人教版数学九年级上册课时跟踪训练：
22.3几何图形面积问题
一．选择题
1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）
A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x
2．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）
A．3 B．3C．D．
3．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）
A．16m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对
4．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD＝16，则四边形ABCD的面积最大值是（）
A．16 B．32 C．36 D．64
5．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
6．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（）
A．75m2B．C．48m2D．
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）
A．S＝t（0＜t≤3）B．S＝t2（0＜t≤3）
C．S＝t2（0＜t≤3）D．S＝t2﹣1（0＜t≤3）
9．用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（）m2．
A．B．C．2 D．4
10．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）
A．B．C．D．
二．填空题
11．如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为24米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形鸡场，则所围鸡场最大面积为平方米．
12．如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙足够长）的高地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为42m的栅栏围成，CD上留2米的位置做大门．则CD ＝米时，花园的面积最大，最大面积是平方米．
13．如图，有一块边长为a的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝行，再沿图中虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，若该纸盒侧面积的最大值是cm2，则a的值为cm．
14．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式；自变量的取值范围．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝30，动点P从点B开始沿边BC向点C 以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t＝秒时，三角形△PCQ的面积最大．
（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．
三．解答题
16．阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
（1）当x＝时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最（填“大”或“小”）值为；
（2）当x＝时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最（填“大”或“小”）值为；
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
17．如图，ABCD是一个矩形菜园，为了节省材料，使AD边靠墙，其它三边用总长为200m 的竹篱笆围成，墙的长度为90m．
（1）若菜园的面积为4800m2，求BC边长；
（2）BC边长为多少时，围成的菜园面积最大？最大值是多少？
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？
（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？
19．如图，把一张边长为10cm的正方形纸板的四周各剪去一个边长为xcm的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．
（1）当长方体盒子的底面积为81cm2时，求所剪去的小正方形的边长．
（2）设所折叠的长方体盒子的侧面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）长方体盒子的侧面积为S的值能否是60cm2，若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
20．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
（3）请说明（2）中的函数S随x的变化情况．
参考答案
一．选择题
1．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，
∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，
则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故选：C．
2．解：如图，作HM⊥AB于M，
∵AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），
∴AD＝HM，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
∴S
＝＝BD?AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，△BDH
∴△BDH面积的最大值是，
故选：C．
3．解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
4．解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝16﹣x，
则：S＝AC?BD＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+32，
当x＝8时，S
最大
＝32；
所以AC＝BD＝8时，四边形ABCD的面积最大，
故选：B．
5．解：
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
6．解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选：A．
7．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S
△ABC ﹣S
△PBQ
＝×12×6﹣（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
8．解：如图所示，
∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD＝∠A，
∴∠AOD＝∠OCD＝45°，
∴OD＝CD＝t，
∴S
△OCD
＝×OD×CD
＝t2（0＜t≤3），即S＝t2（0＜t≤3）．
故选：B．
9．解：设宽为xm，则长为m，
可得面积S＝x?＝﹣x2+4x，
当x＝时，S有最大值，最大值为＝故选：B．
10．解：设菱形的高为h，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，
∴h＝，
若设AP＝x，则PB＝1﹣x，
∵PQ⊥AB，
AQ＝2x，PQ＝x，
∴DQ＝1﹣2x，
∴S
△CPQ ＝S
菱形ABCD
﹣S
△PBC
﹣S
△PAQ
﹣S
△CDQ
＝1×﹣（1﹣x）?﹣x?x﹣（1﹣2x）?＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴△CPQ面积有最大值为，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵鸡场的宽AB为x米，
∴BC＝（24﹣4x）米，
∴y＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x，
∴当x＝3时，y
＝36，
最大值
答；当x取3时所围成的鸡场的面积最大，最大面积是36平方米，故答案为：36．
12．解：设AD＝BC＝x米，则CD＝42﹣2x+2＝44﹣2x，
∴花园的面积S＝x（44﹣2x）＝﹣2x2+44x＝﹣2（x﹣11）2+242
∵﹣2＜0，
∴当x＝11时，S取得最大值，最大值为242，
即CD＝44﹣22＝22米时，花园的面积最大，最大面积是242平方米，故答案为：22，242．
13．解：如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD＝BE＝BF＝CG＝CH＝AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO＝PE＝PF＝QG＝QH＝OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO＝∠AKO＝90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD＝∠OAK＝30°．
设OD＝x，则AO＝2x，由勾股定理就可以求出AD＝x，
∴DE＝a﹣x，
∴纸盒侧面积＝3x（a﹣2x）＝﹣6x2+3ax＝﹣6（x﹣）2+，
∵该纸盒侧面积的最大值是cm2，
∴＝，解得：a＝3，或a＝﹣3（舍去）；
故答案为：3．
14．解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米．
这时面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，
故答案为：S＝﹣3x2+24x，≤x＜8．
15．解：（1）∵CP＝BC﹣BP＝30﹣3t，CQ＝t，
∵∠C＝90°，
＝PC?CQ＝?t＝﹣t2+15t，
∴S
△PCQ
当t＝﹣＝5时，三角形△PCQ的面积最大；
（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：
当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，
过点A作AE∥MN交BC于点E，
此时CD＝30﹣3×10＝0，
∴MD＝15﹣0＝15，
∵N是AD的中点，
∴M是DE的中点，
∴EM＝DM＝15，MN＝AE，
∴CE＝0+15+15＝30，
∴AE＝＝10，
∴MN＝5；
即线段PQ的中点所经过的路程长为．
故答案为：5，5．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）当x＝2时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最小值为﹣1；
故答案为2、小、﹣1．
（2）代数式﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5
∴当x＝﹣1时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最大值为5．
故答案为﹣1、大、5．
（3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为xm，花园的面积为ym2．根据题意，得y＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32
∵﹣2＜0，∴当x＝4时，y有最大值为32，
答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为4m时，花园的面积最大，最大面积是32m2．17．解：（1）设BC的长为xm，
根据题意，得（200﹣x ）?x ＝4800
整理，得x 2﹣200x +9600＝0
解得x 1＝80，x 2＝120（不符合题意，舍去）．
答：BC 边长为80m ．
（2）设BC 边长为xm 时，围成的菜园面积为ym 2．
根据题意，得y ＝（200﹣x ）?x
＝﹣x 2+100x
＝﹣（x ﹣100）2+5000
因为0＜x ≤90，﹣＜0，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，
所以当x ＝90时，y 有最大值为4950，
答：BC 边长为90m 时，围成的菜园面积最大，最大值4950m 2．
18．解：（1）由题意：BQ ＝2t cm ，PB ＝（6﹣t ）cm ，
故答案为2t ，（6﹣t ）．
（2）由题意，得
． 解得（不合题意，舍去），t 2＝3．
所以当t ＝3秒时，PQ 的长度等于
；
（3）存在．理由如下：
设五边形APQCD 的面积为S ．
∵S 矩形ABCD ＝6×8＝48（cm 2），
∴， ∴当t ＝3秒时，五边形APQCD 的面积有最小值，最小值为39cm 2．
19．解：（1）根据题意，得
（10﹣2x ）2＝81
解得x 1＝0.5，x 2＝9.5（不符合题意，舍去）
答：所剪去的小正方形的边长为0.5cm ．
（2）根据题意，得
S ＝4x （10﹣2x ）
＝﹣8x 2+40x （0＜x ＜5）
答：S 与x 的函数关系式为S ＝﹣8x 2+40x ，
x 的取值范围为0＜x ＜5．
（3）答：不能．理由如下：
﹣8x 2+40x ＝60，
整理得2x 2﹣10x +15＝0
∵△＝100﹣120＝﹣20＜0，
∴此方程无解，
答：长方体盒子的侧面积为S 的值不能是60cm 2．
20．解：（1）根据题意可得：一条对角线的长为xcm ，则另一对角线长为：（
60﹣x ）， 则S ＝x （60﹣x ）＝﹣x 2+30x ；
（2）由①得：S ＝﹣x 2+30x ＝﹣（x ﹣30）2+450，
故当x 是30cm 时，菱形风筝的面积S 最大，最大的面积是450cm 2．
（3）当0＜x ＜30时，S 随着x 的增大而增大；
当30＜x ＜60时，S 随着x 的增大而减小．