东南大学二00四年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
课程编号：433 课程名称：高等代数
一、（18分）已知齐次线性方程组 112211221122()......0()......0............................................................()0
n n n n n n a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x ++++=??++++=????++++=? 其中01≠∑=n i i a
，试讨论1,,n a a 和b 满足何种条件时，
（1）方程组仅有零解； （2）方程组有非零解，此时，用基础解系表出所有解。
二、（17分）设实二次型 323121232221321222),,(x x x x x x ax ax ax x x x f -++++=.
（1）求正交变换X QY =把f 化成标准形。
（2）问a 为何值时，f 的秩为2？此时，求0),,(321=x x x f 的解。
三、（15分）设1,,n a a 为互不相同的整数，1()()()1n g x x a x a =--- 。
（1）求证)(x g 有理数域Q 上不可约。
（2）对于整数1≠t ，问1()()()n h x x a x a t =--+ 在有理数域Q 上是否可约，为什么？
四、（15分）设f 为数域上线性空间V 上的线性变换，多项式)(),(x q x p 互素，且满足0)()(=f q f p 。求证：V W S =⊕且,W S 为f 的不变子空间，这里()()(),()W K p f S K q f ==），其中()K g 表示g 的核。
五、（10分）设321,,εεε为欧式空间V 的标准正交基，31212,2εεβεεα+=-=，求正交变换H ，使
H βα=)(。
六、（10分）设A 为n 阶方阵，求证存在正整数m ，使()()
1m m r A r A +=，并证存在n 阶矩阵B ，使1m m A A B +=。
七、（15分）设,αβ均为非零n 维列向量，记T
A αβ=。
（1）求A 的最小多项式。 （2）求A 的若当标准形。
八、（20分）设V 是数域P 上全体2阶矩阵所构成的线性空间，给定一矩阵A V ∈，
定义V 上的变换δ如下：,X AX X V δ=?∈
（1）证明：δ为V 上的一个线性变换。
（2）取V 的一组基123410010000,,,00001001e e e e ????????==== ? ? ? ?????????
，求δ在此组基下的矩阵。
（3）求证：如果A 可相似对角化，则可找到V 的一组基使δ在此组基下的矩阵为对角阵。
九、（15分）设,A B 分别为m 阶和n 阶矩阵，求证：,A B 无公共特征值的充要条件为矩阵方程AX XB =只有零解。
十、（15分）设线性空间V 的两组基11,,;,,n n ααββ 。
（1）求证：对{}{}11,,,,,i j n i n ααα?∈?∈ 使111,,,,,,i i j i n ββαββ-+ 为V 的基。
（2）如果3n =，对{}1,2,3i ?∈，是否存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使,,i j k βαα为V 的基，为什么？