数学建模论文肥猪的最佳销售时机
作者:
摘要：
人们通过对猪的饲养和销售，总希望获阿得最大收益。因此建立与此相关的数学模型来求解最大收益与最佳销售时间就有着重要的实际意义。
对于收入部分，由于市场价格受多种不确定因素的影响且变化较大，我们假设价格保持不变，所以收入正比于猪的体重；猪的体重与时间的关系可以用Gompertz模型来模拟。
对于成本部分，认为由饲料成本和猪仔价格组成。通过对饲料消耗量和体重的实际数据的分析，发现线性拟合的效果较理想，由此利用该关系确定饲料的消耗。至此问题转化为建立猪的生长模型和饲料消耗模型。对于最优化模型，我们从两个方面进行了考虑，一是总利润的最大值，二是日均利润最大值。
通过以上分析，较好地解决了肥猪最佳销售时机问题，对养殖户有一定参考意义。
通过以上分析，较好地解决了肥猪最佳销售时机问题，对养殖户有一定参考意义。
肥猪的最佳销售时机
关键词：
数学建模；肥猪最佳销售时机；饲料消耗模型；Gompertz模型
问题的叙述与分析：
一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。考虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。
要求猪的最佳销售时机，目标是寻求最大利润的取得，由此实际上需要找出收入和支出分别是什么，受什么影响。为了简化问题，我们只考虑一头猪的利润，并且做了一系列的理想化的假设，比如生猪价格固定等，所以收入与猪的体重成正比，而成本则由固定成本（如猪仔价格，防疫费用）和变化成本（主要是饲料的消耗）组成，最终问题转化成建立猪的生长模型和饲料消耗模型。通过查阅大量相关资料，我们选择了用Gompertz模型来模拟猪的生长情况，而对于后者，我们对实际原始数据进行了分析，建立了较理想的模型。而对于最优化的出售时机，可以有两种考虑，一种是最大总利润的时间，一种是获得最大日均利润的时间，而后者于长期优于前者。
模型的假设:
●生猪的价格固定，且其销售不受市场供求关系影响
●在养猪期间，猪正常生长，不考虑猪生病或其他因素造成的损失
●成本主要由饲料和猪仔价格决定
●体重的绝对增重规律：一般体重的增长是慢—快—慢的趋势。
模型的建立与求解:
猪的生长模型
实际中猪的生长变化规律是很复杂的，为了简化模型，我们查阅了相关资料，选用Gompertz模型来模拟猪的体重随时间的变化规律，其模型如下：
其中，Wt为t日龄的体重，A是成熟体重，k和b分别为生长系数。
查找相关资料后我们取其拟合结果：A=141.7，k= 0.0115 b= 4.0483.
用Matlab软件画出体重随时间的变化曲线为
饲料消耗模型
比较理想，由此把该拟合的线性关系作为体重和饲料消耗量的关系。数据拟合图线如下
线性拟合关系函数为日饲料消耗量
=?+
csi0.0307w0.2965
最优化模型
获得了计算利润的两个关键因素的模型后，剩下的便是求解该最大利润了。 记生猪价格每千克1D 元，饲料价格每千克2D 元，猪仔成本为piggy ,猪的体重为()w t ,饲料总消耗量为时间的函数cos ()t t t ,天数记为t ，利润为时间的函数
()profit t ，则易知
12()()cos ()profit t D w t t t t D piggy =?-?-
则该函数的最大值及对应的天数即为总利润最大值和该考虑下的最佳销售时机；记日均利润为profitperday ，则
profitperday profit /t =
该函数的最大值及对应的天数即为日均利润最大值和该考虑下的最佳销售时机。如果近期想要取得最大利润可以采用前者，而从长远角度考虑，后者更为合理。
通过上网搜索大量的实际数据，我们确定以下参数的数值：
1D 16=，2D 3.5=，piggy 150=，而后通过matlab 编程对问题进行了求解，结论为
当t 158=时，猪的体重72.83w =,可以获得最大的总利润
()profit 158322.88=
当t 132=时，57.76w =,可以获得最大日均利润
()profitperday 132 2.2312=
函数profit(t )和()profitperday t 的图像分别如下
模型的检验
经过上网查找资料以及对养殖户的咨询，我们得知，一般情况下生猪从出生到出栏大约需要六个月的时间，此时猪的体重大概在80kg左右，如果按近期市场价即每公斤16元估算，一头生猪所能获得的利润能够达到370元,这与本次实验的最大利润模型的结果接近，说明本模型能较准确地反映现实，所以具有一定的参考价值。
模型评价:
本次论文的模型和结论大体上是符合实际情况的，但是不足之处也十分明显。简要分析如下：
1、仅仅讨论一头猪的利润是不太确切的，因为很多成本都无法准确估算，比如说养猪场的场地，饲养员的人力付出，这些因素也会导致养一头猪可以获得的利润缩水。实际生活中猪是群养的，所以各种综合的费用均摊到一头猪上也是不确定的，这也是养猪场规模选取的一个重要考虑因素。
2、在日均利润这个模型中，通过图线可以发现t趋于0时，日均利润趋近负无穷，这显然不符合实际情况。实际上我们的模型没有考虑到这样一个实际情况，刚出生的猪仔价格为150元，而体重只有2kg左右，满月猪大概重15kg,价格则为300，这个和肥猪的价格相差甚远，所以把肥猪的售价模型用在猪仔身上是完全不适用的，所以计算利润或者日均利润时t<50都是不符合实际情况的。
3、猪的生长过程是很复杂的，比如生病或者生活条件等因素会导致体重的不确定性变化；所以说投入成本和体重增长之间的关系要比我们模型假设的要复杂许多，所以即使用与实际情况拟合程度很好的Gompertz模型也只能是一个近似的估算。
4、相比之下，本模型的优点在于：参数选取较为合理，假设和简化后的模型与实际情况也较为接近，最终的结果具有一定的参考价值；本模型创新地提出了日均利润这个概念，从长远的角度考虑了最大利润的取得，对于长时间养殖的农户有指导意义。
参考文献:
[1] 孙华，彭先文，梅书棋.湖北白猪优质系生长曲线分析.湖北省农业科学院畜牧兽医研究所.2008-09-16.
[2]于红.利用数学模型求解生猪的最佳销售时机问题.唐山职业技术学院.2009-03--31
[3]周义仓，赫孝良.数学建模实验.西安：西安交通大学出版社，2009
附录:
1、本实验采用matlab软件进行数学求解和图形绘制，源代码和简要解释如下clear;clc;
A=141.7;b=4.0483;k=0.0115;
t=0:500;%选取500天是事先估算了Gompertz的稳定时间后的取值
w=A*exp(-b*exp(-k*t));% Gompertz模型
D1=16;
s=D1*w;
subplot(2,2,1),plot(t,s,'linewidth',2)
% t2=0:500;
% A2=109.5;b2=127;k2=0.024;
% w=A2./(1+exp(-k2*(t2-b2)));
% s=16*w;
% subplot(2,2,1),plot(t,w2,'linewidth',2)%绿字部分为logistic生长模型，也可以用来估算
grid on;hold on
csi=[0.25 0.65 0.9 1.4 1.8 2.0 2.2 2.7 3.0 3.2];
tizhong=[6.5 13 20 30 42 53 64 76 88 100];
p=polyfit(tizhong,csi,1) %最小二乘法线性拟合
subplot(2,2,2),plot(tizhong,csi,'*','markersize',15)
hold on
grid on
x=0:0.1:100;
y=p(1)*x+p(2);
plot(x,y,'b-','linewidth',2)%线性拟合的图线
D2=3.5
costperday=D2*(p(1)*w+p(2));
for i=1:501;
tcost(i)=sum(costperday(1:i));
end%运用循环语句求饲料总消耗量，由于不是时间的函数，所以不可以积分subplot(2,2,1),plot(t,tcost,'m-.','linewidth',2)
piggy=150;
profit=s-tcost-piggy;
profitperday=profit./t;
subplot(2,2,3),plot(t,profit,'g-')
grid on
subplot(2,2,4),plot(t,profitperday,'r:')
axis([0 500 -10 5])
grid on
for i=1:501
if profit(i)==max(profit)
i,max(profit),w(i)
end
end %用循环语句和判断语句找出最大值和最大值对应的天数
for j=1:501
if profitperday(j)==max(profitperday(30:500))
j,max(profitperday(30:500)),w(j)
end
end
2、该源代码所得图线如下
a饲料成本和销售额曲线 b饲料日消耗和体重线性拟合曲线c利润曲线 d 日均利润曲线
3、从百度文库中寻找到的猪各生长阶段的采食量与饲料数据
4、论文作者具体分工
周楠：编程，资料搜集，问题分析，论文修改
李超：资料搜集，问题分析，论文初稿
赵瀚辰：资料搜集，问题分析，论文编排