?
不定积分解题方法总结
摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。
1.利用基本公式。（这就不多说了~）
2.第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([?????
其中)(x ?可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：?
+-+dx x x x
x )
1(ln )1ln(
【解】)
1(1
111)'ln )1(ln(+-
=-+=
-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2
)ln )1(ln(2
1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：?
+dx x x x 2
)ln (ln 1
【解】x x x ln 1)'ln (+=
C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1
)ln (ln )1(ln 122
3.第二类换元法：
设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式
??=dt t t f dx f )(')]([x)(??
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：
acht
x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t
a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax t
b ax b ax m n n
n
n 1
)6()5()4(2=++?=++++=++
（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。
C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2sin
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t
t dt t t t
dt t t
t t
x x x
dx +-
=--=--=--=???
? ??-?-?
=
--?
????66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1
11
6
1
111
11
1
11
1
（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。
C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2sin
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t
t dt t t t
dt t t
t t
x x x
dx +-
=--=--=--=???
? ??-?-?
=
--?
????66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1
11
6
1
111
11
1
11
1
4.分部积分法.
公式：??-=νμμννμd d
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x
x x ?
-?2
31arccos
【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则
=-=-=-???
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos
C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=
-+-=---=-=-????arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
例4：?xdx 2arcsin 【解】
?
?--=dx
x x x x x xdx 2
2
211arcsin 2sin arcsin
C
x x x x x dx x
x x x x x x xd x x +--+=----+=-+??2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22
222
上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在??-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：
选取的函数不能改变。
，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x
x e x P x x x ax ax e x P ax
m ax m ======
将以上规律化成一个图就是：
但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：
C
bx b bx a b a e dx bx e I C
bx b bx a b a e dx bx e I ax ax
ax
ax
+++=?=+-+=?=??)sin cos (cos )cos sin (sin 2
222
21 （分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）
5 不定积分中三角函数的处理
1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数?+dx x
x 2
2cos sin 1
上下同乘x sin 变形为
()()
()
?
?+--=+x x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12 令x u cos =，则为
()
()()()()()c
x x c x x
x du
u u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--
??2
sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141
141121(112222
2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 22=+x x 的使用。
()()c x x x x dx
x x dx x
x x x dx x x x x +???
?
??+--=
??
????+--=+-+=+???82tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1
cos sin 21cos sin cos sin 2
ππ 三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，
适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次
①形如的cos sin ?xdx x n m 积分（m ，n 为非负整数） 当m 为奇数时，可令x u cos =，于是
(
)
???----=-=du u u
x xd x dx x x n m n
m n m 2
1
2
1
1cos cos sin cos sin ，
转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令x u sin =，于是
()
???---=
=
du u u x xd x xdx x u m
n m
n
m
2
1
2
1
1sin cos
sin
cos sin
，
同样转化为多项式的积分。
当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
,
2
2c o s 1c o s ,22c o s 1s i n
,2s i n 21
c o s s i n 2
2
x x x x x x x +=-==
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。
② 形如?xdx n tan 和?xdx n cot 的积分（n 为正整数）
令xdx u tan =，则u x arctan =，2
1u du
dx +=
，从而
??
+=
,1tan
2
du u
u xdx n
n
已转化成有理函数的积分。
类似地，?xdx n cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。
③形如?xdx n sec 和?xdx m csc 的积分（n 为正整数） 当n 为偶数时，若令x u tan =，则2
1,arctan u
du
dx u x +=
=，于是
()()
()
????-+=++=
+=
du u du u
u dx
x xdx n
n
n
n
1
222
2
22
2
111
1tan 1sec
已转化成多项式的积分。
类似地，?xdx n csc 可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。 当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。
4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
()c
x x x x xdx x x x x xd x xdx x x dx x x xdx x +--=+-=-=
-=-?
=
?
????2cos 8
1
2sin 41412sin 41
2sin 41412sin 41412cos 21
4122cos 1sin 22222
5.几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分
有理函数
)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)
()
(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现?+=n
n x a dx
I )(22时，记得用递推公式：12
1222)
1(23
2))(1(2----++-=
n n n I n a n a x n a x I ）
1.有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分
()
c x x dx
x x x dx x
x ++-
=????
??+-=+??4434
1ln 4
1
ln 1111
②注意分子和分母在形式上的联系
(
)()
()()()()
c
x x c t t dt t t
t t dt x t x x dx x x x dx ++-=++-=???? ??+-=
+=+=+????3
3ln ln 33ln 3ln 3113
1
3337
77
7767 此类题目一般还有另外一种题型：
()
c x x dx x x x dx x x x +++=
+++=
+++?
?
52ln 2
1
522
221
5
2122
2
2.注意分母（分子）有理化的使用
()()C x x x x x x dx
++-+=--
+=
-+
+?
?
23
233212
1
321214
1
2321
232例5：dx x x x x x ?+--+2
23246)1(2
4
【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22
322)
1(2
41++-+x x x x x
2
22242
2242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(2
11x
dx x x x xdx x x x dx x x x C x dx x x =++=++=++++=+????μ C x x C d d d ++-=+-+=+-=
+-+=++???)
1(1111))1(11()1()1()1(12222
2222
222μμμμμμμμμμμμμμ
故不定积分求得。
（2）三角函数有理式的积分
万能公式：?????
?????
?
+-=
+=2tan 12tan 1cos 2tan 12
tan 2sin 22
2x x
x x x x 化为有理函数可用变换2
tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =?的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。
对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成
x
x
x x sin cos cos sin 或。再用待定系数 x
b x a x b x a B x b x a A sin cos )
sin'cos'()sin cos (++++来做。（注：没举例题并不代表不重要~）
（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；同时出现x x -1和时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。 （4）善于利用x e ，因为其求导后不变。
()()
()
(
)
()()c xe
xe c
t t
dt t t xe t xe
d x
e xe dx xe x e x e dx xe
x x x
x
x x
x
x x x x x
++=++=+=+=
++=++??
??1ln 1ln 11111111
这道题目中首先会注意到x xe ，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为x x xe e +与分母差x e ，另外因为x e 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以x e 。
（5）某些题正的不行倒着来
c y y ydy ydy y y
y
y u du u u du u
u u u u ud du u u u du u u
u
u u x dx x x +-==
??=---
-=
-=
-=???
? ??-=?
??
?
?
?
??
tan tan tan sec sec tan sec 11
ln 11ln 1
ln 11
1ln 1sin sin sin ln 2222
2
222
22
()()
c
x x x x xdx x x dx
x x
x x x x x xd x x x xd +---=+-=+
-=+-=-=????cot sin ln cot cot sin ln cot sin cos sin cos sin ln cot sin ln cot sin ln cot cot sin 原式2
这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用x u sin =，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当
x u sin =这类一般的换元法行不通时尝试下x u
sin 1
=。这种思路类似于证明
题中的反证法。
（6）注意复杂部分求导后的导数
()()
??
-+=-+dt e
t t t x t dx x x x x x t
22212
ln ln 21ln 2ln 注意到:
()
t
t
t
t
t t t e t t e t y e t t e t t y e t t e t e t y 22333233212121222261--=
--=---=
()
32123-212
y y y e t t t t
-=-+
()
()
()()()
c
x x e x x c
t t e t t dt
e t t e t dt e t t e t t dt e t t e t e t dt e
t t t x t
t t
t t t
t
t t
+---=+---=---------=-+∴????ln ln 3ln ln 2ln ln ln 32ln 21213222261212
ln 3
322333322本题把被积函数拆为三部分：321,,y y y ，1y 的分子为分母的导数，2y 的值为1，
3y 的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛
中出现。
（7）对于?=/++)0(),(2a dx c bx ax x R 型积分，考虑ac b 42-=?的符号来确定取不同的变换。
如果0>?，设方程02=++c bx ax 两个实根为βα,，令 ()?-=++x t c bx ax 2，
可使上述积分有理化。
如果0
t x a c bx ax ±=++2，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
c xt c bx ax ±=++2，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析。