【关键字】条件、空间、矛盾、焦点、充分、建立、满足、方向、中心
数学选修2-1 综合测评
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )
A.? ??
??13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.? ????－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)
解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ?a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－
1? ??
??－12，32，－1，故选C. 答案：C
2．若命题p ：?x ∈? ??
??－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．?x 0∈? ??
??－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．?x 0∈? ??
??－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．?x 0∈? ??
??－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．?x 0∈? ????－∞，－π2∪? ??
??π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：?x 的否定为?x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为?x 0∈? ??
??－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C
3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )
A ．l ?α，m ?β且l ∥β，m ∥α
B ．l ?α，m ?β且l ∥m
C ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m
D ．l ∥α，m ∥β且l ∥m
解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确．
答案：C
4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.x 216＋y 212＝1
B.x 212＋y 216＝1
C.x 216＋y 24＝1
D.x 24＋y 216＝1
解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.
∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，
顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．
∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.
答案：D
5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( ) A.32 B.12 C.32 D.34
解析：
菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.
因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.
答案：B
6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．6
解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的
渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的
距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4
＝ 3. 答案：A
7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34
解析：取DA →，DC →，DD 1→
分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1
的距离为d ＝|AA 1→
·n ||n |
＝43. 答案：C
8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2
＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8
解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.
答案：C
9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )
A.????
??π2 B.??????α???
π6≤α≤π2 C.??????α??? π4≤α≤π2
D.????
??α??? π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．
答案：A
10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )
A.12
B.23
C.13
D.53
解析：由PF 1→·PF 2→
＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2
＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即
4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，
故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若命题“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：原命题的否定形式为?x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.
答案：[－22，22]
12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．
解析：由OP →·OA →
＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.
答案：x ＋2y －4＝0
13．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．
解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →
＝1×2×cos
45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，
∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝11×6＝66
. 答案：66
14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．
解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，
AO ＝a ，OF ＝c ，
∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.
∴e ＝c a ＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，
所以m －1<0，m <1；
因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，
所以5－2m >1，m <2.
即命题p ：m <1，命题q ：m <2.
因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．
当p 真q 假时应有????? m <1，m ≥2，
m 无解． 当p 假q 真时应有?????
m ≥1，m <2，1≤m <2. 故实数m 的取值范围是1≤m <2.
16．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得??? c a ＝22
，a 2＝2b ，
解得????? a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直
线与椭圆的方程得???
x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝
(2m )2－4×3×(m 2－2)>0，m 2
<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ? ????－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以? ????－m 32＋? ??
??2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在．
17．(13分)已知点P (1,3)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝92过点A ? ????1，－322，
点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线PF 与圆相切．
(1)求m 的值与抛物线的方程；
(2)设点B (2,5)，点Q 为抛物线上的一个动点，求BP →·BQ →
的取值范围．
解：(1)把点A 代入圆C 的方程，得
(1－m )2＋? ????
－3222
＝9
2，∴m ＝1.
圆C ：(x －1)2＋y 2＝9
2.
当直线PF 的斜率不存在时，不合题意．
当直线PF 的斜率存在时，设为k ，
则PF ：y ＝k (x －1)＋3，即kx －y －k ＋3＝0.
∵直线PF 与圆C 相切， ∴|k －0－k ＋3|k 2＋1＝3
2
2.
解得k ＝1或k ＝－1.
当k ＝1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去． 当k ＝－1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，
∴p
2＝4.∴抛物线方程为y 2＝16x .
(2)BP →
＝(－1，－2)，
设Q (x ，y )，BQ →
＝(x －2，y －5)，则
BP →·BQ →
＝－(x －2)＋(－2)(y －5)
＝－x －2y ＋12＝－y 216－2y ＋12
＝－116(y ＋16)2＋28≤28.
∴BP →·BQ →
的取值范围为(－∞，28]．
18．(13分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .
(1)证明：AD ⊥CE ；
(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C －AD －E 的余弦值．
解：
①
(1)证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O －xyz .
设A (0,0，t )．
由已知条件知C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →
＝(－
2，2，0)，AD →
＝(1，2，－t )，
所以CE →·AD →
＝0，得AD ⊥CE .
(2)作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图②所示．
②设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →
＝(0，2，0)，
CF →·BE →
＝0，故CF ⊥BE .
又AB ∩BE ＝B ，
所以CF ⊥平面ABE ，
故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°. 由CE ＝6，得CF ＝ 3.
又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，
所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)．
作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .
在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.
故G ? ????23，223，33，GC →＝? ????13
，－223，－33， GE →＝? ????－53
，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →
＝0，
所以GC →与GE →
的夹角等于二面角C －AD －E 的平面角．
故二面角C －AD －E 的余弦值cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →
|
＝－1010.