最值系列之——将军饮马
一、什么是将军饮马？
【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
军营
B
将军
河
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
B B
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
P O B A
M
N
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’
N+MN+P’’M．
P''
A
当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．
A
【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
B
B
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
B
B
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】
1．正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．
N M D C
B
A
【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．
D
M
【假装不存在的正方形】
（2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，
且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()
A．(2,2)B．
5
(
2
，
5
)
2
C．
8
(
3
，
8
)
3
D．(3,3)
【分析】此处点P 为折点，可以作点D 关于折点P 所在直线OA 的对称：
也可以作点C 的对称：
【隐身的正方形】
（2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )
P
D
C
B
A
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【分析】作点C 关于P 点所在直线AB 的对称点C ’，当C ’、P 、D 共线时，PC +PD 最小，
最小值为5，故选B ．
2．三角形中的将军饮马 【等边系列】
如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．
A B
C
D
M
N
【分析】M 点为折点，作B 点关于AD 的对称点，即C 点，连接CN ，即为所求的最小值．
C
过点C 作AB 垂线，利用勾股定理求得CN 的长为2倍根号7．
C
【隐身的等边三角形】
如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．
N M
D
B
A
【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．
C
【角分线系列之点点】
（2018·山东潍坊）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )
E A
F
C
D
B
A ．3
B
．4
C ．
D ．
【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．
【角分线系列之点线】
（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )
N
M
D
C
B
A
A
B ．2 C
．D ．4
【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM +MN ’．
B
C
因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．
N
C
B
3．矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】
（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC
=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )
A ．6 B
．C
．D ．4.5
【分析】此处P 为折点，作点M 关于AC 的对称点M ’，恰好在AD 上，化折线EP +PM 为EP +PM ’．
当E 、P 、M ’共线时，EP +PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC ·BD /2=BC ·EM ’
E
P
D
C
A
M
【折点在边上】
（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC 上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是()
A．
4
(0,)
3
B．
5
(0,)
3
C．(0,2)D．
10
(0,)
3
【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D’，连接AD，与y轴交点即为所求E点．
【折点与面积】
（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足
1
3
PAB ABCD
S S
?
=
矩形
，则点
P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为()
D C
B
A
P
A．
B．
C．D
【分析】由
1
3
PAB ABCD
S S
?
=
矩形
可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的对称点B’，化折线P A+PB为P A+PB’．
M
N
当A 、P 、B ’共线时，取到最小值，选A ．
6
4
C N
【全等与对称】
（2017江苏南通）如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )
H F
G
E
D
C
B A
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】考虑到四边形EFGH 是平行四边形，即求EH +EF 最小值，此处E 为折点，作F 关于AB 对称点F ’，则BF ’=BF =DH =CM ，∴MF ’=BC =5，MH =DC =10，∴HF ’为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5，故选B ．
5
B
四、特殊角的对称
【60°角的对称】
（2018滨州）如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP
M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )
A
B
O
P
N
A
B
C ．6
D ．3
【分析】此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 的对称点P ’、P ’’，化△PMN 周长为P ’N +NM +MP ’’．
P''
P'
A
B
M
O
P
N
当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P ’OP ’’=120°，OP ’=OP ’’=OP ，可得最小值．
A
（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N （3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P 的坐标为．
【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M’如图所示，连接PM’，化PM+PN 为PM’+PN．
当M’、P、N共线时，得最小值，又∠M’ON=60°且ON=2OM’，可得∠OM’N=90°，故P点坐标可求．
如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN 的最小值为____________．
【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P’，化AM+MP+PN为AM+MP’+P’N
此处P’为折点，作点N关于OP’对称点N’，化AM+MP’+P’N为AM+MP’+P’N’
当A、M、P、’N’共线且AN’⊥ON’时，值最小．
最值系列之——将军饮马（二）
【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
【将军过两个桥】
已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
军营
B
考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
B
AP 平移至A ’Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A ’Q +QM +MB ’．
B
当A ’、Q 、M 、B ’共线时，A ’Q +QM +MB ’取到最小值，再依次确定P 、N 位置．
【将军遛马】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
军营
河
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．
x
【分析】考虑PQ 、AE 为定值，故只要AP +QE 最小即可，如图，将AP 平移至A ’Q ，考虑A ’Q +QE 最小值．
x
作点A ’关于x 轴的对称点A ’’，连接A ’’E ，与x 轴交点即为Q 点，左移2个单位即得P 点．
【练习】如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．
A
B C
D
E
F
M
【分析】此题难点在于要得到AF 与CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E 作EH ⊥CD 交CD 于H 点，由相似可得：FH =1．
1
H
A B C
D E F
连接BH ，则BH =CE
F E
D C
B A
H
1
问题转化为BH +AF 最小值．
1
H
A
B C
D E
F F D C
B
A
H
1
参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF +BH =A ’H +B ’H =A ’B ’=5．
B'
A'