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线性代数与概率统计概率统计答案及评分标准

计算机系

《线性代数与概率统计》（概率统计）(A)

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共 5题，每小题 3 分，共 15 分)

1. 一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ，

则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B )

321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ????

2. 若x x cos )(=?可以成为随机变量X 的概率密度函数，则X 的可能取值

区间为（ A ）

(A )]2

,0[π

(B) ],2

[ππ

(C ) ],0[π (D ) ]4

7,23[

ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞，内大于零

(B ) ()p x 在(),0-∞内小于零

(C ) 0

1p(x)dx +∞

(D ) ()p x 在()0+∞，上单调增加

4. 下列数列是随机变量的分布律的是（ A ）.

(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i i

p i

(B ) )3,2,1,0(6

=-=

i i p i

(C ) )4,3,2,1(5

i p i (D ) )5,4,3,2,1(25

1=+=

i i p i

5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (?,?2)的简单随机样本，则四个统计量:

μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,

μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,

μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4

中，是?的无偏估计量的个数为（ C ） (A ) 1

(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4

二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)

1．设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===，则()P AB =__0.3___.

2．将3个球随机地放入3个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.

3．设离散随机变量X的分布函数为

00;

,01;

()=

,12;

1, 2.

F x

?≤<

?≥

则

P X

<≤=

___2/3______.

4．连续型随机变量取任何给定实数值a的概率为 0 .

5．设随机变量X与Y服从分布：X～(1,2)

N，Y～(100,0.2)

B，则

(23)

-+=

E X Y -15 .

三、计算题（本大题共 6 题，其中1、2小题每题8分，3、4小题每题10分，5、6小题每题12分，共 60 分)

1．设一口袋装有10只球，其中有4只白球，6只红球，从袋中任取一只球后，不放回去，再从中任取一只球。求下列事件的概率：

(1) 取出两只球都是白球；

(2) 第二次取的是白球.

解：(1) 设：取出两只球都是白球的事件为A

/)(1

91101314=

=C C C C A P …………（4分） (2) 设：第二次取的是白球的事件为B

//)(1

91101314191101416=

+=C C C C C C C C B P …………（8分）

2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象记录知()()0.4P A P B ==,

()0.28P AB =, 求(|)P B A 和()P A B ?.

解：(|)P B A =

)()(A P AB P =4

.028

.0=0.7 …………（4分） ()P A B ?=)()()(AB P B P A P -+=0.4+0.4-0.28=0.52 …………（8分）

3.已知连续型随机变量X 有概率密度

1,02

()0,

kx x f x +<

?其它

(1) 求系数k ;

(2) 计算(1.5 2.5)<

(3) 求数学期望()E X .

解（1）?+∞

∞

-=1)(dx x f ，即?=+2

1)1(dx kx …………

得2

-=k ………………………………（2分）

（2）)5.25.1(<

.25

.1)(dx x f ………………（4分）

=dx x

?+-25.1)12

(==1/16=0.0625………（6分）

（3）)(X E =?+∞

∞

-dx x xf )( …………………………（8分）

=dx x x ?+-20)12(=3

……………………（10分）

4.设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成，

⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，⑵ 计算{}P Y X <。

解：),(Y X 的联合概率密度为 2,(,);

(,)0,x y G f x y ∈?=?

?其它. ……………… （2分）

(1) 2(1),01;

()(,)0,X x x f x f x y dy ∞-∞

， …………… （6分）

⑵ 1210

{}(,)2y

y x

P Y X f x y dxdy dy dx -<<=

????

。 …………… (10分)

5.设X,Y 服从同一分布，其分布律为：

已知P （|X |=|Y |）=0，判断X 和Y 是否不相关？是否不独立？

解：根据P （|X |=|Y |）=0，易得X ，Y 的联合分布律为： ……（6分）

04/112/104/1)1()(=?+?+?-=X E

另易得：E (XY )=0

所以，COV(X ,Y ) = E (XY ) - E (X )E (Y ) = 0，即X 与Y 不相关。……（10分）

根据P (X =i ,Y =j ) ≠ P (X =i ) P (Y =j ) 得X 与Y 不是相互独立。 ………（12分）

6.设总体X 的概率分布为

1-2θ

其中θ(0<θ<

)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值。

解：

13?(1)()34,()4

i x E X E X x x x θθ

=-=-====∑令得又 …………（3分）所以θ的矩估计值31?.44

x θ

-== ……………………（6分）（2）似然函数8

6241

(,)4(1)(12).i i L P x θθθθ===--∏ …………（8分）

2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),

d ln 628628240,d 112(1)(12)

L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=

得

1,2θ=

. 由于

所以θ的极大似然估计值为 7?2

-=…………（12分）

四、应用题设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求：Y 的分布律。

其中: (2)0.977,(1)0.8413Φ=Φ=.

解：),72(~2σN X ，),100(~p B Y ，其中 …………………………（2分）

)8460(<<=X P p

=1)12

(2)72

60(

)72

84(

-Φ=-Φ--Φσ

…………………（4分）

)24

(

1)72

96(

1)96(023.0σ

Φ-=-Φ-=>=X P ………………（6分）

977.0)24

(

=Φ∴σ

，即

224

=σ

，故

112

=σ

所以6826.01)1(2=-Φ=p ……………………………………（8分）

故Y 的分布率为)6826.0,100(~B Y

即：k k k

C k Y P -==100100

)3714.0()6826.0()( ……………………（10分）

线性代数与概率论课程教学大纲

线性代数与概率论课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：线性代数与概率论所属专业：材料物理与材料化学课程属性：必修学分：4 （二）课程简介、目标与任务；本课程将对线性代数和概率论里的一些常见概念和基础知识进行讲解。线性代数里所涉及到的对向量和矩阵的分析和操作，在科学研究和工程技术中均有着广泛的应用。从向量和矩阵中抽象出来的线性空间和线性变换的概念，将为学生以后更深入的学习和实践提供必要的背景和知识准备。概率论是统计方向的理论基础，对于将来实际工作中的数据分析和处理有着指导性作用。这门72学时的课把线性代数和概率论放在一起讲实际上强度是比较大的。线性代数部分先从行列式讲起，接着介绍关于向量组和矩阵的一些基本概念和运算。有了这些知识储备后，在第三章对于线性方程组问题给出了一个完整的解答。第四章对向量和矩阵的数学抽象引入了线性空间与线性变换，并对空间的代数结构和变换性质作了讨论。最后两章是关于矩阵的比较实用部分，包括特征值与特征向量，矩阵对角化与二次型。概率论部分先定义了样本空间与随机事件，接着引入概率的概念，列举了一些计算简单概率的方法和例子。随后对随机事件的量化导致了随机变量的引入。从第四章到第七章均是关于随机变量和随机变量函数的内容，我们讨论了一些常见分布及其数字特征，包括期望值，方差和关联函数（协方差）等。对于独立的随机变量序列，我们运用切比雪夫不等式证明了大数律，最后介绍了中心极限定理。希望学生通过本课程的学习，能够熟悉线性代数里的一些基本概念和思考问题的方法，培养数学抽象思维的能力，理解和熟练掌握向量和矩阵的一些性质和相关运算，对于随机过程和随机变量亦有一个初步的具体认识。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；所需要的先修知识储备为基本的微积分，代数方程和一些矢量分析。线性代数的知识，包括向量，矩阵和二次型，在以后的学习中都会用到。线性空间和线性变换的概念在后继的理论课例如量子力学和群论的学习中将扮演重要角色。概率论是后继数理统计

线性代数与概率统计及答案

线性代数部分第一章行列式一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m -

二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组??? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2． y x y x x y x y y x y x +++；

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

2019线性代数与概率统计随堂练习答案

第一章行列式·1.1 二阶与三阶行列式 1.(单选题) 计算？A．; B．; C．; D．. 参考答案：A 2.(单选题) 行列式？A．3; B．4; C．5; D．6. 参考答案：B 3.(单选题) 计算行列式. A．12； B．18； C．24； D．26. 参考答案：B 4.(单选题) 计算行列式？A．2； B．3； C．0； D．.

第一章行列式·1.2 全排列及其逆序数 1.(单选题) 计算行列式？ A．2； B．3； C．； D．. 参考答案：C 2.(单选题) 计算行列式？ A．2； B．3； C．0； D．. 参考答案：D 第一章行列式·1.3 阶行列式的定义 1.(单选题) 利用行列式定义，计算n阶行列式：=? A．; B．;

C．; D．. 参考答案：C 2.(单选题) 计算行列式展开式中，的系数。A．1, 4; B．1，-4; C．-1，4; D．-1，-4. 参考答案：B 第一章行列式·1.4 行列式的性质 1.(单选题) 计算行列式=？ A．-8; B．-7; C．-6; D．-5. 参考答案：B 2.(单选题) 计算行列式=？ A．130 ; B．140; C．150; D．160. 参考答案：D 3.(单选题) 四阶行列式的值等于多少？ A．；

B．； C．； D．. 参考答案：D 4.(单选题) 行列式=？ A．； B．； C．； D．. 参考答案：B 5.(单选题) 已知，则？A．6m； B．-6m； C．12m； D．-12m. 参考答案：A 一章行列式·1.5 行列式按行（列）展开 1.(单选题) 设＝，则? A．15|A|; B．16|A|; C．17|A|; D．18|A|. 参考答案：D

2016矩阵论试题

第 1 页共 6 页（A 卷）学院系专业班级姓名学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A ）适用专业：2016级硕士研究生考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟共 8页一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是（）. (A) A 一定可以对角化；（B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ；（D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(