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高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
南京信息工程大学天气学诊断分析实习报告 实习名称天气学诊断分析日期2016年12月17日得分指导教师 系大气科学专业大气科学年级班次姓名学号 一、实习目的 熟练使用天气学原理和中国天气中所学的知识，诊断分析常用的动力和热力参量（涡度、散度、涡度平流、温度平流、水汽通量、水汽通量散度、垂直速度等）。 1、学会使用Fortran 程序读入有格式的数据文件，输出二进制数据文件。 2、学会使用Fortran 编程计算涡度、散度、涡度平流、温度平流、水汽通量、水汽通量散度、垂直速度等动力和热力参量。 3、学会使用Grads 读入二进制数据文件，绘制等值线图、矢量图等，并存储。 4、掌握如何分析得到的各物理量的图形。 二、实习要求 完成计算各物理量的Fortran程序，并画出各物理量的图形，结合所绘出的图形，分析这次南方气旋形成时各要素场的配置情况，对这次降水过程进行天气诊断分析。 三、实习资料 该过程的观测资料和再分析资料，实习要求用micaps资料进行计算和分析。 1、观测资料：计算范围：东经30-160，北纬10-80，格距 2.5*2.5。所给要素为高度场，风场，温度以及温度露点差，共11层。时次是2013年5月21日08时到2013年5月31日18时，每12小时一次，共22个时次。 2、再分析资料：东经30-160，北纬10-80，格距 2.5*2.5。所给要素为高度场，风场，温度以及比湿（单位为：kg/kg），共17层，时次是2013年1月1日00时到2013年5月31日20时，每6小时一次，共604个时次。 四、实习内容： 1.利用所给资料和绘图软件绘制等高线、等压线、等温线，了解当时环流形势 （主要是500和850hPa）。
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ
天气学（下） 注: 红字部分是天气学下半册考试部分试题的内容，仅供参考！！！！ 题型：填空题+名词解释+问答题 基本概念 1、大型降水：指的是大范围的降水，降水区可达天气尺度的大小，包括连续性和阵性的大范围雨、雪及夏季暴雨。 2、东北冷涡：东北地区出现的具有深厚冷空气的高空气旋性涡旋 3、水汽的局地变化取决于：湿度平流、比湿的垂直输送、水汽凝结、湍流扩散 4、对称不稳定：大气处于弱的层结稳定状态时在一定条件下可以发展成斜升气流，这种机制称为对称不稳定 5、对流性不稳定：上干下湿稳定气层经过抬升变得不稳定 6、热带地区：南北半球副热带高压带之间包括的地区 7、副热带地区：盛行东风带与中纬度盛行西风带之间的过渡区 8、赤道辐合带：南北半球两个副热带高压之间气压最低、气流汇合的地带 9、东风波：对流层中下层副高南侧存在的一个槽或气旋性曲率最大处成为东风波 10、经典东风波：波槽南北走向，槽前东北风，槽后东南风，波向西传播，风速随高度减小，天气产生于槽后 11、云团：卫星云图上热带地区经常出现的直径达4个帏距的白色密闭云区 12、雷暴：指积雨云中所发生的雷电交加的激烈放电现象，以及产生这种天气现象的天气系统 13、强雷暴：伴有雷雨、大风、冰雹、龙卷等严重灾害性天气现象的雷暴 14、飑线：许多雷暴单体侧向排列形成的强对流云带 15、飑中系统：是指与飑现象相联系的一类中尺度天气系统，包括雷暴高压、飑线等 16、赤道缓冲带：赤道附近风向转变的转换带 17、南亚高压：南亚高压是夏季出现在青藏高原及邻近地区上空的对流层上部的大型高压系统，又称青藏高压或亚洲季风高压。 18、低空切变线：通常将出现在850和700hPa等压面、流场上具有气旋式切变的不连续线称为低空切变线 第一章 1、一般降水的形成条件 ①宏观条件：水汽由源地水平输送到降水区；水汽在降水区辐合上升，在上升中绝热膨胀冷却凝结成云 ②微观条件：云粒子增长 2、暴雨的形成条件 ①充分的水汽供应：有一条水汽通道，将充足水汽源源不断输送到暴雨降水区，且暴雨上空850或700hpa水汽条件满足温度露点差≤4℃ ②强烈的上升运动：暴雨通常是由中小尺度天气系统造成，集中在几个小时短时间内降落，垂直上升运动很强。如果50mm降水量在24h内均匀下降，w max＝10.8cm/s ③较长的持续时间 有利形成暴雨的天气尺度系统：短波槽、低涡、气旋
第七章 第一节降水的形成与诊断 一、降水形成过程 (一)一般降水的形成过程（有三个条件） 1、水汽条件：水汽由源地水平输送到降水地区 2、垂直运动条件：水汽在降水地区辐合上升，在上升中绝热膨胀冷却凝结成云 3、云滴增长条件：云滴增长变为雨滴而下降 前两个条件决定于天气学条件，是降水的宏观过程，第三个条件主要决定于云物理条件，是降水的微观过程。云滴增长的条件主要决定于云层厚度，而云层厚度，由决定于水汽和垂直运动的条件，所以在降水预报中，通常只要分析水汽条件和垂直运动条件即可。一般任务云滴增长的过程有两种：一种是“冰晶效应”可促使云滴迅速增长而产生降水，在中高纬度，这种过程起着重要作用；另一种是云滴的碰撞合并作用，尤其是云层发展较厚时，这种过程更明显。 （二）暴雨的形成条件 凡是日降水量达到和超过50.0毫米的降水称为暴雨。 有三个普遍的主要条件，分别是充分的水汽供应、强烈的上升运动、较长的持续时间，另外还有一个地形条件，就是有利的地形条件。 1、充分的水汽供应 暴雨是在大气饱和比湿达到相当大的数值以上才形成的，700hpa
上比湿≥8克/千克（对北京来说，比湿≥5克/千克），是出现大、暴雨的必要条件；有了相当高的饱和比湿条件，还必须有充分的水汽供应，因为只靠某一地区大气柱中所含的水汽凝结下降量很小，因此必须研究水汽供应的环流形势。 2、强烈的上升运动 强烈的上升运动只有在不稳定能量释放时，才能形成，因此暴雨预报必须分析不稳定能量的储存和释放问题，研究形成暴雨的中、小尺度系统。 二、水汽方程和降水率 （一）水汽方程 水汽方程是表示水汽输送和变化的基本方程。单位时间内通过某一单位面积的水汽量，称为水汽通量。水汽方程表达式： 此式说明，一个运动的单位质量湿空气块，其比湿的变化等于凝结率及湍流扩散率之和。 单位时间内，某一体积所含水汽的变化量主要有四个方面的因素决定：水平方向上水汽的净流入量，垂直方向上水汽的净流入量，凝结量，湍流扩散。 （二）降水率 单位时间内降落在地面单位面积上的总降水量，称为降水率或降水强度。表达式：
一、填空题 1、氧原子对电子的吸引力比氢原子大得多，水分子内部的电子比较靠近（氧）原子，此原子一端形成（负）极；相反（氢）原子一侧形成（正）极。从而使水分子具有极性结构。 2、固态水（冰）中氧原子通过氢键与另外四个氧原子联结，呈（六方晶系）的冰，在冰晶中的水分子则具有比较完整的（正四面体）结构。 3、液态水“闪动簇团”理论与其它理论相比较具有（概括液体水在结构上有很大任意性）优点。 4、水的主要物理性质有（水的三态变化）、（水的热容量和潜热大）、温度的差异性、密度的差异性和无色透明等。 5、海水状态方程说明了（海水的密度）是实用盐度、温度和压力的函数。 6、天然水化学成分由八在离子组成，它们是（K+ ）、（Na+ ）、Ca2+、Mg2四种阳离子和（Cl- ）、（HCO3- ）、SO4 2- 、CO3 2-四种阴离子组成。 7、天然水的矿化作用主要有（溶滤作用）、（吸附性阳离子交替作用）、氧化作用、还原作用、（蒸发浓缩作用）和混合作用。 8、天然水可以按水化学成分、硫化度和主要离子成分比例分类，咸水和淡水是按（矿化度）分类。 9、海水化学组成及特征有（海水组成的恒定性）、盐类物质比例的差异性和分布的差异性 10、单位质量海水中所含溶解物质的质量，叫（海水盐度）。 11、我国水资源地区分布总趋势是（由东南沿海向西北热内陆递减）。 12、水循环的基本类型有大循环和小循环，大循环是海陆间的循环；小循环又包括两类，具体是（海洋小循环）和（陆地小循环）两种循环。 13、水循环是地球上客观存在的自然现象，水量平衡是水循环（内在的规律）。 14、植物对水的吸收与输送功能是在（根土渗透势）和（散发拉力）的共同作用下形成的。 15、影响蒸发的动力学因素主要有（水汽分子的垂向扩散）、（大气垂向对流运动）、大气中的水平运动和湍流扩散。 16、植物散发是蒸发的重要形式。植物散发受土壤的（特性）和土壤的含水量的影响。 17、表示降水的要素有（降水量）、降水历时与降水时间（降水强度）、降水面积。 18、水的下渗过程可以划分为渗润阶段、（渗漏阶段）阶段和（渗透阶段）阶段。 19、流域的降水，由地面与地下汇入河网，流出流域出口断面的水流，称为径流。其表示方法有（流量）、（径流的总量）、径流深度、径流模数和径流系数。 20、径流的形成过程包括：（流域蓄渗过程）（坡地汇流过程）和河网汇流过程。 21、影响径流形成的因素有（气候因素）、（流域下垫面因素）和人类活动因素。 22、陆地表面水由（冰川）、（河流）、湖泊与沼泽组成。其中，湖泊在地表
高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离 公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 γβα,, 4） 方 向 余 弦 ： r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
高等数学（下）知识点 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θ cos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规 则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：
第六节 高斯公式 通量与散度 一、填空题 1. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, 则??∑ zdxdy = . 2. 设∑是球面z z y x 2222=++, cos α、cos β、cos γ 是∑上点的外法线向量的方向余弦, 则 ??∑ ++dS z y x )cos cos cos (γβα=______. 3. divgrad(222z y x ++)= . 二、解答题 1. 指出下列求解过程的错误之处, 并改正之: 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, ∑ 所围成的球体Ω 的体积33 4a V π=, 由高斯公式有: ??∑++dxdy z dzdx y dydz x 333=???Ω++dV z y x )(3222=???ΩdV a 23=54a π. 2. 计算曲面积分 ??∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑ 是介于z = 0和z = 3之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧. 3. 计算曲面积分??∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑ 为上半球体222a y x ≤+, 2220y x a z --≤≤的表面外侧. 4. 计算曲面积分??∑+-+-zdxdy dzdx x y x dydz z xy )()(22, 其中∑为锥面:)20(22≤≤+=z y x z 的下侧. 5. 计算曲面积分:??∑ --++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 4)1(2)18(2, 其中∑为是由曲线)30(,0,≤≤???==z x y z 绕z 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与z 轴的正向夹角恒大于2 π. 6. 求向量场A = i - j + xyz k 通过由平面y = x 截球2222R z y x ≤++所得的圆面S 朝x 轴正向一侧的通量.
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
南京信息工程大学《中国天气》试题一答案 一，填空：（30%） 1． 寒潮是一种-大规模强冷空气活动----过程，寒潮天气的主要特征是-剧烈降温-----和—大风---------。冷空气从寒潮关键区侵入我国的路径有-西北路（中路）---、--东路-----、--西路-------和---东路加西路------等四路。 2． 长波波速公式是-- C=-u -β(L/2л)2 -------，这表明长波的波速与波长存在函数关系，因此长波是一种-正弦波（余弦波）-----波。 3． 阻塞高压是中高纬度高空---深厚---的----暖性---高压系统，它的东西两侧盛行---南北---向气流，高压的南侧有明显的偏----东---风。 4． 影响我国降水的天气尺度系统有---高空低槽-----、---地面气旋、锋面--------、--低空切变线----、-低空低涡--------、--高空冷涡、低空急流-------等。 5． 梅雨锋与一般极锋不同，在梅雨锋的两侧水平风速切变和---露点差—都较大，但—温度差---并不明显。 6． 对流性稳定度的判据是----z se ??θ------当>0为----对流性稳定---------，<0为----对流不稳定-----------，=0为----中性-----------。 7． 有利于强雷暴发生的几项因子有---逆温层------、---前倾槽--------、----低层辐合高层辐散----------、--高低空急流---------、---中小系统------------。 8． 季风是指---近地面层冬夏盛行风向接近相反且气候特征明显不同的---------------现象。 二，名词解释：（20%） 1． 超级单体风暴：即具有单一的特大垂直环流的巨大强风暴云。 2． 水汽通量散度（包括表达式）：单位时间内，单位体积内水汽的辐合或辐散量。)()(qv y qu x ρρ??+??=)(V q ρ??-。 3． 阻塞高压：是中高纬度高空深厚的暖性高压系统，高压轴线从下向上向暖的西北方倾斜，至高层轴线近于垂直。阻塞高压是出现在中高纬度地区的高空深厚的暖性高压系统，阻高出现有其特定的地区和时间，一般在N 50以北。维持时间至少三天以上，分支西风气流。 4． 赤道反气旋：在赤道辐合带云带的赤道一侧，南半球越赤道气流向北推进，形成的气流转换带，是一个反气旋环流，其中由闭合的反气旋中心，即为赤道反气旋。 5． 云团：在热带地区卫星云图上经常出现的直径达4个纬距以上的白色密蔽云区。 三，综合题：（50%） 1． 简述江淮梅雨期高层（200hpa ），中层（500hpa ），低层（700hpa/850hpa ）和地面 的环流特征。（15%） 答：江淮梅雨期高层（200hpa ）环流特征：梅雨开始时，高层（100或200hpa ）的南亚高压从高原向东移动，位于长江流域上空（高压脊线位于N 30以南，其北侧为西风急流，南侧为东风急流。 中层环流特征： 副热带地区：西太平洋副热带高压呈带状分布，其脊线从日本南部至我国华南，略呈东北-西南走向，在E 120处的脊线位置稳定在N 22左右，在印度东部或孟加拉湾一带有一稳定低压槽存在。 中纬度巴尔喀什湖及东亚东岸（河套到朝鲜之间）建立了两个稳定的槽。 高纬则为阻高活动地区。
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
第六节 Green 公式Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度 高斯公式通量与散度 第十一章
一、高斯( Gauss ) 公式 z y x z R d d d ???Ω????∑=y x R d d 下面先证: 定理1. 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲Ω上有连续的一阶偏导数,??∑ ++=y x R x z Q z y P d d d d d d 函数P , Q ,R 在面∑所围成, ∑的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)
2 ∑3∑1 ∑Ωz y x y x D {) ,,(y x R }y x y x R d d ) ,,(-, ),(:11y x z z =∑证明: 设 ,321∑∑∑=∑ z z R y x z y x z d ),(),(21????? =y x D ),(2y x z ),(1y x z ??∑ y x R d d ??=y x D (??∑=2 z y x z R d d d ???Ω??y x d d ??∑+1 ?? ∑+3 )y x R d d 为XY 型区域, ),,(:22y x z z =∑则y x y x R d d ) ,,(??-y x D ??=y x D ),(2y x z y x y x R d d ) ,,() ,(1y x z
所以z y x z R d d d ???Ω????∑=y x R d d 若Ω不是XY –型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY –型区域,故上式仍成立. 正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证z y x y Q d d d ???Ω????∑ ++=y x R x z Q z y P d d d d d d ()z y x z R y Q x P d d d ??+??+?????Ω??∑ =x z Q d d z y x x P d d d ???Ω????∑=z y P d d 三式相加, 即得所证Gauss 公式：
形成暴雨的必要条件之一，是要有足够多的水分。这些水分是暴雨区已有的呢？还是靠外围流入的呢？计算表明，单靠当地已有的水分，是不可能形成暴雨的(北京大学地球物理系气象教研室，1976)。因此，必须要有水汽源源不断地输入暴雨区。这样，在作暴雨分析和预报时，一定要考虑水汽输送的问题。水汽通量与水汽通量散度，就是为了定量描述水汽输送的方向、大小以及水汽在何处集中，从而了解形成暴雨的水汽条件而引入的(文宝安，1980)。 由以上说明看出，水汽通量散度最初是为着了解暴雨的条件而引入的，这从物理上也是容易理解的。 近年来，国外很多气象学家(详见§8.3)将水汽通量散度作为强对流天气的触发因子。 §8.1 水汽通量 在介绍水汽通量散度之前，应当先介绍水汽通量。 水汽通量，又称水汽输送量，其含义是单位时间内流经与速度矢正交的某一单位截面积的水汽质量。它表示了水汽输送的强度和方向。水汽通量有水平分量与铅直分量两种，下面分别进行介绍。 F) 1. 水平水汽通量( H 图8.1.1 推导式(8.1.1)用图 一般说的水汽通量，多指水平水汽通量，它是单位时间内流经与气流方向垂直的单位截面积的水汽质量。其方向与风向相同，其大小可从图8.1.1中看出。若ABCD是一个与风向正交的平面，则单位时间内流经ABCD的水汽质量为ρ。ρ为空气密度，q为比湿，V表示风速大小。 ? V q? Z l
在天气分析预报中，铅直坐标常采用气压p ，图8.1.1中ABCD 的面积应为p l ???。这样，单位时间内流经单位截面积的水汽质量即为： g q H V F = (8.1.1) 其单位为111---?s hPa cm g 。 2. 水汽通量的计算程序编制思路 我们知道，比湿(q )是气压(p )和露点(d T )的函数。对于同一个等压面来说，式8.1.1中的g q V 应是风速(V )与露点的函数，故采用V 与d T 为参数，可以编制出计算H F 的程序。 3. 铅直水汽通量(z F ) 一般来说，水汽向上输送，才能增厚湿层，产生凝结，成云致雨。因此，当讨论暴雨过程的水汽收支问题时，往往需要计算铅直水汽通量。 铅直水汽通量，是指单位时间内流经单位水平面向上输送的水汽质量。它的大小与铅直速度及比湿成正比，表达式为： g q F z ω-= (8.1.2) 式中dt dp =ω，表示铅直坐标为p 时的铅直速度。当有上升运动时0<ω，铅直水汽通量0>z F 。按照铅直水汽通量的含义，其单位是12--?s cm g 。 §8.2 水汽通量散度 1. 含义与表达式 从水汽通量的数值和方向，只能了解暴雨过程的水汽来源，以及这种水汽输送和某些天气系统的关系。至于暴雨究竟出现在何处，雨量有多大等，则与水汽通量散度的关系更为密切。从数学角度看，水汽通量与风速V 都属于向量，且方向相同。因此，水汽通量散度的表达式、计算方法等，完全可以仿照水平散度得出。例如，当用符号)(g q p V ??表示水汽通量散度时，则有： )()()(g q v y g uq x g q ??+??=??V (8.2.1)
高等数学（下）知识点 高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ ，),,(z y x b b b b =ρ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++=ρ ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u ρρρ=，其中?为向量a ρ与u ρ的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a ρ ρρρ=? 1）2 a a a ρρρ=? 2）?⊥b a ρρ0=?b a ρ ρ z z y y x x b a b a b a b a ++=?ρ ρ 2、 向量积：b a c ρ ρρ?= 大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρ ρρ,,符合右手规则 1）0ρρρ=?a a
高等数学（下）知识点 2）b a ρρ//? 0ρρρ=?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a ρρρρ ρ=? 运算律：反交换律 b a a b ρ ρρρ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念： 0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 2222=++c z a y a x 3） *单叶双曲面：122 2222=-+c z b y a x
形成暴雨的必要条件之一,是要有足够多的水分。这些水分是暴雨区已有的呢?还是靠外围流入的呢？计算表明，单靠当地已有的水分，是不可能形成暴雨的(北京大学地球物理系气象教研室,1976)。因此,必须要有水汽源源不断地输入暴雨区。这样，在作暴雨分析和预报时,一定要考虑水汽输送的问题。水汽通量与水汽通量散度，就是为了定量描述水汽输送的方向、大小以及水汽在何处集中,从而了解形成暴雨的水汽条件而引入的(文宝安，19８０)。 由以上说明看出，水汽通量散度最初是为着了解暴雨的条件而引入的,这从物理上也是容易理解的。 近年来，国外很多气象学家(详见§8.３)将水汽通量散度作为强对流天气的触发因子。 §8．1 水汽通量 在介绍水汽通量散度之前,应当先介绍水汽通量。 水汽通量，又称水汽输送量，其含义是单位时间内流经与速度矢正交的某一单位截面积的水汽质量。它表示了水汽输送的强度和方向。水汽通量有水平分量与铅直分量两种，下面分别进行介绍。 F） 1.水平水汽通量( H 图8．１.１推导式（８.１.1)用图 一般说的水汽通量,多指水平水汽通量，它是单位时间内流经与气流方向垂直的单位截面积的水汽质量。其方向与风向相同,其大小可从图8.１.1中看出。若ABＣD是一个与风向正交的平面，则单位时间内流经ＡBCD的水汽质量为ρ。ρ为空气密度,q为比湿，V表示风速大小。 ? V q? Z l
在天气分析预报中，铅直坐标常采用气压p ,图８.1．１中ＡB ＣD 的面积应为p l ???。这样，单位时间内流经单位截面积的水汽质量即为: g q H V F = （８.1.１) 其单位为111---?s hPa cm g 。 2. 水汽通量的计算程序编制思路 我们知道，比湿(q )是气压(p )和露点(d T )的函数。对于同一个等压面来说，式８.１.１中的g q V 应是风速(V )与露点的函数,故采用V 与d T 为参数,可以编制出计算H F 的程序。 3. 铅直水汽通量(z F ) 一般来说，水汽向上输送，才能增厚湿层,产生凝结,成云致雨。因此，当讨论暴雨过程的水汽收支问题时,往往需要计算铅直水汽通量。 铅直水汽通量，是指单位时间内流经单位水平面向上输送的水汽质量。它的大小与铅直速度及比湿成正比,表达式为： g q F z ω-= （8.1.2) 式中dt dp =ω,表示铅直坐标为p 时的铅直速度。当有上升运动时0<ω,铅直水汽通量0>z F 。按照铅直水汽通量的含义，其单位是12--?s cm g 。 §8.2 水汽通量散度 1. 含义与表达式 从水汽通量的数值和方向，只能了解暴雨过程的水汽来源,以及这种水汽输送和某些天气系统的关系。至于暴雨究竟出现在何处,雨量有多大等，则与水汽通量散度的关系更为密切。从数学角度看,水汽通量与风速V 都属于向量,且方向相同。因此，水汽通量散度的表达式、计算方法等,完全可以仿照水平散度得出。例如,当用符号)(g q p V ??表示水汽通量散度时，则有： )()()(g q v y g uq x g q ??+??=??V (8.2.1)
Guass-Legendre 积分程序 1. 目的意义： 可以提高数值积分的代数精度 2. 数学公式： ) ()()(1k n k k b a x f A dx x f x ∑?=≈ρ 3. 程序： #include<> #include<> #define N 10 #define f(x) (cos(x)) int main() { int n=0; int k=0; int i=0; double x[N]={}; double A[N]={}; double s=; n=2; switch(n)
{ case 1: { x[1]=0; A[1]=2; break; } case 2: { x[1]=; x[2]=; A[1]=1; A[2]=1; break; } case 3: { x[1]=; x[2]=0; x[3]=; A[1]=; A[2]=;
A[3]=; break; } case 4: { x[1]=; x[2]=; x[3]=; x[4]=; A[1]=; A[2]=; A[3]=; A[4]=; break; } default: { printf("error! 请添加数据！\n"); return 0; } }
for(i=1;i<=n;i++) { s=s+A[i]*f(x[i]); } printf("由高斯-勒让德积分公式计算得I=%lf\n",s); return 0; } 4.运行结果： 5.参考文献: [1] 谭浩强. C语言程序设计[M]. 北京：清华大学出版社，2005. [2] 秦新强. 数值逼近, 西安,2010.
高数公式大全 The pony was revised in January 2021
高等数学公式 ·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系：tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ- sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1- tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ- sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)， tant=A/B ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2s in^2(α) tan(2α)=2tanα/[1- tan^2(α)] ·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)- 3cosα ·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式：
一、填空题 1. 在诊断分析中，风场可以分解成旋度风ψV 和散度风χV 两部分： ,y u ??-=ψψ,x v ??=ψψ ,x u ??=χχ,y v ??=χψ ψ为流函数，χ为势函数。在大尺度运动的条件下，散度风的量值一般比旋 度风小，代表了（非地转）运动，因此在天气过程和天气系统的发展过程中 起着非常重要的作用。 二、单项选择题 1. 在进行诊断分析时，常常需要将已知的风向（α）和风速（V ）转换成东西风速分量（u ）和南北风速分量（v ），计算公式为：（ A ）。 A 、).180cos(),180sin(00-=-=ααV v V u B 、.cos ,sin ααV v V u == C 、).90cos(),90sin(00-=-=ααV v V u D 、00sin(90),cos(90)u V v V αα=+=+ 2. 在制作暴雨预报时，分析垂直运动方面重点考虑哪一层等压面（ C ）。 A 、地面 B 、850hPa C 、700hPa D 、500hPa 3. 滤波器按其性能可分为低通、高通和带通滤波器三类，其中低通滤波器的功能是（A ） A 、 保留低频波，滤去高频波 B 、 保留高频波，滤去低频波 4. 大气中的水汽绝大部分集中于中低对流层，其中85%～90%集中于（B ）。 A 300hPa B 500hPa C 700hPa D 850hPa 5.（D ）是造成垂直运动的重要原因。 A 梯度风 B 热成风 C 地转风 D 偏差风 6. 在螺旋度与暴雨落区中, P 坐标系的垂直螺旋度可以认为是（ B ） a. 一种特殊的暴雨天气学模型 b. 相对涡度与垂直速度乘积的有约束条件的垂直积分 c. 一种暴雨中尺度数值模式