2012-2013学年江苏省无锡一中高三（上）第一次质量检测数学试卷（文科）
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）=_________．2．（5分）已知i是虚数单位，若1+7i=（x+yi）（2﹣i）（x，y∈R），则xy=_________．
3．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为_________．
4．（5分）已知向量的夹角为120°，且，，则=_________．
5．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为_________．
6．（5分）观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4．|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8．…，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为_________．
7．（5分）已知，则cos2α=_________．
8．（5分）（2012?天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_________．
9．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是_________．
10．（5分）满足f（xy）=f（x）+f（y）+1的函数f（x）的解析式可以是_________．
11．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前60项和为_________．
12．（5分）不等式x2﹣1≥a|x﹣1|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_________．
13．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_________．
14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为_________．
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知集合，B={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}．
（1）若a=2，求集合A；
（2）若B?A，求实数a的取值范围．
16．（12分）已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．
（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（0，﹣2），半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为．
（1）若r为正常数，求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
18．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．
19．（14分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2（n∈N*），
（1）求a2以及数列{a n}的通项公式；
（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d n的等差数列．
（ⅰ）求证：（n∈N*）；
（ⅱ）求证：在数列{d n}中不存在三项d m，d s，d t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）20．（16分）已知a为实数，函数，g（x）=（1+ax）e x，记F（x）=f（x）?g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y﹣1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当时，解不等式F（x）＜1．
2012-2013学年江苏省无锡一中高三（上）第一次质量检测数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）={1，2}．
2．（5分）已知i是虚数单位，若1+7i=（x+yi）（2﹣i）（x，y∈R），则xy=﹣3．
3．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为．
故其中甲、乙两人站在一起的概率是
﹣=
故答案为：
4．（5分）已知向量的夹角为120°，且，，则=．
||=
||===故答案为：
5．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．
利用正弦定理=
，
由正弦定理=得：，
B=
﹣﹣=
故答案为：
6．（5分）观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4．|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8．…，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为80．
7．（5分）已知，则cos2α=．
）（﹣﹣
=﹣
=
=
故答案为：
8．（5分）（2012?天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．
d=
d==
=
x=
，
y=
）
≤
=OA≥
9．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是2．
﹣，再由所得图象经过点
ω?=k
的图象向右平移﹣再由所得图象经过点ω（
ω?
10．（5分）满足f（xy）=f（x）+f（y）+1的函数f（x）的解析式可以是f（x）=﹣1．
11．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前60项和为1830．
解：∵
∴
∴
12．（5分）不等式x2﹣1≥a|x﹣1|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
13．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．
==，令，则
从而函数）=
==
令，则
∴
=
14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积
为．
可得约束条件：
故所求面积为：
故答案为：
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知集合，B={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}．
（1）若a=2，求集合A；
（2）若B?A，求实数a的取值范围．
，根据对数函数的性质，可得
）集合
可得
时，
当，所以
当所以
16．（12分）已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．
为，计算=
最小值时，
）由题意=为
=
所以当时，的最小值为
轴，建立平面直角坐标系，则，∴
，所以，﹣（﹣=
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（0，﹣2），半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为．
（1）若r为正常数，求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
轴截得的弦长为
，由题意可知，解得
的方程为
（
则±
18．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．
AE=CE=
cosA=
cosA= EF=
=
=2
x=y=时取等号
所以=
x=y=时取等号
最小值是
同上可得
x=y=取等号
19．（14分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2（n∈N*），
（1）求a2以及数列{a n}的通项公式；
（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d n的等差数列．
（ⅰ）求证：（n∈N*）；
（ⅱ）求证：在数列{d n}中不存在三项d m，d s，d t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列））由题意可知，
成等比数列，则
∴
通过错项相减求得
则
即
整理，得（
∴
∵
20．（16分）已知a为实数，函数，g（x）=（1+ax）e x，记F（x）=f（x）?g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y﹣1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当时，解不等式F（x）＜1．
代入
函数
时，即
设
，
时，总有