由此可知，当L T T =时，系统处于稳定运行状态；当L T T ≠，系统处于加速或减速状态，我们把这种运动状态称为动态或过渡状态。

2.2.2多轴旋转拖动系统的折算

前面我们讨论的是单轴电力拖动系统的问题，而实际的生产机械大多数都是多轴拖动系统，如图2-8（a ）所示。多轴拖动系统电动机的输出轴不是直接拖动生产机械运转，而是通过传动机构与生产机械相连，因此对于多轴电力拖动系统，不同的轴具有各自不同的转动惯量和转速。

研究多轴电力拖动系统的力学问题有两种方法，一种对拖动系统的每根轴分别列出相应的运动方程式，再列出各轴间互相联系的方程式，联立求解，这种解法因方程较多、计算量大，比较繁琐。另一种方法采用折算的方法，把复杂的多轴拖动系统（如图2-3（a ）所示），等效为一个简单的单轴拖动系统（如图2-3（b ）所示），然后再按上节得出的结果分析系统的运行情况。等效折算的原则是保持两个系统传送的功率及储存的动能相同。下面我们将根据这个原则来介绍具体的折算方法。

以电动机轴为研究对象，需要折算的参量为：工作机构负载转矩m T 、系统中各轴（除电动机轴外）的转动惯量1J 、2J 、3J ...及工作机构的转动惯量m J 。

图2-3电力拖动系统示意图 （a ）传动图；（b ）等效折算图

1. 转矩的折算

如图2-3（a ）及2-3（b ）所示，已知生产机械的工作机构的阻转矩为m T 角速度为m Ω，折算成单轴旋转系统的等值转矩为L T ，电动机的角速度为Ω。传动效率为t η，根据传送功率不变的等效原则，折算成单轴旋转系统后的负载功率为实际的负载功率与传动损耗功率之和，应有如下的关系

t

m

m L T T ηΩ=

Ω

等效负载转矩为

j

T T T t m

m

t m

L ηη=

???

? ??ΩΩ=

（2-17） 如果传动机构为齿轮，则转速比为

2

121z z

n n j ==

（2-18） 式中，1z 、2z 为齿轮的齿数，齿轮传动机构转速与齿数成反比。

如果传动机构为皮带，则转速比为

1

2

21D D n n j ==

（2-19）

式中1D 、2D 为皮带轮的直径，皮带轮传动机构转速与皮带轮的直径成反比。

如果传动机构为蜗轮蜗杆，则转速比为

1

2

21z z n n j ==

（2-20） 式中，1z 为蜗杆的头数，2z 为齿轮的齿数。

在多级传动系统中，如各级效率为 1c η、2c η、 3c η则传动机构总效率c η应为各级效率的乘积

321c c c c ηηηη??= （2-21）

不同类型的传动机构每级效率以及转速比可从机械工程手册中查到。

2．等效转动惯量的折算

为了使复杂的多轴运动系统简化为等效的单轴系统，在运用式（2-15）运动方程式分析问题时，不仅对负载转矩进行折算，而且对转动惯量、飞轮矩也要进行折算，等效折算的原则应保持实际系统与等效系统储存的动能相等，系统的惯性作用不因折算而有所改变。

在类似图2-3（a ）所示的多轴系统中，已知电动机和工作机构之间共有n 根轴，各轴的转动惯量为R J 、1J 、2J …及工作机构的转动惯量m J ，折算成单轴旋转系统的等效的转动惯量为J ，电动机轴及其它各轴的角速度为Ω、1Ω、2Ω、...、m Ω，根据等效折算原则，得出下列关系：

()()22212212

21

12

2

2

222

112

2

2

222

112

2222

2112

2222211222

12121212121j J j j j J j j J j J J n n J n n J n n J n n J J J J J J J J J J J J J J J J J J J m n n R m m n n R m m n n R m m n n R m m n n R +

++++=?

?

? ??+??? ??++???

??+??? ??+=?

?? ??ΩΩ+??? ??ΩΩ++???

??ΩΩ+??? ??ΩΩ+=???? ??ΩΩ+???? ??ΩΩ++???? ??ΩΩ+???? ??ΩΩ+=Ω+Ω++Ω+Ω+Ω=Ω （2-22）

将上式中求有的J 用相应的2

GD 代替，得到飞轮矩的折算公式。

()

()

2

2

2

212

2

2122

2

1

2

12

222

2222

1212

2j GD j j j GD j j GD j GD GD n n GD n n GD n n GD GD GD m

n n

R m z d +

+

++

+

=?

??

???++??? ???+???? ???+= （2-23）

一般情况下，在系统总的飞轮力矩中，占最大比重的是电动机轴上的飞轮力矩，其次是工作机构的飞轮力矩的折算值，占比重最小的是传动机构各轴上的飞轮力矩的折算值。

2.2.3平移运动系统的折算

很多生产机械不仅有旋转运动的工作机构，还兼有平移运动的工作机构，

图2-9 龙门刨床传动机构示意图

图2-4龙门刨床传动机构示意图

例如图2-4所示的龙门刨床主传动机构，电动机经齿轮箱减速后，再经齿轮齿条将旋转运动变换为平移运动，拖动工件运动。如何将这种平移运动系统折算成单轴拖动系统?折算的原则仍然是保持折算前后两个系统所传送的功率及储存的动能不变。需折算的参量有：平移作用力T L 和平移运动部件的质量m 。

1．等效负载转距

将平移作用力m F 折算成等效单轴旋转系统的负载转矩L T 。

设工作台的平移速度为m v ，平移作用力为m F ，传动效率为t η，等效单轴旋转系统的负载转距为L T ，角速度为Ω，根据折算原则，应保持两个系统传送的功率相同，即

t

m

m L v F T η=

Ω

由此求得将平移作用力折算成的等效负载转距为

n

v F vm F T t m

m t m L ηπη260=Ω=

（2-24） 2．等效转动惯量和等效飞轮矩

将平移运动部件的质量m 折算成等效单轴旋转系统的转动惯量。

设工作部件的质量为m ，平移速度为m v ，等效单轴旋转系统的转动惯量为m J ，角速度为Ω，根据折算原则，应保持两个系统储存的动能相等，即

由此求得将平移运动部件的质量单独折算到单轴旋转系统的等效转动惯量为

2

2

Ω

=m

m mv J 若用重量m G 和转速n 计算，则

2

2

2223.9260n v G n

v g G J m m m

m m =??? ??=π （2-25） 将上式中求得的J 代入GD 2 = 4gJ 中，得到飞轮矩的折算公式

22

2222

36526044n v G n v

g G gJ GD m m m m m m

=??

? ???==π （2-26）

对整个多轴旋转加平移运动的系统来说，等效成单轴旋转系统时的总的转动惯量为

()

()

m n n

R J j j j J j j J j J J J ++

++

+

=2

212

212

2

1

1 （2-27）

总的飞轮矩的折算公式为

()

()

2

2

212

2

2122

2

1

2

12

2

22222

1212

2m

n n

R m d GD j j j GD j j GD j GD GD GD n n GD n n GD GD GD ++

++

+

=?

++??? ???+???? ???+= （2-28）

222

121m m mv J =Ω

2.2.4升降运动系统的折算

某些生产机械具有升降工作机构，起重机的示意图如图2-10所示，这是一种在竖直方向的直线运动。电动机轴上的等效负载转矩及等效转动惯量折算方法与平移运动系统的折算方法完全相同。折算的原则也是保持两个系统传送的功率和储存的动能相同。但由于这种系统重物的运动方向有两种，一种电动机拖动重物上升，另一种重物在重力作用下下降。因此，在进行折算时应考虑功率的传送方向，有两种工作情况。

图2-5起重机示意图

1．电动机工作在电动状态等效负载转矩

电动机工作在电动状态时，将所吊的重物提起。设所吊起的重物的重力为m G ，升起的速度为m v ，功率由电动机向工作机构传送，传动损耗t η由电动机承担，电动机发出的功率比生产机构消耗的功率大。根据传送功率不变的原则，应有如下的关系：

t

m

m L v G T η=

Ω

把电动机的角速度Ω化成每分钟转数n ，则上式变成

t

m

m L n v G T ηπ260=

（2-29）

式中，m G —吊起重物的重力，单位N ；

m v —重物提升速度，单位s m /；

t η—提升传动效率；

2．电动机工作在发电制动状态等效负载转矩

当重物在重力的作用下，带动电动机使重物放下时。功率的传送方向与电动状态时的方向相反，即有工作机构向电动机传送，传送过程中损耗的功率由工作机构承担，同样，也按传送功率不变的原则，应有如下的关系：

t m m L v G T η'=Ω

把电动机的角速度Ω（弧度/秒）化成每分钟转数n ，则上式变成

'

=

t m m L n

v G T ηπ260 （2-30）

式中，m G —吊起重物的重力，单位为：N ；

m v —重物提升速度，单位为：s m /；

'c η—下放传动效率

在提升与放下重物时传动损耗相等的条件下，下放传动效率与提升传动效率之间有下列关系：

t

t ηη1

2-

=' （2-31）

该式可根据传送功率损耗相等进行证明。

3. 等效转动惯量

以图2-5为例，质量为m 的重物在升降中储存有动能，将其等效为单轴旋转系统，用电动机轴上的一个转动惯量为m J 的转动体与之等效。折算的原则是单轴旋转系统的转动惯量

m J 与以速度m v 运动的质量为m 的重物中储存的动能相等，即

2

22

121m m mv J =Ω 等效转动惯量为

2

2

Ω

=m m mv J （2-32） 若用重量m G 和转速n 计算，得

2

2

2223.9260n v G n

v g G J m m m

m m =??? ??=π （2-33） 上式与式（2-25）相同。

将上式中求得的J 代入GD 2 = 4gJ 中，得到飞轮矩的折算公式。

22

2222

36526044n v G n

v

g G gJ GD m m m m m m

=??? ???==π （2-34）

该式与式（2-31）相同。

对整个多轴旋转加升降运动的系统来说，等效成单轴旋转系统时的总的转动惯量为

()

()

m n n

R J j j j J j j J j J J J ++

++

+

=2

212

212

2

1

1 （2-35）

总的飞轮矩的折算公式为

()()2

2

212

2

212

2

2

1

2

12

2

2

2222

1212

2m

n n

R m R GD j j j GD j j GD j GD GD GD n n GD n n GD GD GD ++

++

+

=?

++??? ???+???? ???+= （2-36）

通过以上四部分的折算，可以把一个复杂的多轴系统（在系统中可包括旋转运动也可包括直线运动部分）折算成一个单轴拖动系统，这样，仅用一个运动方程式即可研究实际多轴系统的静态与动态问题。使问题的研究简单化。

例2-1 某台电梯的拖动系统示意图如图2-6所示，当电动机的转速为额定转速n =e n = 980min /r 时，轿箱上下运动的速度v =0.8m /s 。曳引机轮的直径g D =0.85m ，轿箱自重4000N ，可以载重36000N ，平衡块的重量为20000N ，重载提升时的传动效率η=0.85，轻载提升时的传动效率0η=0.75。若不计钢丝绳的重量，求：

（1）空轿箱提升及下降时，分别折算到电动机轴上的负载转矩及负载飞轮力矩。 （2）轿箱满载提升及下降时，分别折算到电动机轴上的负载转矩及负载飞轮力矩。 （3）轿箱满载上升及空轿箱上升时，如果要求初始加速度为2

/28.0s m ，则电动机发出的初始转矩分别为多少？（已知电动机的减速机构以及曳引机的飞轮力矩总共为

)952Nm GD =

图2-6电机拖动系统示意图

解：

（1）空载提升时，因为空轿箱比平衡块轻，所以实际上是求平衡块下降时负载转矩的折算值，因为

'

=

t m m L n

v G T ηπ260

又因为空轿箱提升与放下时传动损耗相等，所以下放传动效率与提升传动效率之间有下列关系：

t

t ηη1

2-

='

所以

()Nm

n

v G n v G T t m

m t m m L 16.8375.0129808.0200004000260122602600-=??? ??-??-?=???

? ??-=

'=

πηπηπ 设轿箱提升时的电动机旋转方向为正，反之则为负。电动机的转速和输出转矩的方向也

按照这样规定。负载转矩方向的定义正好与它相反。此时，负载转矩为负，表示负载转矩拖着轿箱上升，也就是说，由于平衡块拖拽而使空轿箱上升。电动机转速为正，输出电磁转矩为负，为发电运行状态。

同理空轿箱下降实际上是平衡块提升，所以负载转矩的折算值为

()m N n v G T t

m m L ?-=??-?

=

=

'3.16675.09808

.02000040002602600πηπ 此时，电动机输出的电磁转矩为负，转速也为负。电动机必须在负方向上输出转矩来克服平衡块与空轿箱重量差值所造成的负载转矩，使空轿箱下降。电动机运行在反方向电动状态。

空轿箱提升或下降时飞轮力矩的折算值为

2

2

22202

84.5980

8.0)400020000(365365Nm n v G GD L L =?+?== （2）轿箱满载提升时负载转矩的折算值为

()Nm

n v G T t

m

m L 43.18385.09808

.02000040000260260=??-?

=

=πηπ 此时，电动机的转速为正，转矩也为正，电动机运行在正向电动状态。电动机必须在正方向上输出转矩来克服平衡块与满载轿箱重量差值所造成的负载转矩，使轿箱提起。

轿箱满载下降时负载转矩的折算值为

()Nm

n

v G n v G T t m

m t m m L 4.12885.0129808.0200004000026012260260=??? ??-??-?=???

? ??-=

'=

πηπηπ 此时，负载转矩拖着轿箱下降，也就是说，满载轿箱克服平衡块的拖拽而下降。电动机转速为负，输出电磁转矩为正、为制动运行状态。

满载轿箱提升或下降时飞轮力矩的折算值为

22

2

222

6.14980

8.0)4000020000(365365Nm n v G GD L L

=?+?== （3）轿箱满载提升，初始加速度为2

/28.0s m ，因为

dt

dn

GD T T L 3752=-

而 2

2

2

126.109)6.1495(Nm m N GD GD GD L =?+=+=

s r s r dt dn min /343)/(min 8

.098028.0=??= 电动机发出的转矩为

Nm dt dn GD T T L 68.283343375

6.10943.1833752=?+=+=

空轿箱提升，初始加速度为2

/28.0s m 时，因为

dt

dn GD T T L 3752

00

=-' 而 Nm m N GD GD GD L 84.100)8.595(2

02

12

0=?+=+= 电动机发出的转矩为

Nm m N dt dn GD T T L 075.934337584.10016.833752

00=???

?

???+-=+='

2.3 电力拖动系统的暂态过程

电力拖动系统的暂态过程（也称电力拖动系统的过渡过程），是指电力拖动系统从一个稳定的工作状态到另一个稳定的工作状态之间的变化过程，在该过程中，电动机的电磁转矩、转速、电流都随时间而变化。

暂态过程存在的主要原因为：电力拖动系统中存在着各种惯性环节，因而使得电动机必须经过一定的时间才能从一个稳定的工作状态过渡到另一稳定的工作状态。主要的惯性环节有：机械惯性和电磁惯性。机械惯性存在的原因，主要是拖动系统中的运动部分具有一定质量的，当物体作旋转运动，就存在一定的转动惯量，且转动惯量2

ρm J =。由于转动惯量的存在使得电动机的转速不能突变；电磁惯性存在的原因，主要是电动机的电枢回路中存在着电感，电感中的电流也不能突变。

所以，当电动机的负载发生变化时，将打破拖动系统当前的稳定运行状态，电动机进入过渡过程。经过一定的时间，过渡过程结束，电动机将在另一稳定的工作状态下运行。

我们研究电力拖动系统的暂态过程，主要研究的是电动机的电磁转矩T 、转速n 、电枢

电流a I 等随时间变化的规律，即求出)(t f n =、)(t f T =、)(t f I a =的函数表达式。

一般来说，电动机电枢回路的电感比较小，可忽略不计，因此电磁惯性对暂态过程的影响不予考虑。只考虑机械惯性对暂态过程的影响，称为电动机的机械暂态过程。两者均考虑的暂态过程称为机电暂态过程。

下面，以他励直流电动机为例研究电力拖动系统的暂态过程

。

图2-7机械特性上B →C 的过渡过程

如图2-7所示，已知一他励直流电动机在切除电枢外串电阻c R 时的机械过渡过程。原来电动机在A 点稳定运行，当切除c R 时运行点将沿C B A →→变化，其中B 点为过渡过程的起点，C 点是过渡过程的结束点，即下一稳定运行点。C B →之间为电动机的机械过渡过程，下面我们分别研究在C B →过渡过程中，n 、T 及a I 随时间变化的规律。

2.3.1转速变化规律)(t f n =

假设电源电压、磁通及负载转矩为常数，已知各量在过渡过程中的初始值为i n 、

i T 及ai I ；各量在过渡过程结束的稳态值为s n 、s T 及as I 。

根据电力拖动系统的运动方程式dt

dn

GD T T L 3752=-及他励直流电动机的机械特性方程

式T n n β-=0，得到

dt dn

GD T n T dt dn GD n n L L 3753752020βββ--=???

? ??+-=

dt

dn

T n n M

s -= （2-42）

式中，L s T n n β-=0为过渡过程结束后电动机的稳定转速；dt

dn

GD T M 3752β=为机电时

间常数。

解微分方程（2-42）得到

M

T t s Ce

n n -

+= （2-43）

式中C 为积分时间常数，0=t 时，i n n =带入上式得

s i n n C -=

所以

M

T t

s i s e

n n n n -

-+=)( （2-44）

上式即为转速的机械暂态过程的表达式。

利用上式可推出过渡过程中当转速达到某一数值时所用的时间 当电动机的转速x n n =时，所用的时间为

s

x s

i M x n n n n T t --==ln

（2-45）

2.3.2电磁转矩的变化规律)(t f T =

与分析转速的机械暂态过程相同，也根据电力拖动系统的运动方程式

dt

dn

GD T T L 3752=- 及他励直流电动机的机械特性方程式T n n β-=0，得到

()dt

dT J T n dt d

GD T T L βπβ60237502-=-=

- 移项后得

L T T dt

dT J =+βπ602 解上式得

M

T t

s i s e

T T T T --+=)( （2- 46）

上式即为电磁转矩的机械暂态过程的表达式。

利用上式可推倒出过渡过程中当电磁转矩达到某一数值时所用的时间。 当电动机的电磁转矩

x

T T =时，所用的时间为

s

x s

i M x T T T T T t --==ln

（2-47）

2.3.3电枢电流的变化规律)(t f I a =

根据已知条件，电源电压、磁通、及负载转矩均为常数，因为他励直流电动机的电枢电流与电磁转矩成正比，通过式（2-45）得

M

T t as ai as a e

I I I I -

-+=)( （2-48）

上式即为电动机电枢电流的机械暂态过程的表达式。

利用上式可推导出过渡过程中当电枢电流达到某一数值时所用的时间。 当电动机的电枢电流

x

a I I =时，所用的时间为

as

ax as

ai M x I I I I I t --==ln

（2-49）

从上述分析中得到的B-C 段电动机的转速、转矩和电流随时间变化的一般规律，对于其它段的过渡过程如起动、制动，代入初始条件和终值条件便可得到在规定状态和是的暂态过程的情况。

2.4生产机械的负载转矩特性

在运动方程式中，阻转矩（或称负载转矩）L T 与转速n 的关系 ()n f T L =，即为生产机械的负载转矩特性， 大多数生产机械的负载转矩可归纳为下列三种类型：

2.4.1恒转矩负载特性

恒转矩负载的特点是负载转矩L T 与转速n 无关，即当转速变化时，负载转矩L T 保持常值。 恒转矩负载特性有反抗性的，也有位能性的。

反抗性恒转矩负载特性的特点是，恒值转矩L T 总是与运动方向相反。根据式（2-16）中转矩L T 的正负号规定；当正转时n 为正，转矩L T 为反方向，应取正号，即为+L T ；而反转时

n 为负，转矩L T 为正方向，应变为-L T 。因此，反抗性恒转矩负载特性如图2-13所示。特性

在第一与第三象限内。属于这种特性的负载有金属的压延、机床的平移机构等。

图2-8反抗性恒转矩负载特性

位能性恒转矩负载特性与反抗性恒转矩负载特性不同，它由拖动系统中某些具有位能的部件（如起重类型负载中的重物）形成，其特点是转矩L T 具有固定的方向，不随转速方向改变而改变。负载特性如图2-8所示。不论重物提升（n 为正）或下降（n 为负），负载转矩始终为反方向，即L T 的始终为正，特性画在第一象限与第四象限内，表示恒转矩特性的直线是连续的。

图2-9位能性恒转矩负载特性

由图2-9可见，提升时，转矩反对提升，下放时，L T 却帮助下放，这是位能性负载的特点。

2.4.2通风机负载特性

通风机负载的转矩与转速大小有关，基本上与转速的平方成正比，即 2

Kn T L ，K 是

比例常数。