法，但在实施过程中，也发现有些不尽完善的地方。本文总结了多年的教学督导经验和征求部分教师的意见，借助课堂评价递阶层结构模型，用功效系数法进行评价分析，剖析实例，得到较满意的、更能反映客观实际的、有针对性的改进意见，起到了教学评价与教学督导的有机统一。 关键词：层次分析法，模糊层次分析法，指标体系递阶层次模型，课堂教学质量评估 一、引言 课程教学质量是衡量学校办学水平和教学质量的一项核心内容，如何客观、科学地对各门核心课程进行教学质量的评价，对学校深化教育改革、全面提高教学质量具有非常重要的意义。 影响课程教学质量的因素是多方面的，其中有些可以定量，而有些则只能定性。如何根据教师的教学表现，通过客观、科学、准确的评价给出其所任课程的教学质量，指出其应该如何进一步改进，这是各校都十分关心的一个问题。这里首先需要解决用什么样的评价模型来评判，然后还要探讨一种能对课程质量进行定量评价的科学方法。为此，在学习国内外有关评价资料的基础上，结合我校已有的评价做法，提出本文的指标体系和评价方法，以供有关领导和部门参考。 二、课堂教学质量评价递阶层次结构模型 我校目前所用的课堂教学质量督导专家评价指标体系如表1所示。 件”等需填写的内容。 此表是学校教学主管部门组织专家反复推敲、讨论确定的，无疑能一定程度上评价课堂教学的质量情况。但是，从上面的表格内容可见：这个评价体系都只有一级指标；从表1权重值可看出专家们对各指标的重要性可分为相同重要性的三组，第一组为2、3、4、5，第二组为7、9，第三组为1、6、8、10，以第一组最重要、第三组最不重要。如果按此重要性考虑，可根据文献[1]建立模糊判断矩阵如下所示