2011高考数学选择题与填空题专项过关训练
1.直觉思维在解数学选择题中的应用
2.高考数学专题复习：选择题的解法
3.高考数学专题复习：选择题的解法参考答案
4.选择题快速解答方法
5. 254个数学经典选择题点评解析
6.高考数学选择题简捷解法专题讲解训练(1)
7. 高考数学选择题简捷解法专题讲解训练（2）
1.直觉思维在解数学选择题中的应用
数学选择题在广东高考试卷中，所占的分值40分，它具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态,以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用.解答选择题的基本策略是准确、迅速。
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守数学概念和逻辑演绎的规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，它直接领悟事物本质，是一种跳跃式的预见，因此大大缩短思考时间。在解数学选择题时，巧妙运用直觉思维，能有效提高解题速度、准确度。
培养数学直觉思维，可以从特殊结构（包括代数式的结构、图形的结构、问题的结构）、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、特殊联系等方面来进行。 一、从特殊结构入手
【例题1】 ，则对棱的距离为（ ）
A 、1
B 、
2
1 C 、
2 D 、
2
2
此题情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中（如图1），则瞬间得到结果，1，选
图1
二、从特殊数值入手 【例题2】、已知π
π2,5
1cos sin ≤<=
+x x x ，则tan x 的值为（ ）
A 、43
-
B 、43
-
或34
-
C 、34
- D 、43
由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x 的范围，直接意识到3
4sin ,cos 5
5
x x =-=
，从
而得到3tan 4
x =-
，选C 。
【例题3】、△ABC 中，cosAcosBcosC 的最大值是（ ）
A 、
3
8
3 B 、8
1 C 、1 D 、
2
1
本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较： 设y=cosAcosBcosC ，则2y=[cos （A+B ）+ cos （A-B ）] cosC ，
∴cos 2C- cos （A-B ）cosC+2y=0，构造一元二次方程x 2- cos （A-B ）x+2y=0，则cosC 是一元二次方程的根，由cosC 是实数知：△= cos 2
（A-B ）-8y ≥0， 即8y ≤cos 2
（A-B ）≤1，∴8
1≤
y ，故应选B 。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A 、B 、C 的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B ，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的真实意图所在。
三、从特殊位置入手
【例题4】、如图2，已知一个正三角形内接于一个边长 为a 的正三角形中，问x 取什么值时，内接正三角形的面 积最小（ ）
A 、
2
a B 、
3
a C 、
4
a D 、
2
图2
【练习5】、双曲线221x y -=的左焦点为F ，
点P 为左支下半支异于顶点的任意一点，则直线PF 的 斜率的变化范围是（ ）
A 、 (,0)-∞
B 、(,1)(1,)-∞-+∞
C 、(,0)(1,)-∞+∞
D 、(1,)+∞ 图3
进行极限位置分析，当P →A 时，PF 的斜率0k →；当PF x ⊥时，斜率不存在，即k →+∞或k →-∞；当P 在无穷远处时，PF 的斜率1k →。选C 。 四、从变化趋势入手
【例题6】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？（ ）
A 、2
B 、62
C 、2
D 、20 cm 2
此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，
故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为2，选B 。
【例题7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，
三人测试成绩如下表：
123,,S S S 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A 、213S S S >>
B 、312S S S >>
C 、321S S S >>
D 、132S S S >>
我们固然可以用直接法算出答案来，标准答案也正是这样做的，但是显然时间会花得多。凭直觉你可以估计到：它们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B 。 五、从变化极限入手
【例题8】、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c-a 等于AC 边上的高，那么
sin
cos
2
2
C A C A -++的值是（ ）
A 、1
B 、12
C 、1
3
D 、-1
进行极限分析，0A → 时，点C →A ，此时高0,h c a →→，那么180,0C A →→ ，所以
sin
cos
2
2
C A C A -++sin 90cos 01→+=
，选
A 。
【例题9】、（06辽宁文11） 与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线方程为（ ）
A
、ln(1y =+ B
、ln(1y =- C
、ln(1y =-+ D
、ln(1y =--
用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为2(1)(0)x y e x =-≥，是个增函数。再令,x →+∞那么,y →+∞那么根据反函数的定义，在正确选项中当y →+∞时应该有,x →+∞只有A 符合. 六、从范围估计入手
【例题10】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A 、0.216
B 、0.36
C 、0.432
D 、0.648
先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.630.6=0.36，②
甲：乙=2：1，其概率为1
2
[0.60.4]0.60.288C ??=，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选
D 。
现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D 。
【例题11】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为,m n ，记向量b =（m ，n ）与向量a =（1，
-1）的夹角为θ，则0,2πθ??∈
??
?
的概率是（ ） A 、
512
B 、
12
C 、
712
D 、5
6
凭直觉可用估值法，画个草图（图4），立刻
发现在A O B ∠范围内（含在OB 上）的向量b 的个 图4 数超过一半些许，选C ，完全没有必要计算。 七、从运算结果入手
【例题12】、（97全国理科）函数sin(
2)cos 23
y x x
π
=-+的最小正周期是（ ）
A 、
2
π
B 、π
C 、2π
D 、4π
因为sin cos sin()a x b x A x ωωω?+=+，所以函数y 的周期只与ω有关，这里2ω=，所以选B ，根本不必计算。
【例题13】、若7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，则0127||||||||a a a a ++++= （ ）
A 、-1
B 、1
C 、0
D 、73
直觉告诉我们，从结果看，展开式系数取绝对值以后，其和会相当大，选D 。或者退化判断法：将7次改为1次；还有一个更加绝妙的主意：干脆把问题转化为已知
7
2
7
0127(12)x a a x a x a x
+=++++ ，求0127a a a a ++++
，这与原问题完全等价！所以结果为73，
选D 。
八、从特殊联系入手
【例题14】、（97年高考）不等式组??
?
??+->+->x x x x x 22330
的解集是（ ）
A 、{}20< B 、{}5.20< C 、{}60< D 、{}30< 直接求解肯定不是最佳策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？直觉：它必定是方程33| |33x x x x --=++的根！，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是， 所以选C 。 【例题15】、四个平面，最多可以把空间分成几部分？（ ） A ．8 B ．14 C ．15 D ．16 这个问题等价于：一个西瓜切4刀，假设在此过程中西瓜不散落，则最多可以切成几块？ 前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题，第4刀怎么切呢？要得到最多的块数，应该尽可能切到前8块，所以切法应该区别于前3刀的方向，即斜切，但总有1块切不到，所以答案为832-1=15，选C 。 也可以这样考虑：假设已经切好了，则中间必定有1块是没有皮的四面体，与每一个面相邻的有1块，共4块；与每条棱相接的有1块，共6块；与每顶点相对的有1块，共4块；所以总数是1+4+6+4=15，选C 。 2.高考数学专题复习：选择题的解法 1.直接法： 有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.特例法： （1）特殊值： 若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )。 （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3π π?? ??? （Ｃ）4, 33π π?? ??? （Ｄ）3,32ππ?? ? ?? （2）特殊函数： 定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)2f(－a)≤0；②f(b)2f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）。 A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．①③ （3）特殊数列： 已知等差数列{} n a 满足 121010 a a a ++???+=，则有（ ）。 A 、 11010 a a +> B 、 21020 a a +< C 、3990 a a += D 、 5151 a = （4）特殊位置： 直三棱柱ABC —A /B / C / 的体积为V ，P 、Q 分别为侧棱AA / 、CC / 上的点，且AP=C / Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是（ ）。 （A ） 12 V （B ）13 V （C ） 14 V （D ）15 V （5）特殊点： 函数1y =+04x ≤≤）的反函数是（ ）。 （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） （6）特殊方程： 双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α 等于（ ）。 A ．e B ．e 2 C ．e 1 D ．2 1 e 3.图像法： 2,() ()()22 ()22 ()22x kx k A k B k k C k D k k k =+=± <->-<<<->=± 若关于的方程有唯一实数解则实数为或或或 4.验证法(代入 法)： 2=的值是 （ ） 。 ()3A x = ()37 B x = ()2 C x = ()1 D x = 5.筛选法（也叫排除法、淘汰法）： 若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ）。 A ．（1，2] B ．（0，23 ] C ．[21 ，22] D ．（21，22 ] 6.分析法： 设a,b 是满足ab<0的实数，则（ ）。 A ．|a+b|>|a －b| B ．|a+b|<|a －b| C ．|a －b|<|a|－|b| D ．|a －b|<|a|+|b| 7.估算法： 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ， EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）。 A ）9/2 B ）5 C ）6 D ）15/2 3.高考数学专题复习：选择题的解法参考答案 1.直接法 E A B C F D 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 2、特例法： （1）特殊值 解析：取4,2 3 A D C π πααπα= 排除，＝，排除B ，＝ ，排除，故选. （2）特殊函数 解析：取f(x)= －x ，逐项检查可知①④正确。故选B 。 （3）特殊数列 解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C 。 （4）特殊位置 解析：令 P 、Q 分别为侧棱 AA /、CC /的中点，则可得 11111 ,2 3 3 2 3 A A C C B A P Q C A P Q C A A C C V S h V S h h S V ' '''-= ===，故选B （5）特殊点 解析：由函数1y =+x=4时,y=3，且13y ≤+=,则它的反函数过点（3，4），故选A （6）特殊方程 解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲 线方程为42 x －12 y =1，易得离心率e=25,cos 2α =52 ，故选C 。 3.图像法： 解析：如图，令122y y kx ==+ ，则它们分别表示半圆和过点（0，2）的直线系，由图可知，直线和半圆相切，以及交点横坐标在（－1， 1）内 时，有一个交点，故选D. 4.验证法(代入法)： 解析：将四个选择支逐一代入，可知选D . 5.筛选法（也叫排除法、淘汰法）： 解析：因x 为三角形中的最小内角，故 (0, ] 3 x π ∈，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D ，故应 选A。 6.分析法： 解析：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。 7、估算法： 解析：连接BE、CE则四棱锥E－ABCD的体积 V E-ABCD=1 3333332=6，又整个几何体大于部分的体积， 所求几何体的体积V求> V E-ABCD，选（D） 4.选择题快速解答方法 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1、若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（） （A）{x|2kπ－3 4 π ＜x＜2kπ＋ π 4，k∈Z} （B）{x|2kπ＋ π 4＜x＜2kπ＋ 5 4 π ，k∈Z} （C）{x|kπ－π 4＜x＜kπ＋ π 4，k∈Z } （D）{x|kπ＋ π 4＜x＜kπ＋ 3 4 π ，k∈Z} 解析：（直接法）由sin2x>cos2x得cos2x－sin2x＜0， 即cos2x＜0，所以：π 2＋kπ＜2x＜ 3 2 π ＋kπ，选D. 另解：数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D. 例2、设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（）（A）0.5 （B）－0.5 （C） 1.5 （D）－1.5 解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数，得 f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B. 也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 例3、七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（） （A）1440 （B）3600 （C）4320 （D）4800 解析：法一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有 7 7 A 种，其中甲、乙两人相邻的排法有23 6 6 A 种. 因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有： 7 7 A －23 6 6 A ＝3600，对照后应选B； E A B C F D 法二：（用插空法） 5 5 A 3 2 6 A ＝3600. 例4、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（ ） 12527. 125 36. 125 54.125 81. D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验.12527 )106 ( 104 )106 ( 3 3 32 2 3= ?+? ?C C 故选A. 例5、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂 直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直.其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D. 例6、已知F1、F2是椭圆162 x +92 y =1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入，得|AF1|+|BF1|＝11，故选A. 例7、已知 log (2) a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数，∵ log (2) a y ax =-在[0，1]上是减函数. ∴a>1，且2-a>0，∴1 例8、圆x2＋2x ＋y2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2 的点共有（ ） Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个 解析：:本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析．将圆的方程化为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(2 2 )2,∴ r ＝2 2 .∵ 圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝ 2 | 121|+--＝ 2 , 恰为半径的一半．故选Ｃ． 例9、设F1、F2为双曲线4 2 x －y2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F1PF2＝90o ，则△F1PF2的面积 是（ ） Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5 解析：∵ |PF1|－|PF2|＝±2a ＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|2|PF2|＝16， ∵ ∠F1PF2＝90o ，∴ 2 1PF F S ?＝21 |PF1|2|PF2|＝41 (|PF1|2＋|PF2|2－16). 又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴ 2 1PF F S ?＝1，选Ａ． 例10、 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，过AB 中点M 与原点的直线斜率为2 2 ，则n m 的值为（ ） Ａ. 2 2 Ｂ. 3 3 2 Ｃ.1 Ｄ. 2 3 解析：命题：“若斜率为k(k ≠0)的直线与椭圆2 2a x ＋ 2 2b y ＝1（或双曲线2 2a x －2 2b y ＝1）相交于A 、B 的中点， 则k 2kOM ＝－2 2a b (或k 2kOM ＝2 2a b )，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应 用．运用这一结论，不难得到： ∵ kAB 2kOM ＝－ 2 2a b ＝－ m n 1 1＝－n m ,∴ n m ＝－kAB 2kOM ＝122 2＝ 2 2 ，故选Ａ． 直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广，只要运算正 确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错. 2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. （1）特殊值 例11、若sin α>tan α>cot α( 24 π απ < <- )，则α∈（ ） A ．(2π -， 4π - ) B ．（ 4π- ，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2π ） 解析：因 24 π απ < <- ，取α=－6π 代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B. 例12、一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ） A ．－24 B ．84 C ．72 D ．36 解析：结论中不含n ，故本题结论的正确性与n 取值无关，可对n 取特殊值，如n=1，此时a1=48,a2=S2－S1=12，a3=a1+2d= －24，所以前3n 项和为36，故选D. （2）特殊函数 例13、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 解析：构造特殊函数f(x)=35 x ，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C. 例14、定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)2f(－a)≤0；②f(b)2f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b).其中正确的不等式序号是（ ） A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．①③ 解析：取f(x)= －x ，逐项检查可知①④正确.故选B. （3）特殊数列 例15、已知等差数列{} n a 满足 121010 a a a ++???+=，则有（ ） A 、 11010 a a +> B 、 21020 a a +< C 、 3990 a a += D 、 5151 a = 解析：取满足题意的特殊数列0 n a =，则 3990 a a +=，故选C. （4）特殊位置 例16、过)0(2 >=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则= +q p 11（ ）A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a 4 解析：考虑特殊位置PQ ⊥OP 时， 1 ||||2P F F Q a == ，所以1 1224a a a p q + =+=，故选C. 例17、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) 解析：取2H h = ，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的1 2，故选B. （5）特殊点 例18 、设函数 ()20) f x x =+≥，则其反函数 ) (1 x f -的图像是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解析：由函数()20) f x x =+ ≥，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函 数f －1(x)的图像上，观察得A 、C.又因反函数f －1(x)的定义域为{|2}x x ≥，故选C. （6）特殊方程 例19、双曲线b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α 等于（ ） A ．e B ．e2 C ．e 1 D ．2 1 e 解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察.取双曲线方程为42 x －12 y =1，易得离心率e=25,cos 2α = 52 ，故选C. （7）特殊模型 例20、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y2=3，那么x y 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 解析：题中x y 可写成00 --x y .联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=1 21 2x x y y --，可将问题看成圆(x － 2)2+y2=3上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得D. 3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法.这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速. 例21、已知α、β都是第二象限角，且cos α>cos β，则（ ） A ．α<β B ．sin α>sin β C ．tan α>tan β D ．cot α 解析：在第二象限角内通过余弦函数线cos α>cos β找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B. 例22、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a ＋3b |=（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 解析：如图，a ＋3b ＝OB ，在O A B ?中， ||1,||3,O A A B O A B ==∠=∴ 由余弦定理得｜ a ＋3 b |=｜OB ｜＝13，故选C. 例23、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n 项和Sn 最小的n 是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：等差数列的前n 项和Sn=2d n2+(a1-2d )n 可表示为过原点的抛物 线，又 本题中a1=-9<0, S3=S7,可表示如图，由图可知，n=5 27 3=+,是抛物线 的对称 轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn 最小，故选B. 4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. 例24、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A —F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：用十六进制表示E+D=1B ，则A 3B=（ ） A.6E B.72 C.5F D.BO 解析：采用代入检验法，A 3B 用十进制数表示为1311=110,而 6E 用十进制数表示为6316＋14=110；72用十进制数表示为7316＋2=114 5F 用十进制数表示为5316＋15=105；B0用十进制数表示为11316＋0=176，故选 A. O A B a 3 b b a ＋ 例25、方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( ) A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） 解析：若(0,1)x ∈，则l g 0x <，则l g 1x x +<；若(1 ,2)x ∈，则0l g 1x <<，则1l g 3x x <+< ；若( 2,3)x ∈， 则0lg 1x <<，则2lg 4x x <+<；若3,lg 0x x >>,则lg 3x x +>，故选C. 5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一 信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 例26、若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ） A ．（1， 2] B ．（0，2 3 ] C ．[21 ，22] D ．（21，2 2 ] 解析：因x 为三角形中的最小内角，故 (0, ] 3x π ∈，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D ，故应选A. 例27、已知y ＝log a (2－ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）(0，1) （B ）(1，2) （C ）(0，2) （D ） [2，+∞) 解析：∵ 2－ax 是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A 、C ；若a ＝2，由2－ax>0得x ＜1，这与x ∈[0，1]不符合，排除答案D.所以选B. 例28、过抛物线y 2 ＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是（ ） （A ） y 2＝2x －1 （B ） y 2 ＝2x －2 （C ） y 2＝－2x ＋1 （D ） y 2 ＝－2x ＋2 解析：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除答案A 、C 、D ，所以选B ； 另解：（直接法）设过焦点的直线y ＝k(x －1)，则y kx y x =-=???1 42 ，消y 得： k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，中点坐标有x x x k k y k k k k =+=+=+-=????? ? ?122 22 222212()，消k 得y 2＝2x －2，选B.例29、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相 比，一次通话提价的百分率（ ） A ．不会提高70% B ．会高于70%，但不会高于90% C ．不会低于10% D ．高于30%，但低于100% 解析：取x ＝4，y ＝0.33 - 0.360.362100%≈－8.3%，排除C 、D ；取x ＝30，y ＝ 3.19 - 1.8 1.8 2100%≈77.2%，排 除A ，故选B. 例30、给定四条曲线：① 252 2 = +y x ，②14 9 2 2 =+ y x ，③ 1 4 2 2 =+ y x ，④1 4 2 2 =+y x ,其中与直线 5=-+y x 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选， 而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线1 4 92 2 =+ y x 是相交的，因为直线上 的点)0,5(在椭圆内，对照选项故选D. 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％ 6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法. （1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法. 例31、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相 联，连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时 间内传递的最大信息量为（ ） A ．26 B ．24 C ．20 D ．19 解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D. 例32、设球的半径为R, P 、Q 是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是2R π，则这 两点的球面距离是（ ）A 、R 3 B 、 2 2R π C 、3R π D 、2R π 解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A 、B 、D ，故选C. 例33、已知 )2(524cos ,5 3sin πθπθθ<<+-= +-= m m m m ，则2tan θ 等于（ ） A 、m m --93 B 、| 93 | m m -- C 、31 D 、5 解析：由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ,cos θ的值应与m 的值无关，进 而推知tan 2θ 的值与m 无关，又2π<θ<π，4π<2θ<2π,∴tan 2θ >1，故选D. （2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为 逻辑分析法. 例34、设a,b 是满足ab<0的实数，那么（ ） A ．|a+b|>|a －b| B ．|a+b|<|a －b| C ．|a －b|<|a|－|b| D ．|a －b|<|a|+|b| 解析：∵A ，B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C ，D.又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B 为真，故选B. 例35、A B C ?的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（ ） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形 解析：在题设条件中的等式是关于,a A 与,b B 的对称式，因此选项在A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项C 正确，则有1112 22+=，即 1 12= ，从而C 被淘汰，故选D. 7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法. 例36、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为 3的正方形，EF ∥AB ，EF 23 = ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面 体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 解析：由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2， ∴VF －ABCD ＝31 23222＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D ）. 例37、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ） （A ）916 π （B ）38 π （C ）4π （D ）964 π 解析：∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝3 3 2， 则S 球＝4πR2≥4πr2＝16 3π＞5π，故选（D ）. 估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法. 例38、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元.根据以上数据，08年该地区人均收入介于（ ） （A ）4200元~4400元 （B ）4400元~4460元 （C ）4460元~4800元 （D ）4800元~5000元 解析：08年农民工次性人均收入为： 5 1 2 2 551800(10.06)1800(10.060.06 C C +≈+?+? 1800(10.30.036)=++1800 1.336=?2405 ≈，又08年农民其它人均收入为1350+1605?=2150 故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）.故选B. 说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例.需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化. 2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做.“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨. （二）选择题的几种特色运算 1、借助结论——速算 例39、棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 、π3 B 、π4 C 、π33 D 、π6 解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在 一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径.可以快速算出球的半径23 = R ，从而求出球的表面积为π3， 故选A. 2、借用选项——验算 例40、若,x y 满足??? ?? ? ?≥≥≥+≥+≥+,0,0,2432,3692,123y x y x y x y x ，则使得y x z 23+=的值最小的),(y x 是（ ） A 、（4.5，3） B 、（3，6） C 、（9，2） D 、（6，4） 解析：把各选项分别代入条件验算，易知B 项满足条件，且y x z 23+=的值最小，故选B. 3、极限思想——不算 例41、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面所成的二面角的平面角为β，则 βα2cos cos 2+的值是（ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、3 2 解析：当正四棱锥的高无限增大时， 90,90→→βα，则. 1180 cos 90cos 22cos cos 2-=+→+ βα故选 C. 4、平几辅助——巧算 例42、在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条 解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程.以A （1，2）为圆心，1为半径作圆A ，以B （3，1）为圆心，2为半径作圆B.由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线.故选B. 5、活用定义——活算 例43、若椭圆经过原点，且焦点F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ） A 、43 B 、32 C 、21 D 、41 解析：利用椭圆的定义可得, 22,42==c a 故离心率 . 21== a c e 故选C. 6、整体思想——设而不算 例44、若4 43322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ ，则2024()a a a ++2 13() a a -+的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、2 解析：二项式中含有3，似乎增加了计算量和难度，但如果设4 43210) 32(+==++++a a a a a a ， 4 43210) 32(- ==+-+-b a a a a a ，则待求式子 1 )]32)(32[(4 =-+ ==ab .故选A. 7、大胆取舍——估算 例45、如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形， EF ∥AB ，EF=23 ，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A 、29 B 、5 C 、6 D 、215 解析：依题意可计算6 2333 13 1=???= ?= -h S V ABCD ABCD E ，而 ABC D EF E ABC D V V ->＝6，故选D. 8、发现隐含——少算 例46、 1 2 22 2 =+ +=y x kx y 与交于A 、B 两点，且 3 =+OB OA k k ，则直线AB 的方程为（ ） A 、0432=--y x B 、0432=-+y x C 、0423=-+y x D 、0423=--y x 解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB 的方程就是2+=kx y ，它过定点（0，2），只有C 项满足.故选C. 9、利用常识——避免计算 例47、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收.某人在2001年9月存入人 民币1万元，存期一年，年利率为 2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是 （ ）A 、8% B 、20% C 、32% D 、80% 解析：生活常识告诉我们利息税的税率是20%.故选B. （三）选择题中的隐含信息之挖掘 1、挖掘“词眼” 例48、过曲线3 3:x x y S -=上一点)2,2(-A 的切线方程为（ ） A 、2-=y B 、2=y C 、0169=-+y x D 、20169-==-+y y x 或 错解： 9 )2(,33)(/ 2 / -=+-=f x x f ，从而以A 点为切点的切线的斜率为–9，即所求切线方程为 .0169=-+y x 故选C. 剖析：上述错误在于把“过点A 的切线”当成了“在点A 处的切线”，事实上当点A 为切点时，所求的切线方程为0169=-+y x ，而当A 点不是切点时，所求的切线方程为.2-=y 故选D. 2、挖掘背景 例49、已知R a R x ∈∈,，a 为常数，且)(1) (1)(x f x f a x f -+= +，则函数)(x f 必有一周期为（ ） A 、2a B 、3a C 、4a D 、5a 分析：由于x x x tan 1tan 1)4 tan(-+= + π ，从而函数)(x f 的一个背景为正切函数tanx ，取 4π = a ，可得必有一周 期为4a .故选C. 3、挖掘范围 例50、设αtan 、βtan 是方程04333 =++x x 的两根，且 ) 2, 2 (),2 , 2 (π π βπ π α- ∈- ∈，则βα+的值为 （ ）A 、32π- B 、3π C 、323ππ - 或 D 、 323 ππ 或 - 错解：易得),(),2 , 2 (),2 , 2(,3)tan(ππβαπ π βπ π αβα-∈+- ∈- ∈=+又，从而. 3 23 ππ βα- = +或故 选C. 剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围.由韦达定理知 tan ,0tan ,0tan tan ,0tan tan <<><+βαβαβα且故.从而) 0,2 (),0,2 (π βπ α- ∈- ∈，故 . 3 2πβα-=+故选A. 4、挖掘伪装 例51、若函数 2 ()l o g (3)(01) a f x x a x a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当 221a x x ≤ <时， 0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为（ ） A 、)3,1()1,0( B 、)3,1( C 、)32,1()1,0( D 、)32,1( 分析：“对任意的x1、x2，当 221a x x ≤ <时，0)()(21>-x f x f ”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”， 同时还隐含了“)(x f 有意义”.事实上由于3)(2+-=ax x x g 在2a x ≤时递减，从而?????>>.0)2(, 1a g a 由此得a 的 取值范围为)32,1(.故选D. 5、挖掘特殊化 例52、不等式 3 212 212- C C 的解集是（ ） A 、φ B 、 } 3{的正整数大于 C 、{4，5，6} D 、{4，4.5，5，5.5，6} 分析：四个选项中只有答案D 含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x 值取4.5代入验证，不 等式成立，这说明正确选项正是D ，而无需繁琐地解不等式. 6、挖掘修饰语 例53、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ） A 、72种 B 、36种 C 、144种 D 、108种 分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为种 7223 33 3=A A .故选A. 7、挖掘思想 例54、方程x x x 2 22 = -的正根个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 分析：本题学生很容易去分母得223 2 =-x x ，然后解方程，不易实现目标.事实上，只要利用数形结合的思 想，分别画出x y x x y 2 ,22 = -=的图象，容易发现在第一象限没有交点.故选A. 8、挖掘数据 例55、定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得 C x f x f =+2 ) ()(21，则称函数)(x f 在D 上的均值为 C.已知]100,10[,lg )(∈=x x x f ，则函数 ]100,10[lg )(∈=x x x f 在上的均值为（ ） A 、23 B 、43 C 、107 D 、10 分析： C x x x f x f == +2 ) lg(2 ) ()(2121，从而对任意的]100,10[1∈x ，存在唯一的]100,10[2∈x ，使得2 1,x x 为常数.充分利用题中给出的常数10，100.令10001001021=?=x x ,当]100,10[1∈x 时， ] 100,10[10001 2∈= x x ，由此得 . 23 2 ) lg(21== x x C 故选A. （四）选择题解题的常见失误 1、审题不慎 例56、设集合M ＝｛直线｝，P ＝｛圆｝，则集合P M 中的元素的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、0或1或2 误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以P M 中的元素的个数为0或1或2.故选D. 剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M ，P 就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题.实际上，M ，P 表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素.故选A. 2、忽视隐含条件 例57、若x 2s i n 、x sin 分别是θθc o s s i n 与的等差中项和等比中项，则x 2c o s 的值为 （ ）A 、8 331+ B 、8 331- C 、 8 331± D 、4 21- 误解：依题意有θθcos sin 2sin 2+=x ， ① 2 s i n s i n c o s x θθ= ② 由①2-②×2得，022cos 2cos 42 =--x x ，解得 cos 28 x = .故选C.
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