构造辅助函数求解导数问题
对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个围恒成立求参数取值围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数
[典例] (2017·模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x＞0时，x2＜e x．
[解] (1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a．
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2，
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x．
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x．
[方法点拨]
在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．
[对点演练]
已知函数f (x )＝x
e x ，直线y ＝g (x )为函数
f (x )的图象在x ＝x 0(x 0＜1)处的切线，
求证：f (x )≤g (x )．
证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋
f (x 0)．
令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝
1－x
e x
－
1－x 0
e 0
x ＝
1－x e 0x －1－x 0e x
e 0
＋x x ．
设φ(x )＝(1－x )e 0x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0，
∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0，
∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0，
∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )．
技法二：“拆分法”构造函数
[典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be
x －1x
，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为
y ＝e (x －1)＋2．
(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1．
[解] (1)f ′(x )＝ae x
?
????ln x ＋1x ＋
be x －1
x －1x 2(x ＞0)，
由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)，
所以???
??
f 1＝2，f ′1＝e ，
即?????
b ＝2，
ae ＝e ，
解得???
??
a ＝1，
b ＝2.
(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ln x ＋
2e x －1
x
(x ＞0)，
从而f (x )＞1等价于x ln x ＞xe －x
－2
e
．
构造函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ， 所以当x ∈? ????
0，1e 时，g ′(x )＜0，
当x ∈? ????
1e ，＋∞时，g ′(x )＞0，
故g (x )在? ????
0，1e 上单调递减，
在? ??
??
1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ? ????1e ＝－1e ．
构造函数h (x )＝xe －x
－2
e
，
则h ′(x )＝e －x (1－x )．
所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；
故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1
e
．
综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1． [方法点拨]
对于第(2)问“ae x ln x ＋be
x －1x
＞1”的证明，若直接构造函数h (x )＝ae x ln x ＋
be x －1
x
－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“ae x ln x ＋be x －1x ＞1”合理拆分为“x ln x ＞xe －x
－2e
”，再分别对左右两边构造
函数，进而达到证明原不等式的目的．
[对点演练]
已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b
x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y
－3＝0．
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x
x －1．
解：(1)f ′(x )＝a ? ????
x ＋1x －ln x x ＋12－b
x
2(x ＞0)．
由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－1
2
，且过点(1,1)，
故?
??
f 1＝1，
f ′1＝－1
2
，
即???
b ＝1，a 2
－b ＝－1
2.
解得?
??
??
a ＝1，
b ＝1.
(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1
x
(x ＞0)，
所以f (x )－ln x x －1＝
11－x 2? ?
???2ln x －x 2－1x ． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1
x (x ＞0)，
则h ′(x )＝2x
－
2x 2－
x 2－1x 2＝－
x －1
2
x 2
．
所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得1
1－x2
h(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得
1
1－x2
h(x)＞0．
从而当x＞0，且x≠1时，f(x)－ln x
x－1＞0，
即f(x)＞ln x x－1．
技法三：“换元法”构造函数
[典例] 已知函数f(x)＝ax2＋x ln x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．
(1)数a的值；
(2)求证：当n＞m＞0时，ln n－ln m＞m
n－
n
m．
[解] (1)因为f(x)＝ax2＋x ln x，
所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，
因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．
(2)证明：要证ln n－ln m＞m
n－
n
m，
即证ln n
m＞
m
n－
n
m，只需证ln
n
m－
m
n＋
n
m＞0．
令n
m＝
x，构造函数g(x)＝ln x－
1
x＋
x(x≥1)，
则g′(x)＝1
x＋
1
x2＋1．
因为x∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝1
x＋
1
x2＋1＞0，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
由已知n ＞m ＞0，得n
m ＞1，
所以g ? ??
??
n m ＞g (1)＝0，
即证得ln n m －m n ＋n
m ＞0成立，所以命题得证．
[方法点拨]
对“待证不等式”等价变形为“ln n m －m n ＋n m ＞0”后，观察可知，对“n
m ”进行换
元，变为“ln x －1
x ＋x ＞0”，构造函数“g (x )＝ln x －1
x
＋x (x ≥1)”来证明不等式，
可简化证明过程中的运算．
[对点演练]
已知函数f (x )＝x 2ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；
(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2
时，有2
5
＜
ln g t ln t ＜12
． 解：(1)由已知，得f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)(x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝
1e
．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x ? ?
???0，1e
1
e
? ??
??
1e ，＋∞ f ′(x ) －
＋
f (x )
极小值