(本程式使用向后差分法)

3
f0
'
'
'
2 3
h
4
f
0
'
'
'
'
f3
f0
hf0
'
1 2
h
2
f
0
'
'
1 6
h
3
f0
'
'
'
h3
1 24
h4
f
0
'
'
'
'
f11
h2 2
2 f x2
0
b
h
y
7 26 10
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
联立求解，可获得：
f x 0
f1 f3 2h
2 x
f
2
0
f1
f3 2 f0 h2
13
差分近似
同理，沿y方向取点，可得：
f
f0
f y
0
y
y0
1 2
2 y
f
2
y
0
y0 2
...
总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以 及数学模型。为各种求解策略提供理论基础
4
求解策略
物理模型的简化
杆（梁） 平面问题
平面应力问题，薄板 平面应力问题：（很厚）柱体
板（壳）
发展数值求解策略
直接求解方法：差分方法 积分形式的控制方程问题：有限元，加权余量等
5
杆件(包括杆和梁)

去￡ 妇 ｄ ｋ 去￡ 讯 ｄ ｋ ｛ 击￡ 础 ｎ ” ｄ ｋ 去￡ 础妇 ｄ ｋ ＋ 去Ｅ 础瞰 ” ｄ ｋ ｝
一
上式可 以化 简为 ：
Ｕ（ ｘ ， ｔ ｎ ＋ １ ） ＝［ １ ＋ａ ２ ２ （ ｅ Ｍ一２ ＋ Ｐ 舳 ） 】 【 ， （ ， ）
（ ２）
逐渐衰减 ，函数值 随空间坐标按正弦规律变化 ，这 与定解 问题给出的解析解是一致 的，需要说 明的是
在得 到解 析解 的过 程 中 已经考 虑 了初 始条 件 和 边 界
条件 。
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ １ —２ ２
图１ 函数值 Ｈ随 Ｘ和 ｆ 变化 的解析解的 函数图像
Ｕ ； ５＝ ０
ｔ ≥０
当然上述定解问题可以用分离变量的方法求得其解析解为 ：
ｕ （ ｘ ， 、 ） ＝ｅ 一 ‘ ‘ ｓ ｉ ｎ ￣ ｘ
于是可以给出解析解的函数 图像 ，这里给 出函 数值 随 和 ｔ 变化的函数关系图 （ 见图 １ ） ：
从 图 １中可 以看 出 ，随着 时 间 的 增 加 ，函数 值
一
些 有趣 的结 果 。
１ 定解 问题
在数学物理方程 中，输运方程有很多，比如扩散方程 、热传导方程等。在此 ，用一个 比较简单的方程 ，
来考察差分格式对数值结果的影响 ，以下面的定解 问题为例 ：
２
ａ
Ｏ
． ＝ —
Ｏ ｘ。
Ｓ ｌ ｎ ｇＸ
０≤ Ｘ≤５ ，ｔ≥０ ０≤ ≤５
（ １ ． 玉溪 师 范学 院 理 学院 ，云 南 玉 溪 ６ ５ ３ １ ０ ０ ；２ ． 文 山学院 数 理 系，云南 文 山 ６ ６ ３ ０ ０ ０ ）

★【速算技巧一：估算法】 “估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法，在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。

所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。

估算的方式多样，需要各位考生在实战中多加训练与掌握。

进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了“估算”时候的精度要求。

★【速算技巧二：直除法】李委明提示：“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。

“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。

“直除法”从题型上一般包括两种形式：一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。

“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：一、简单直接能看出商的首位；二、通过动手计算能看出商的首位；三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。

【例1】56.10134.489294.13343.559310.7454.813222.0349.738、、、中最大的数是（ ）。

【解析】直接相除：30.2294.837＝30＋，10.7454.8132＝30-，94.13343.5593＝30-，56.10134.4892＝30-， 明显30.2294.837为四个数当中最大的数。

【例2】324094103、328954701、239553413、128941831中最小的数是（ ）。

【解析】32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，因此四个数当中最小的数是32895/4701。

李委明提示：即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。

Stata差分法什么是差分法？差分法（Difference-in-Differences, DID）是一种经济学和统计学中常用的估计因果效应的方法。

它通过比较一个处理组（接受某种干预或政策）和一个对照组（没有接受干预或政策）在时间上的差异，来估计干预或政策对处理组的影响。

差分法的基本思想是通过比较处理组和对照组在干预前后的差异，来消除处理组和对照组之间的时间不变的个体特征的影响。

这种方法可以有效控制时间不变的个体特征，从而更准确地估计干预或政策的效果。

Stata中的差分法Stata是一种常用的统计软件，提供了许多用于实施差分法的命令和函数。

下面我们将介绍一些常用的Stata命令，以帮助您使用差分法进行研究。

数据准备在使用差分法之前，首先需要准备好数据。

数据应包含处理组和对照组的观测值，以及干预或政策的实施时间。

数据可以是面板数据（panel data），也可以是交叉断面数据（cross-sectional data）。

差分法估计在Stata中，可以使用diff命令来进行差分法估计。

该命令的基本语法如下：diff outcome_var treatment_var, t(time_var) c(group_var)其中，outcome_var是因变量，treatment_var是处理变量，time_var是时间变量，group_var是分组变量。

结果解释差分法估计的结果通常以差异估计（difference estimate）的形式呈现。

差异估计表示处理组和对照组之间在干预或政策实施后产生的差异。

差异估计的符号和显著性水平可以帮助我们判断干预或政策的影响。

敏感性分析在使用差分法进行研究时，我们还需要进行敏感性分析，以检验结果的稳健性。

敏感性分析可以通过改变模型的设定或样本的选择来进行。

常用的敏感性分析包括：使用不同的控制变量、使用不同的时间窗口、使用不同的对照组等。

这些敏感性分析可以帮助我们评估差分法估计结果的稳健性，并提供更可靠的研究结论。

保本雪球有限差分法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述保本雪球是一种投资策略，旨在通过有效的风险管理和投资组合调整来确保资金的保值。

与传统的投资方式相比，保本雪球注重保护投资本金，以应对市场波动和风险。

同时，有限差分法是一种数值计算方法，主要用于解决微分方程或偏微分方程中的边值问题。

它将连续的函数或函数的导数逼近为离散的函数值，通过小的差分值近似表示导数的变化情况。

有限差分法在金融领域的应用也十分广泛，可以用于解决期权定价、风险度量等问题。

本文将介绍保本雪球的概念和有限差分法的基本原理，并探讨它们在风险管理和金融建模中的优势和应用。

1.2文章结构文章结构文章将分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分会介绍本文的概述、目的以及整体的结构安排。

正文部分将详细阐述保本雪球和有限差分法的概念和介绍。

在保本雪球概念部分，会解释什么是保本雪球以及其在金融领域的应用。

在有限差分法介绍部分，会介绍有限差分法的基本原理、应用领域以及具体的计算方法。

结论部分将总结保本雪球的优势和有限差分法的应用，并讨论它们在实际中的潜在价值和发展前景。

通过上述的结构安排，读者能够清晰地了解本文的主要内容和观点，并能够逐步深入地理解保本雪球和有限差分法的相关知识。

1.3 目的本文的目的是介绍保本雪球与有限差分法，并探讨它们在金融领域中的应用。

首先，我们将概述保本雪球的概念和有限差分法的基本原理。

然后，我们将详细讨论保本雪球的优势和有限差分法在金融中的应用实例。

通过深入研究保本雪球和有限差分法，我们旨在为读者提供更全面的金融知识和工具，以帮助他们在投资中做出更明智的决策。

了解保本雪球的概念对于投资者来说至关重要。

保本雪球是一种投资工具，其特点是能够确保投资者在到期时至少收回本金。

这种投资方式可以为投资者提供一定的保障和安全感，尤其在不确定的市场环境下。

我们将解释保本雪球如何实现保本的原理以及其创造投资价值的方式。

另外，有限差分法是一种数值方法，常用于解决金融工程和风险管理中的问题。

求函数在指定点的数值导数一、导数的定义和基本概念导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数的变化率。

当函数在某一点存在导数时，导数表示了函数在该点附近的变化趋势。

本文将探讨如何求一个函数在指定点的数值导数。

导数的定义如下：定义：若函数f(x)在某一点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处的导数，记作f′(x0)或者df(x)dx(x0)，定义为：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ是一个趋近于0的实数。

导数表示了函数在某一点附近的斜率，即切线的斜率。

二、用数值方法求导数有时我们需要求函数在某一点的导数，但对于一些复杂的函数没有显式表达式，无法直接使用导函数的定义进行求导。

这时，我们可以使用数值方法来求解。

三、前向差分法求导数前向差分法是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的两个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用前向差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ≈f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ是一个趋近于0的实数，称为步长。

在使用前向差分法求导数时，我们选择一个适当的步长ℎ，通过计算f(x0+ℎ)和f(x0)的差别除以ℎ的大小，来估计导数的值。

四、后向差分法求导数与前向差分法类似，后向差分法也是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的两个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用后向差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ≈f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ与前向差分法不同的是，后向差分法使用f(x0)和f(x0−ℎ)的差别除以ℎ的大小来估计导数的值。

五、中心差分法求导数中心差分法是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的三个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用中心差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ≈f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ中心差分法使用f(x0+ℎ)和f(x0−ℎ)的差别除以ℎ的两倍来估计导数的值。

xn −1 ≤ x ≤ xn
对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式 若 xn − 2 ≤ x ≤ xn − 1 对分段三次插值也没有相应的插值公式 此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 (4) Newton − k阶基本后插公式，起点为xn − m
N k (x) = f n − m + ∑ f [ xn − m , xn − m −1 , ⋯ , xn − m −i ]∏ ( x − xn − m − j )
处的函数值为在等距节点四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分是等距节点如果节点newton插值公式为如果假设th则插值公式化为其余项化为10如果假设th可得newton向后插值公式2newton向后差分插值公式12五newton插值公式的使用由于高次插值多项式的runge现象newton插值公式一般也采用分段低次插值newton分段二次插值13余项为余项为阶基本后插公式起点从23两种情况可知若对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用newton基本后插公式此处只列出公式分段二次newton向前差分插值16次插值多项式则使用在误差范围内很接近分段二次newton向后差分插值依此类推请同学们写出分段三次向前和向后newton公式及余项在实际应用中究竟使用几次插值多项式呢
−1<t <0
k = n, n − 1
依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项 在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? 如果m + 1阶差
商(差分)很接近(在误差范围内), 则使用m次插值多项式
16
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.
(k ) 1

x2 2 算上稳定并达到必要的精度。Crank-Nicolson在1947年提出了
一个使所有的有限r值都满足计算要求（收敛性和稳定性）的
方法。他们把 2u / x2 项用第j和第j+1时间行上的平均差分来
逼近。求出下列的差分方程（图4）：
ui, j1 ui, j t
2
ui1, j1
2ui, j1 x 2
从第 j 时间层上的已知值，可用（20）式直接计算出 第 j 1 时间层的值。以此类推，可解出全时间上的物理量
值。
图3 显式差分格式
图4 隐式差分格式
（2）Crank-Nicolson隐式格式
虽然显式法计算上很简单，但它有一个严重的缺点，即
时间步长 t 一定要很小，必须满足0 t 1，才能保持计
从（1）~（3）式我们可以导出（图1）下列表示式： 一阶向前差分：
xu
1 x
[u ( x
x)
u(x)]
du dx
(x)
（4）
一阶向后差分：
xu
1 [u(x) x
u(x
x)]
du (x) dx
（5）
一阶中心差分：
图1 一元函数差分法
xu
1 2x
[u ( x
x)
u(x
x)]
du dx
(x2 )
差。如果在网格步长趋于零时这个误差亦趋于零，则称差分 方程与偏微分方程相容。
3．稳定性 在解差分方程过程中，除了离散误差之外，还有舍入误
差。这就是差分方程的理论精确解 ui, j 与计算机输出的实际 值 N i, j 之差。全部误差有离散误差和总舍入误差组成。
i, j ui, j N i, j (ui, j uˆi, j ) (uˆi, j N i, j )

★【速算技巧一：估算法】“估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法，在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。

所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。

估算的方式多样，需要各位考生在实战中多加训练与掌握。

进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了“估算”时候的精度要求。

★【速算技巧二：直除法】李委明提示：“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。

“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。

“直除法”从题型上一般包括两种形式：一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。

“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：一、简单直接能看出商的首位；二、通过动手计算能看出商的首位；三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。

【例1】56.10134.489294.13343.559310.7454.813222.0349.738、、、中最大的数是（）。

【解析】直接相除：30.2294.837＝30＋，10.7454.8132＝30-，94.13343.5593＝30-，56.10134.4892＝30-，明显30.2294.837为四个数当中最大的数。

【例2】324094103、328954701、239553413、128941831中最小的数是（）。

【解析】32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，因此四个数当中最小的数是32895/4701。

李委明提示：即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。

20世纪初期,英国科学家L.F. Richardson首先进行了
数值天气预报尝试。1922年,他在《Weather Prediction
by Numerical Process 》中,论述了数值预报的原理和可
能性,并且应用原始方程组,对欧洲地面气压场进行
了6小时预报。但结果很不理想：他预报气压在 6小
ijkvxyzuvwwuuwvu????????????????????????????????????????????wuuwvuijkyzzxxx????????????????????????????????????????????????????????????????21uvwvwudfuvwfvtxyzxyxzyzdypppxyyx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????一
y f ( x x) f ( x) x x
y f ( x) f ( x x) 一阶向后差商为： x x
一阶中心差商为： y f ( x x) f ( x x)
x
2x
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
§2 差分原理
一.基本概念: 1.将连续求解域划分成差分网格（最简单的
差分网格是矩形网格），用有限个节点代
替原连续求解域；
2.用差商代替控制微分方程中的导数；
3.建立含有限个未知数的节点差分方程组； 4.代入初始和边界条件后求解差分方程组。

差分运算方法差分运算方法是一种常用的数学工具，可用于求解差分方程或对数据序列进行分析和预测。

本文将详细介绍差分运算方法的原理、步骤以及应用范围。

通过学习本文，读者将能够掌握差分运算方法的基本概念和使用技巧。

差分运算方法是通过计算数据序列的差分值来实现的。

一阶差分表示相邻两个数据之间的差值，二阶差分表示一阶差分的差值。

差分运算方法可以将原始数据转化为差分序列，从而揭示数据序列的变化趋势和规律。

1. 收集数据：首先，我们需要收集相关的原始数据。

这些数据可以是时间序列数据、统计数据或其他有规律的数据。

2. 计算一阶差分：将收集到的原始数据按照时间先后顺序排列，然后计算相邻两个数据之间的差值。

具体计算方法为当前数据减去前一个数据。

得到一阶差分序列。

3. 计算二阶差分：将一阶差分序列按照相同的方法计算得到二阶差分序列。

4. 分析差分序列：通过对差分序列的统计分析、图表展示等方法，可以识别出其中的规律、趋势和异常点。

5. 预测或还原原始数据：根据对差分序列的分析结果，可以进行数据的预测或还原。

预测时可以使用差分序列的规律进行推断，还原时则利用差分序列与原始数据之间的关系进行计算。

三、差分运算方法的应用范围差分运算方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 经济学：差分运算方法可用于经济数据的趋势分析和预测，如GDP增速、股票价格变化等。

2. 自然科学：差分运算方法可用于分析自然现象，如气象数据的周期性变化、地震活动的趋势等。

3. 信号处理：差分运算方法可用于信号处理领域，如音频、视频的差分编码等。

4. 金融工程：差分运算方法可用于金融数据的建模和预测，如股票收益率的变化趋势、利率曲线的形态等。

5. 数据挖掘：差分运算方法可用于数据挖掘中的特征提取和异常检测，如时间序列数据的周期性分析、离群点识别等。

差分运算方法是一种实用的数学工具，能够帮助我们从数据中找到有用的信息和规律。

通过计算一阶差分和二阶差分，我们可以获得差分序列，进而进行数据的分析和预测。

大气数值模式及模拟（数值天气预报）习题第一章大气数值模式概论1．试述原始方程组、全球模式、区域模式和非静力模式之间的区别。

2．试述天气模式、气候模式的主要区别？3．区域气候模式、大气环流模式、中尺度模式、陆面模式、边界层模式各有什么特点？第二章 大气运动方程组1. 试证明球坐标系中单位矢量i 的个别变化率为(sin cos )cos di u j k dt r ϕϕϕ=- 2.试说明局地直角坐标系（即z 坐标系）中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同？3．用球坐标导出下面两个方程：(sin cos )cos d i u j k dt r ϕϕϕ=- tan d j u v i k dt r rϕ=-- 4.由热力学方程v dT d C p Q dt dtα+=推导出如下方程： p dT C Q dt αω-= ()dp dtω= 式中v dT C dt为单位质量理想空气内能的变化率，v C 为空气的定容比热，d p dtα为可逆过程中单位质量非粘性气体在单位时间里膨胀所作的功。

Q 为外界对单位质量空气的加热率。

第三章 数值计算方案1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？2. 试证明一阶偏微商u x ∂∂的三点差商近似式：3(,)(,)213(,)4(,)(2,)22u u x x t u x t x x u x t u x x t u x x t x ∂+∆-⎡⎤=⎢⎥∂∆⎣⎦-++∆-+∆⎡⎤-⎢⎥∆⎣⎦的截断误差为2()O x ∆。

3. 用中央差分将涡度方程()()()l l u u u v l t x y x y∂Ω∂Ω+∂Ω+∂∂++=-+∂∂∂∂∂ 写成有限差形式。

设(,)l l x y =，并取水平坐标步长为s δ，时间步长为t δ。

4. 分别对x 轴上的i+1和i+3格点，以d 和2d 为步长，写出一阶微商dF dx的前差、后差和中央差的差分近似式，以及二阶微商22d F dx 的二阶中央差分近似式。

第九章期权定价有限差分方法第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间的价格为的期权，该期权的价格是一个函数，且满足偏微分方程（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Sma_是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，的数值不能超过Sma_。

设定Sma_是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Sma_相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足，，，……,, , ，2，……,。

本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)

★【速算技巧一：估算法】要点："估算法"毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法，在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。

所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。

估算的方式多样，需要各位考生在实战中多加训练与掌握。

进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了"估算"时候的精度要求。

★【速算技巧二：直除法】李委明提示：“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。

“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。

“直除法”从题型上一般包括两种形式：一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。

“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：一、简单直接能看出商的首位；二、通过动手计算能看出商的首位；三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。

【例1】中最大的数是（）。

【解析】直接相除：＝30＋，＝30-，＝30-，＝30-，明显为四个数当中最大的数。

【例2】32409/4103、32895/4701、23955/3413、12894/1831中最小的数是（）。

【解析】32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，因此四个数当中最小的数是32895/4701。

李委明提示：即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。

【例3】6874.32/760.31、3052.18/341.02、4013.98/447.13、2304.83/259.74中最大的数是（）。

即得到较小旳原则误。
所以在有自有关时，一般最小二乘估计 ˆ2 旳原 则误就不可靠了。
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一种被低估了旳原则误意味着一种较大旳t统计
量。所以，当 0时，一般t统计量都很大。
这种有偏旳t统计量不能用来判断回归系数旳明 显性。 综上所述，在自有关情形下，不论考虑自有关， 还是忽视自有关，一般旳回归系统明显性旳t检 验都将是无效旳。 类似地,因为自有关旳存在,参数旳最小二乘估 计量是无效旳，使得F检验和t检验不再可靠。
cov(i , j ) E(i j ) 0存在i j
常见于时间序列数据。
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3
自有关类型：一阶自有关
一阶自相关：Cov(ut , ut1) 0;
若进一步，有ut＝ut1＋t ,
则称ut一阶线性自相关
（其中 |
|
1，
为白噪声序列，
t
即E(t ) 0, Cov(t , s ) 0(t s),
作为散布点绘图，假如大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表白
随机误差项 ut 存在着正自有关。
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et
et
et-1et 1
图 6.2 et与et-1旳关系
假如大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误
差项 ut 存在着负自有关。
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et
t
二、对模型检验旳影响
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n
n
n
et2 +
e2 t -1
-
2
et et -1
DW = t=2
t=2 n

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，对工程实际问题进行建模、求解和分析。

通过学习数值方法的基本原理和算法，提高解决实际工程问题的能力。

二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解（1）编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法（2）设计输入界面，用户输入增广矩阵的行和列，填写系数及常数项（3）分别运用三种方法求解线性方程组，比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法（2）设计输入界面，用户输入矩阵的行和列，填写矩阵元素（3）分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量，比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合（1）编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值（2）设计输入界面，用户输入函数的自变量和函数值，选择插值方法（3）分别运用三种方法进行函数插值，比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分（1）编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法（2）设计输入界面，用户输入函数的导数或积分的上下限，选择数值方法（3）分别运用三种方法进行数值微分和积分，比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验，我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性，计算效率也较高。

而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。

2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明，QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。

幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。

3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中，样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。

拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好，但在处理复杂函数时可能存在精度问题。