江苏省连云港市2019—2020学年第一学期期末调研考试
高二数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项:
1、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.命题“x ?∈R ,2
10x x -+>”的否定是
A .x ?∈R ,2
10x x -+≤ B .x ?∈R ,2
10x x -+< C .x ?∈R ,2
10x x -+≤ D .x ?∈R ,2
10x x -+<
2.双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是 A .21x y ±= B .20x y ±= C .21x y ±= D .20x y ±= 3.“M <N ”是“22log M log N <”的
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
4.已知向量a =r (λ,6,2),b =r (﹣1,3,1),满足a r ∥b r
,则实数λ的值是
A .2
B .6
C .﹣2
D .﹣6
5.已知点F 1,F 2是椭圆E :
22
1167
x y +=的左、右焦点,点P 为椭圆E 上异于左、右顶点的任意一点,则△PF 1F 2的周长是
A .10
B .11
C .12
D .14 6.等差数列{}n a 中,已知79a =,55S =,则8S 的值是
A .23
B .30
C .32
D .34 7.如图,在三棱锥S —ABC 中,底面ABC 是边长为3的正三角
形,点P ,Q 满足AP u u u r =2PB u u u r ,SQ 2QC =u u u
r u u u r ,SB =3,PQ =2,
则异面直线PQ ,SB 所成角的大小是 A .30° B .45° C .60° D .90°
第7题
8.已知椭圆E :22
221x y a b +=(a >b >0),直线x =2
a 与椭圆E 交于A ,B 两点,且OA ⊥OB
(O 为坐标原点),则椭圆E 的离心率是 A .
66 B .23 C .33 D .63
二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.已知等比数列{}n a 中,满足11a =,公比q =﹣2,则
A .数列{}12n n a a ++是等比数列
B .数列{}1n n a a +-是等比数列
C .数列{}1n n a a +是等比数列
D .数列{}
2log n a 是递减数列
10.已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB uuu r =(﹣2,1,4),AP u u u r =(1,﹣2,1),AC uuu r
=(4,2,0),则
A .AP ⊥A
B B .AP ⊥ BP
C .BC =53
D .AP// BC 11.已知p ,q 都是r 的充分条件,s 是r 的必要条件, q 是s 的必要条件,则
A .p 是q 的既不充分也不必要条件
B .p 是s 的充分条件
C .r 是q 的必要不充分条件
D .s 是q 的充要条件
12.设P 是椭圆C :2
212
x y +=上任意一点,F 1,F 2是椭圆C 的左、右焦点,则
A .PF 1+PF 2=
B .﹣2<PF 1﹣PF 2<2
C .1≤PF 1·PF 2≤2
D .0≤12PF PF ?u u u r u u u r
≤1
三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.其中第15题共有2空,第1个空3分,第2个空2分;其余题均为一空, 每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13.已知抛物线的准线方程为x =2,则该抛物线的标准方程是 .
14.中国古代数学某名著中有类似问题:“四百四十一里关,初行健步不为难,次日脚痛减
一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人一共走了441里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,毎天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了 里.
15.已知椭圆C :22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦距为2.准线方程为x =3,则该椭圆的标准方
程是 ;直线y x =-A ,B 两点,则AB = . 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,2133
122
n n S S n n ++=
++(N n *∈),则52S = .
四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知p :方程
22
122
x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线;q :a ≤m ≤a +2. (1)若命题p 为真,求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的必要条件,求实数a 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
河道上有一抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面 8m ,拱圈内水面宽 24m ,一条船在水面以上部分高 6.5m ,船顶部宽6m .
(1)试建立适当的直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程;
(2)近日水位暴涨了1.54m ,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞,试问:船身至少应该降低多少? (精确到0.1m )
19.(本小题满分12分)
如图,已知点E , F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点,求: (1)AD 与EF 所成角的大小;
(2)A 1F 与平面B 1CD 1所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足32n n S a =+(N n *
∈);数列{}n b 为等差数列.且
111a b +=-,2348a b =-.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)若n T 为数列11
13n n n S S S ++
??
-?????
的前n 项和,求满足不等式10
102332n T >-?的n 的最大值.
21.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P —ABC 中,PA =3,PB =PC =5,AB =AC =2,BC =211
3
. (1)求二面角B —AP —C 大小的余弦值; (2)求点P 到底面ABC 的距离.
22.(本小题满分12分)
如图,点F 为椭圆C :22
221x y a b
+=(a >b >0)的左焦点,点A ,B 分别为椭圆C 的右顶
点和上顶点,点P(2-,
6
2
)在椭圆C 上,且满足OP ∥AB . (1)求椭圆C 的方程;
(2)若过点F 的直线l 交椭圆C 于D ,E 两点(点D 位于x 轴上方),直线AD 和AE 的斜率分别为1k 和2k ,且满足1k ﹣2k =﹣2,求直线l 的方程.
2019~2020学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分. 9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13.2
8y x =-; 14.112; 15.22132x y +=;12
5
; 16.2020.
17.解:(1)因为方程22
122
x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线,
所以20,+20,m m >??>?
解得0m >,所以命题p 为真时实数m 的取值范围为(0,)+∞. 5分
(2)因为p 是q 的必要条件,所以q p ?,所以[](),20,a a +?+∞,故0a >. 综上,实数a 的取值范围为(0,)+∞.……10分 18.解:(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A ,B ,
以AB 垂直平分线为y 轴,拱圈最高点O 为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则(12,8)A --,(12,8)B -,
设拱桥所在的抛物线方程为2
2(0)x py p =->,…3分 因点(12,8)A --在抛物线上,代入解得9p =, 故拱桥所在的抛物线方程是2
18x y =-.……6(2)因2
18x y =-,故当3x =时,0.5y =-, 故当水位暴涨1.54m 后,船身至少应降低
6.5 1.54(80.5)0.54+--=,…………….11分
因精确到0.1m ,故船身应降低0.6m .
答:船身应降低0.6m ,才能安全通过桥洞.……12分
19.解:不妨设正方体的棱长为1,以{}
1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r
为单位正交基底,建立如图所示
空间直角坐标系D xyz -,则各点坐标为(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,1
C 1(1,0,1)A ,1(1,1,1)B ,1(0,0,1)
D ,1(,1,0)2
E ,1
(0,,0)2
F .………2(1)因为1(1,0,1)A D =--u u u u r ,11
(,,0)22EF =--u u u r ,所以
1A D ==u u u u r ,2
EF ==
u u u r , 111
0022
A D EF ?=++=u u u u r u u u r ,………4分
由1111
cos ,2
A D EF A D EF A D EF ?==u u u u r u u u r
u u u u r u u u r u u u u r u u u r 〈〉,因
1,A D EF u u u u r u u u r 〈〉[]0,π∈ 故向量1A D u u u u r 与EF u u u r 夹角为3π,因此,1A D 与EF 所成角的大小为3π
.………6分
(2)11
(1,,1)2
A F =--u u u u r ,1(1,1,1)AC =-u u u u r ,11(1,1,0)D
B =u u u u r ,1(0,1,1)D
C =-u u u u r ,
因为11111+11+10=0AC D B ?=-???u u u u r u u u u r ,1110+11+1(1)=0AC D C ?=-???-u u u u r u u u u r
, 所以111AC D B ⊥u u u u r u u u u r ,11AC D C ⊥u u u u r u u u u r ,
又1111D C D C D =I ,所以1AC ⊥u u u u r 平面11D B C ,因此1AC u u u u r
是平面11D B C 的法向量; (8)
分
因为132
A F ==u u u u r ,1AC ==u u u u r
1111
1(1)1(1)122A F AC ?=-?-+?+-?=u u u u r u u u u r ,……10分
所以,111111
cos ,A F AC A F AC A F AC ?<>=u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ………11分 综上,1A F 与平面11D B C …………12分
20.解:(1)因为32n n S a =+,所以当1n =时,1132S a =+,解得13a =-.
当n ≥2时,11(32)(32)n n n n n a S S a a --=-=+-+,化简得12n n a a -=.
又130a =-≠,所以0n a ≠,因此
1
2n
n a a -=, 所以{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列,即132n n a -=-?;…..3分
又111a b +=-,2348a b =-,即131b -+=-,3648b -=-,所以12b =,38b =,
因为数列{}n b 为等差数列,所以公差311
()32
d b b =-=,故31n b n =-;…..5分
(2)由(1)知{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列,所以1(1)
3321n n n a q S q
-==-?-,
所以
1113
n n n S S S ++-?=1113332(332)(332)n n n ++--?-??-?11113(12)3(12)(12)
n n n ++=-
--?- 11121111
()3(12)(12)32121
n n n n n ++--==---?---,……8分 故n T =
1223341111111111()()())32121212121212121n n +??
--+-+-+???+-??--------??
111
(1)321n +=---.…10分
若10102332n T ->?,即110111023(1)32132n +--->-?,即110
111
2110242
n +>=-, 可得110212n +-<,所以9n ≤, 综上,使得10
1023
32n T >-?的最大的n 的值为9.……12分
21.解:(1)在ABP ?中作BD AP ⊥,垂足为D ,
因为PB PC ==2AB AC ==,AP 为公共边, 所以ABP ?≌ACP ?,又BD AP ⊥,所以CD AP ⊥, 所以BDC ∠为二面角B AP C --的平面角;…..2分 又222PB AB PA +=,所以90PBA ∠=o ,
P
A
C
D E
O
故ABP ?的面积11
22
ABP S AB PB PA BD ?=?=?,
所以AB PB BD PA ?=
=
,同理CD = 在BCD ?中,2221
cos 210
BD CD BC BDC BD CD +-∠==-?,…..4分
所以,二面角B AP C --大小的余弦值为1
10
-.………..5分
(2)(法一)取BC 中点E ,连结AE ,PE ,在平面PAE 中作PO AE ⊥,垂足为O . 因为AB AC =,所以AE BC ⊥.同理PE BC ⊥.
又AE PE E =I ,AE ?平面PAE ,PE ?平面PAE ,所以BC ⊥平面PAE . 因为PO ?平面PAE ,所以PO BC ⊥.
又PO AE ⊥,BC AE E =I ,BC ?平面ABC ,AE ?平面ABC , 所以PO ⊥平面ABC ,
因此,点P 到底面ABC 的距离即为PO 的长;…………..8分
在Rt ABE ?中,5
3
AE =,
在Rt PBE ?中,PE ===
在PAE ?中,2224
cos 25
PA AE PE PAE PA AE +-∠==?,……..10分
所以,3
sin 5PAE ∠=,
在Rt PAO ?中,9
sin 5PO PA PAE =?∠=,………..11分
综上,点P 到底面ABC 的距离为9
5
.……………..12分
(法二)由(1)知BD AP ⊥,CD AP ⊥,又BD BCD ?面,CD BCD ?面,BD CD D ?=
所以AP BCD ⊥面,则1
3
P ABC P BCD A BCD BCD V V V PA S ---?=+=?,
在BCD ?中,BD CD ==
,1
cos 10
BDC ∠=-,
故1
sin 2BCD
S DB DC BDC ?=?∠2
1233?=? ??
则133P ABC BCD V PA S -?=?=.
在ABC ?中,2AB AC ==
,BC =
ABC S ?=设点P 到底面ABC 的距离为h
,则13P ABC ABC V hS -?==,故95
h =.
22.解:(1
)由(P 在椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>上得222312a b
+=; ①
如图,由A 为C 的右顶点B 为C 的上顶点可知(,0)A a ,(0,)B b . 因OP ∥AB ,所以OP AB k k =
,则b
a
=-; ② …………2分
联立①②得方程组222
31,2,a b b a ?+=????=-??
解得2,
a b =???=??故所求椭圆C 的方程为
22
143
x y +=.…4分 (2)(法一)因椭圆C 的方程为22
143
x y +=,所以(1,0)F -,(2,0)A .
因直线l 的斜率不为0,可设直线l 的方程为1x ky =-,设11(,)D x y ,22(,)E x y ,
联立方程组22
1,43
1,x y x ky ?+=???=-?
消去x 得22
(34)690k y ky +--=,………6分
解得1,2y =,故122
634
k y y k +=+,122934y y k -=+
,12234y y k -=+. 因2AD AE k k -=-,则
1212222y y x x -=---,则12
12233
y y ky ky -=---,即21212123()
23()9
y y k y y k y y -=--++,
2=
,故k =………10分
所以直线l
的方程为1x =-
,即10x +=.…………12分
(法二)因椭圆C 的方程为22
143
x y +=,所以(1,0)F -,(2,0)A .
当直线l 的斜率不存在时1AD AE k k -=-.……………6分
当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为(1)y k x =+,设11(,)D x y ,22(,)E x y ,
联立方程组22
1,43
(1),x y y k x ?+=???=+?
消去y 得2222
(43)84120k x k x k +++-=,
解得1,2
x =2
122843
k x x k -+=+,212241243k x x k -=+
,122
43
x x k -=+. 因2AD AE k k -=-,则
12
12222
y y x x -=---,由(1)y k x =+得 1212(1)(1)222k x k x x x ++-=---,即21123()
2(2)(2)
k x x x x -=---,………………8分
2112123()22()4k x x x x x x -=--++
,22
223(43412164
4343
k k k k
k k ?+-++++2=-,
化简得2k =-
,解得k =
所以直线l
的方程为1)y x =+
,即10x ±+=.…………12分
2021-2022年高二数学3月入学考试试题文 本试卷分试题卷和答题卡两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分组成,共4页;答题卡共4页.满分100分,考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共48分) 注意事项: 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. 若, 则直线的斜率为 A. B. C. D. 2. 某单位有840名职工,现采取系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…, 840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间 A.11 B.12 C.13 D.14 3. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2 下列两个事件是互斥但不对立的事件是
A.至少有一个白球,都是白球 B.至少有一个白球,至少有一个红球 C.至少有一个白球,都是红球 D.恰有一个白球,都是白球 4. 读右边的程序,若输入,则输出 A. B. C. D. 5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列联表: 由) )()()(()(2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得,观测值 8.750 605060)20203040(1102≈????-??=k . 附表: 参照附表,得到的正确结论是 A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”