matlab--蒙特卡洛法估计积分值
西安交通大学实验报告
课程：概率论与数理统计
实验日期：
报告日期：
专业班级：
姓名：学号：
实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；
（2）熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
1用蒙特卡洛方法估计积分
2
sin x xdx π
?，
2
x e
dx +∞
?和
22
221
x y x y e
dxdy
++≤??
的值，并将估计值与真值进行比较。
1)dx x x ?20
sin π
仍是用均匀分布来估计此积分的大小，g(x)=xsinx,)(x f x
=1/(2
pi ).x>0.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p ，对照积分的真实值求得估计均方误差f 。 Matlab 程序代码如下： s=0;m=0;f=0;r=0;n=50; h(1:10)=0; for j=1:10 for i=1:n
a=unifrnd(0,pi/2,n,1); x=sort(a); y=pi/2*mean(x.*sin(x));
s=s+y; end b=s./n;
fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b;
s=0;
m=m+b;
end
p=m./10
z=1
for j=1:10
r=(h(j)-z).^2; f=f+r; end
f=f./10;
fprintf('f=%.6f\n',f)
结果显示f=0.000221，表明估计结果与理论值非常接近。
2)
dx
e x ?+∞-
2
I=
dx
e x
?+∞-
2
=1/2*
pi
dx
e
pi
e x
x*2
*
*
*2
/1*2/
2/2
2-
+∞
∞
-
-
?
=)(x
f x
2/2
*
*2
/1x e
pi- g(x)=e pi
x*
2
*2/2-
)(x
f
x为标准正态分布的概率密度.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p，对照积分的真实值求得估计均方误差f。
Matlab程序代码如下：
s=0;m=0;f=0;n=50;r=0;
h(1:10)=0;
for j=1:10
for i=1:n
a=normrnd(0,1,1,n);
x=sort(a);
z=(sqrt(2.*pi)).*exp(-x(i).^2./2); s=s+z;
end
b=(s./n)./2; fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b; s=0; m=m+b;
end
p=m./10
z=sqrt(pi)./2
for j=1:10
r=(h(j)-z).^2;
f=f+r;
end
f=f./10;
fprintf('f=%.6f\n',f)
结果如下：
结果显示估计结果与真实值的方差为f=0.00322，估计结果与真实值非常接近。
3)
22
221
x y
x y
e dxdy
+
+≤
??
m=10000;sum=0;n=50;D=0;
X=unifrnd(-1,1,n,m);Y=unifrnd(-1,1,n,m); for i=1:n a=0; for j=1:m
if(X(i,j)^2+Y(i,j)^2<=1)
Z(i,j)=exp(X(i,j)^2+Y(i,j)^2); a=a+Z(i,j); end end
S(i)=a/m;sum=sum+S(i); end
I=sum/n*4 for i=1:n
D=D+(S(i)*4-pi*(exp(1)-1))^2; end
d=D/n
2用蒙特卡洛方法估计积分 2
1
0x e
dx
?和224
4
1x y x y
+≤++??
的值，并对误差进行估计。 1)dx e x ?1
02
此积分采用的是均匀分布。g(x)=2
x
e ,)(x
f x
=1.x>0.
分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p，对照积分的真实值求得估计均方误差f。Matlab程序代码如下：
s=0;m=0;f=0;r=0;n=50;
h(1:10)=0;
for j=1:10
for i=1:n
a=unifrnd(0,1,n,1);
x=sort(a); y=exp(x(i).^2); s=s+y;
end
b=s./n;
fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b;
s=0; m=m+b;
end
p=m./10
for j=1:10
r=(h(j)-p).^2; f=f+r;
end
f=f./9;
fprintf('f=%.6f\n',f)
结果如下：
结果显示，误差为0.000322，以平均值作为真实值，均方误差也比较小。
2)
22
22 4
1
x y
d x d y x y
+≤++
??
n=1000;m=100;sum=0;S=0;I=0;
x=unifrnd(-2,2,m,n);y=unifrnd(-2,2,m,n);
for j=1:m
s=0;
for i=1:n
if x(j,i)^2+y(j,i)^2<=4
s=s+16/sqrt(1+x(j,i)^4+y(j,i)^2);
end
end
S(j)=s/n;sum=sum+S(j); end
I=sum/m；D=0;d=0;
for j=1:m
D=D+(I-S(j))^2;
end
d=D/(m-1)
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
《数学实验》报告 班级：序号：姓名： 1．问题描述 I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数 目观察对结果的影响。 （1）y=1/(1+x), 0=
0.6975 >> p=shell1(0,1,10000) p = 0.6922 >> p=shell1(0,1,100) p = 0.7001 >> p=shell1(0,1,500) p = 0.6890 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于 0.69，但是点数越多，值越接近。 I、(2)使用均值估计法 程序： function p=shell2(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(exp(3*x(i)))*sin(2*x(i)); z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell2(0,2,1000) p = -24.4911 >> p=shell2(0,2,100) p = -43.8720 >> p=shell2(0,2,10000) p = -30.8699 >> p=shell2(0,2,500) p = -23.2955 >> p=shell2(0,2,100000) p =
概率论实验报告 ——蒙特卡洛方法估计积分值 姓名： 学号： 班级： 实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值 1用蒙特卡洛方法估计积分 20sin x xdx π ?，2-0x e dx +∞?和 22221x y x y e dxdy ++≤??的值，并将估 计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分 21 0x e dx ? 和 22x y +≤??的值， 并对误差进行估计。 要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法； （2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。 目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等； （2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息； （3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。 实验一、估计2 sin x xdx π ?的值，并将估计值与真值进行比较。 MATLAB 代码： s=0;m=0;f=0;r=0;n=50; h(1:10)=0; for j=1:10 for i=1:n a=unifrnd(0,pi/2,n,1); x=sort(a); y=pi/2*mean(x.*sin(x)); s=s+y; end b=s./n; fprintf('b=%.4f\n',b); h(j)=b;
s=0; m=m+b; end p=m./10 z=1 for j=1:10 r=(h(j)-z).^2; f=f+r; end f=f./10; fprintf('f=%.6f\n',f) 运行结果： b=1.0026 b=1.0061 b=1.0037 b=1.0135 b=0.9932 b=0.9988 b=1.0213 b=1.0310 b=0.9813 b=1.0041 p = 1.0056 z = 1 f=0.000207 >> （运行截图） 结果显示f=0.000207，表明估计结果与理论值非常接近。 实验二、估计 2-0x e dx +∞ ?的值，并将估计值与真值进行比较。 I=dx e x ?+∞-02=1/2*pi dx e pi e x x *2***2/1*2/2/22-+∞ ∞--? =)(x f x 2/2**2/1x e pi - g(x)=e pi x *2*2/2- )(x f x 为标准正态分布的概率密度.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p ，对照积分的真实值求得估计均方误差f 。
统计计算课程设计 题目基于蒙特卡洛方法求数值积分 中文摘要 蒙特卡洛方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的 物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问 题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。 利用随机投点法，平均值法，重要性采样法，分层抽样法，控制变量法，对偶变量法，运用R 软件求 1 d x e x θ- =?，42d x e x θ- =?和12 d 1 x e x x θ - = + ?数值积分。计算以上各种估计的方差，给出 精度与样本量的关系，比较各种方法的效率， 关键字蒙特卡洛随机投点法平均值法R软件
1 绪论 蒙特卡洛的基本思想是，当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 蒙特卡洛方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡洛方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡洛方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡洛模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
Monte Carlo Methods in Parallel Computing Chuanyi Ding ding@https://www.doczj.com/doc/d814157823.html, Eric Haskin haskin@https://www.doczj.com/doc/d814157823.html, Copyright by UNM/ARC November 1995 Outline What Is Monte Carlo? Example 1 - Monte Carlo Integration To Estimate Pi Example 2 - Monte Carlo solutions of Poisson's Equation Example 3 - Monte Carlo Estimates of Thermodynamic Properties General Remarks on Parallel Monte Carlo What is Monte Carlo? ? A powerful method that can be applied to otherwise intractable problems ? A game of chance devised so that the outcome from a large number of plays is the value of the quantity sought ?On computers random number generators let us play the game ?The game of chance can be a direct analog of the process being studied or artificial ?Different games can often be devised to solve the same problem ?The art of Monte Carlo is in devising a suitably efficient game.
用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现 专业班级：材料43 学生姓名：王宏辉 学号：2140201060 指导教师：李耀武 完成时间：2016年6月8日
用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab 编程实现 实验内容： 1用蒙特卡洛方法估计积分 2 sin x xdx π ?，2 -0 x e dx +∞ ?和 2 2 221 x y x y e dxdy ++≤?? 的值， 并将估计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分 2 1 x e dx ?和 224 4 1 11x y dxdy x y +≤++?? 的值， 并对误差进行估计。 要求： （1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法； （2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类题） 以评价估计结果的精度。 目的： （1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等； （2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。 实验原理： 蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。 具体操作如下： 一般地，积分?=b dx x g a )(S 改写成??==b b dx f h dx f g a a )(x )(x )(x f(x)) (x S 的形 式，（其中为)f(x 一随机变量X 的概率密度函数，且)f(x 的支持域） （｝｛b f ,a 0)(x |x ?>)，f(x) ) (x )(x g h =）;令Y=h(X)，则积分S=E （Y ）；利用matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由 ?? ??∈==) b (a,,) b (a,,01I(x) ,)(x )(x y x x I h ，得到随机变量Y 的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。 积分??=A dxdy g S )y (x,的求法与上述方法类似，在此不赘述。 概率密度函数的选取： 一重积分，由于要求)f(x 的支持域） （｝｛b f ,a 0)(x |x ?>，为使方法普遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数22 e 21)(x x f -=π 支持域为 R ，故选用2 2e 21)(x x f - = π 。 类似的，二重积分选用2 2 221)y (x,y x e f +-=π ，支持域为2R 。 估计评价：
用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现 专业班级：材料43 学生姓名：王宏辉 学号： 指导教师：李耀武 完成时间：2016年6月8日
用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现 实验内容: 31 2 乂 1用蒙特卡洛方法估计积分xsin xdx , e-x dx和II e x y dxdy的值， 0 0 x2：:;y2 d 并将估计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分e x dx和 __ dxdy的值，并对误 0 x2#g J l + x4+ y4 差进行估计。 要求： （1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方 法； （2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性； 通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。 目的： （1）能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密 度、分布函数及其期望、方差、协方差等； （2）熟练使用MATLAB对样本进行基本统计，从而获取数据的
基本信息； （3）能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析
实验原理： 蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变 量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从 而估计相应的积分值。 具体操作如下: 式，(其中为f(x) 一随机变量 X 的概率密度函数，且f(x)的支持域 {x|f(x)〉O}=( a,b)) , h(x^-g ^x) )；令 Y=h(X)，则积分 S=E( Y ；利用 f(x) matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由 y = h(x)l(x), l(x) =」 公匸⑻①，得到随机变量丫的随机数，求出样本均 0 X(a,b) 值，以此估计积分值。 积分S = .. g(x, y)dxdy 的求法与上述方法类似，在此不赘述。 A 概率密度函数的选取： 一重积分，由于要求f(x)的支持域｛x|f(x)?0｝二(a,b)，为使方法普 1 故选用 f(x F 彳 ￥廿 类似的，二重积分选用f(x, y) — e 2，支持域为R 2 2兀 估计评价: 进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计 算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积 不出）以评价 般地，积分 b S = g(x)dx 改写成 a b g(x) a f(X ) b f (x)dx = j h(x) f (x)dx 的形 遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数 2 x _ f (x)二-^—e 2支持域为
第一章：Monte Carlo方法概述 一、Monte Carlo历史渊源 Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。 十一、Monte Carlo方法适用用途 （一）数值积分 计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。 数值积分简单示例 如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。 Monte Carlo数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。 在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。 （五）随机最优化
关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT 等。这些程序大多经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研究中心（CERN）发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它程序都深入到低能领域，并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被分为两个系列：1．EGS4、FLUKA、GRANT 2．ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理论采用了不同的算法。EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算法。 ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发，主要模拟光子和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。 ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes )是由美国圣地亚哥（Sandia）国家实验室在ETRAN的基础上开发的一系列模拟计算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型的不同。TIGER研究的是一维多层的问题，CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。 NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的通用MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和光子，较新的版本（如MCNP4A）则引进了ETRAN，加入了对电子的模拟。 FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进行了改进。
本科生实验报告 实验课程蒙特卡罗模拟 学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用 学生姓名王明 学生学号2017020405 指导教师 邮箱511951451@https://www.doczj.com/doc/d814157823.html, 实验成绩 二〇一七年九月二〇一八年一月
实验一、选择一种编程语言模拟出π的值 一、实验目的 1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理； 2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题； 3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。 二、实验原理 用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部： 第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4； 第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。 第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。因此π=4*M/N。 第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百
万个计数。 三、实验内容 1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。zfx_x=[1,-1,-1,1,1]; zfx_y=[1,1,-1,-1,1]; plot(zfx_x,zfx_y) axis([-3 3 -3 3]); hold on; r=1; theta=0:pi/100:2*pi; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); rho=r*sin(theta); figure(1) plot(x,y,'-') N=1000; mcnp_x=zeros(1,N); mcnp_y=zeros(1,N); M=0; for i=1:N x=2*(rand(1,1)-0.5); y=2*(rand(1,1)-0.5); if((x^2+y^2)<1) M=M+1; mcnp_x(i)=x; mcnp_y(i)=y; end end plot(mcnp_x,mcnp_y,'.') PI1=4*M/N; 2、用matlab绘制的图形
蒙特卡洛方法与定积分计算 By 邓一硕 @ 2010/03/08 关键词：Monte-Carlo, 定积分, 模拟, 蒙特卡洛分类：统计计算 作者信息：来自中央财经大学;统计学专业。 版权声明：本文版权归原作者所有，未经许可不得转载。原文可能随时需要修改纰漏，全文复制转载会带来不必要的误导，若您想推荐给朋友阅读，敬请以负责的态度提供原文链接；点此查看如何在学术刊物中引用本文 本文讲述一下蒙特卡洛模拟方法与定积分计算，首先从一个题目开始：设，用蒙特卡洛模拟法求定积分的值。 随机投点法 设服从正方形上的均匀分布，则可知分别服从[0,1]上的均匀分布，且相互独立。记事件，则的概率为 即定积分的值就是事件出现的频率。同时，由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中出现的频率作为的估计值。即将看成是正方形 内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。这种方法就叫随机投点法，具体做法如下： 图1 随机投点法示意图 1、首先产生服从上的均匀分布的个随机数（为随机投点个数，可以取很大，如）并将其配对。 2、对这对数据，记录满足不等式的个数，这就是事件发生的频数，由此可得事件发生的频率，则。 举一实例，譬如要计算，模拟次数时，R代码如下：n=10^4;
x=runif(n); y=runif(n); f=function(x) { exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi) } mu_n=sum(y 概率论与数理统计论文 基于matlab的蒙特卡罗 定积分的实现 班级： 姓名： 基于matlab的蒙特卡罗定积分的实现 摘要：在对蒙特卡罗方法概念学习的基础上，利用计算机产生了随机数序列．在此基础上，研究了蒙特卡罗积分，并应用matlab加以实现． 关键词：蒙特卡罗；MATLAB；定积分 0 引言 随着电子计算的出现和发展，近年来用概率模型来作近似计算的方法得到了很大的发展，即蒙特卡罗(Monte—Garlo)方法．它是一种采用统计抽样理论近似的求解数学与物理问题的方法，它既可以用来研究概率问题，也可以用来解决非概率问题．蒙特卡罗法已被广泛地运用到各个领域中，如高维数学问题求解、医学技术中的诊断识别、大型系统的可靠性分析等．一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分．对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法能够提供一种有效而可行的解决方法． 1 蒙特卡罗方法的基本原理 用蒙特卡罗方法解决数学分析问题时，基本思想是：首先建立与描述该问题有相似性的概率模型，利用这些相似把使该模型的一些数字特征(如概率或均值)与数学分析的解答(如积分值或微分方程的解)联系起来；然后对该模型进行随机模拟或统计抽样；最后利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来问题的近似解．蒙特卡罗方法计算的结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地服从正态分布的理论依据是中心极限定理． 本文将对蒙特卡罗方法计算定积分，并用matlab 加以实现． 2 蒙特卡罗方法求定积分的一个实例 2．1 采用均匀随机数的蒙特卡罗方法计算和 matlab 实现 为了使用蒙特卡罗方法求该积分dx x I ? = 1 3，首先选定一个矩 形区域 D =[0，1；O ，1]．然后抽取n 个随即点的坐标()i i ηξ,(i=1，2，?，n)，他们服从区域D 上的二维均匀分布．计算落在区域D 内的随机点数设为m ，即满足0≤i η≤ 3 x ．则由强大数定律，要求的定积 分近似的等于两个区域随机落点的比值 与矩形面积的乘积． matlab 程序及其运行结果： 2．2 matlab 生成随机掷点效果图 x1=rand(1,2000); y1=rand(1,length(x1)); x=0:0.01:1; y2=0;y3=x.^3; subplot(2,1,1),plot(x,y2,'k',x,y3,'k',x1,y1,'.') xlabel('x 轴'),ylabel('y 轴') m=1; for j=10:10:30000; 呵呵，刚好大二下学期学的，给你讲讲吧。 根据我的理解简单的说就是以部分估计整体，利用随机数来解决问题的方法称为蒙特卡罗算法，记得课本上讲了个例题： 在数值积分法中，我们利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分（若能画图就好了！）只要能求出扇行面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值. 怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。 怎样实现这样的随机投点呢？任何一款计算机语言都有这种功能，能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在mathematica中，产生区间[0，1]内均匀分布随机数的语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个位置的机会均等，P落在扇形内的充要条件是x^2+y^2<=1. 蒙特卡罗算法计算Pi n=10000;p=(); Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}]; AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}]; Print[p]; Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 注：以上语句的功能是：n=10000,每次投10000个点得出Pi的近似值存放到数组p中；一共做10次得到10个近似值，通过语句Print[p]将这10个近似值全部显示出来观察。最后再求这10个近似值的平均值，相当于随机投点100000 次得到的近似值。 以上是用Mathenatica编写的程序，方法就是这样，具体只能你自己体会了。 蒙特卡罗算法 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。又称统计模拟法、随机抽样技术。由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代为研制核武器而首先提出。它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及管理等方 第7章附录 7.2.1 均匀分布随机数 例题7.2.1计算程序 ! rand1.for program rand1 implicit none real r integer n,c,x,i open(5,file='rand1.txt') n = 32768 c = 889 x = 13 do i = 1,1000 x = c*x-n*int(c*x/n) r = real(x)/(n-1) write(5,'(f8.5)') r end do end !!!!!!rand2.for!!!!! program rand2 implicit none integer, parameter :: n=1000 integer ix,i real r open(5,file='rand2.txt') ix=32765 do i=1,n call rand(ix,r) write(5,'(f8.6)') r end do end program rand2 subroutine rand(ix,r) i=ix*259 ix=i-i/32768*32768 r=float(ix)/32768 return end 7.2.3 随机抽样 例题7.2.2计算程序 % 例题7_2_2.m figure(1); set(gca,'FontSize',16); t = rand(1000,1); y = -log(t); z = exp(-y); plot(y,z,'.'); xlabel('图7.2-2 例题7.2.2-指数分布抽样') ==================================================== 例题7.2.5计算程序 ! 例题7.2.5 program scores parameter(nmax=10,mmax=13) real(8) x(nmax),y(nmax),l(0:nmax),z(mmax),ys(mmax),r integer i,j,k data x/5.0,15.0,25.0,35.0,45.0,55.0,65.0,75.0,85.0,95.0/ data y/0,0,0,0,0.08,0.19,0.31,0.27,0.11,0.04/ open(2,file='scores_old.txt') open(5,file='scores_new.txt') ! mmax个抽样学生成绩 open(7,file='scores_sample.txt') write(2,'(2f15.5)') (x(i),y(i),i=1,nmax) ix=32765 l(0)=0 do i=1,nmax l(i)=l(i-1)+y(i) end do do j=1,mmax call rand(ix,r) do k=1,nmax if(r.le.l(k)) goto 11 end do 11 z(j)=x(k) end do write(5,*) (z(i),i=1,mmax) ys=0 do i=1,mmax k=z(i)/float(nmax) ! 确定抽样学生所在的分数段 蒙特卡罗算法综述 摘要：本文介绍了蒙特卡罗算法的起源，原理，描述及应用，列举了一个蒙特卡罗全局光照算法得实例及研究过程。 关键词：蒙特卡罗；全局光照；统计；自适应 Monte Carlo Algorithms Liu Bingkun Abstract: This article describes a Monte Carlo algorithm for the origin of principle, description and application cited the instance of a MonteCarlo global illumination algorithms and the research process. Keywords: Monte Carlo; global illumination; statistics; adaptive 1引言 蒙特·卡罗算法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。起源于早期的用几率近似概率的数学思想 ,它利用随机数进行统计试验 ,以求得的统计特征值 (如均值、概率等) 作为待解问题的数值解. 随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡罗算法也在不断的改进。 全局光照是三维软件中的特有名词，光具有反射和折射的性质。在真实的大自然中，光从太阳照射到地面是经过无数次的反射和折射的，所以我们看到地面的任何地方都是清晰的（白天），在三维软件中，里面的光虽然也具有现实当中光的所有性质，但是光的热能传递却不是很明显。 全局光照，表现了直接照明和间接照明的综合效果。光线碰到拍摄对象，反射正反射光或漫反射光，这就控制了色彩、物体间相互作用的反射、折射、焦散等光效，最后演绎了现实的自然光。所以在渲染的时候，为了实现真实的场景效果，就要在渲染器中指定全局光照，全局光照有多种实现方法，例如辐射度、光线追踪、环境光遮蔽（ambient occlusion）、光子贴图、Light Probe等[1]。 用蒙特卡洛方法估计积分值 一.实验目的： 1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途 2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较 二.实验原理： 做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是： X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。 Monte Carlo 步骤： 1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x) 由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。如x i 表示生成的第i 个x 。生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值 2．误差分析 Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。 三．实验内容： 第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较 (1).∫3 22dx x 将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，1)(=x f x 2)(x x h = 真值为6.3333 程序内容 运算结果 （2）xdx x sin 2 0∫π 将被积函数展开为[0, 2π]上的均匀分布，π2)(=x f x ，x x x h sin 2)(π= 真值为1 程序内容 运算结果 （3）∫+∞?0 2dx e x 将被积函数展开为（0, ∞ +）上参数为2的卡方分布，f(x)=,?()=2程序内容 运算结果： 第二题估计积分，并对误差进行估计 （1）.∫ 将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x)=1,?()= 程序内容 蒙特卡罗综合习题报告 问题：蒙特卡罗方法模拟137Cs 源的661keV γ射线在NaI(Tl)闪烁体中的输运过程。 一、建立坐标系 以闪烁体中轴线为z 轴建立柱坐标系，闪烁体位于0 3．输运过程： 1ln () t m L E ξ -=- ∑抽样得到到下次碰撞的距离，根据当前粒子状态中的,r Ω 算出下次碰撞的坐标(,,)r r z θ= ，如果不在闪烁体区域（0 教学用PPT，《高级计量经济学及Stata应用》，陈强编著，高等教育出版社，? 2010年 第16章蒙特卡罗方法与自助法 16.1蒙特卡罗法的思想与用途 通过计算机模拟从总体抽取大量随机样本的计算方法统称为“蒙特卡罗方法”（Monte Carlo Methods，简记MC）。 例 计算圆周率π。 图16.1、计算圆周率的随机实验 例如，对于线性回归模型，(1,,)i i i y i n ε′=+=x β"，希望对 线性假设“0:H =R βr ”进行显著性水平为5%的检验。检 1 验统计量n 1 2???()Avar()()()d W n m χ???′′≡???? →????R βr R βR R βr 。此2χ分布只是统计量真实分布的近似。故“5%”可能只是“名义显著性水平”（nominal size ）。可使用蒙特卡罗法来确定“真实显著性水平”。 第一步，给定参数β的具体取值，以及解释变量x 与扰动项ε的概率分布。 第二步，从x 与ε的分布中随机抽样，得到{}12,,,n x x x "与 {}12,,,n εεε"。 第三步，根据方程“i i i y ε′=+x β”，计算{}12,,,n y y y "。 第四步，对这个样本进行OLS 估计，计算检验统计量W ，并与2 ()m χ的5%临界值比较，确定是否拒绝原假设“0:H =R βr ”。 第五步，大量重复第二至四步，得到M个随机样本，进行M次检验，其中拒绝原假设的比例即真实的显著性水平。 16.2 蒙特卡罗法实例：模拟中心极限定理 （参见教材） 16.3 蒙特卡罗法实例：服从2χ分布的扰动项 （参见教材）基于matlab的蒙特卡罗积分的实现
蒙特卡罗算法计算Pi
第7章 蒙特卡罗方法 (附录)
蒙特卡罗算法综述
用蒙特卡洛方法估计积分值
蒙特卡罗方法计算习题
第16 章 蒙特卡罗方法与自助法
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