常微分方程学习活动6
第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y
)(d d x x
=，n R Y ∈的任一非零解在1
+n R
空间 不能 与x 轴相交．
2．方程组
n x x x
R Y R Y F Y
∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n + 1 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0．
4．线性齐次微分方程组n x x x
R Y R Y A Y
∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n + 1 个．
5．若函数组)()(21x x ??，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于零 ．
6．函数组???==x y x
y cos sin 2
1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=
7．二阶方程02
=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ???
??--='='y
x xy y y y 2
111
8．若)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．
9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．
10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．
11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交．
12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是 e ,e
x x
x -- ．
13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ． 14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间． 15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．
二、计算题
1．将下列方程式化为一阶方程组
（1）0)()(=++x g x x f x &&&
解 ???????--==)()(d d d d x g y x f t
y y t
x
（2）
)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y
解 ????
?????---===0312212
2
11)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x y
y x y
2．求解下列方程组：
（1）???????+=+=x y t
y x y t
x
54d d 45d d
解 方程组的系数阵为54A ?=??
45?
??
特征方程为： det(A-λE)=
54
λ-
45λ
-=(1)(9)0λλ--=，
其特征根为 121,9λλ==.
当11λ=时,11t y a e z b ????
=?
?
??????
， 其中a , b 满足 (A-λE)a b ??????=44???
44???a b ??
??
??
= 0, 则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解1111t y e z ????
=????-????
同理,当29λ=时，29211t y e z ????
=?
?
??????
所以方程组的解为9129()()t t t t y t e e C C z t e e -??????
=+??????-??????
（2）???????+-=+=y x t
y y x t
x
αββαd d d d
解 方程组的系数阵为 A αβ?=?
-? βα?
??
. 特征方程为: det(A-λE)= αλβ-- βαλ
-=22
()0λαβ-+= 特征根为 λαβ=±i .
当1i λαβ=+时,11i x a e y b αβ+????=?
???
????
其中a , b 满足 (A-λE)a b ??????=i ββ-??-?
i ββ?
?-?
a b ??
????
=0, 故有0
ai b a bi -+=??
--=? 即 b ai =.
取1,a b i ==，于是方程组对应于
*1*11i x e i y αβ+????=??????????
=cos sin sin cos t t i t e t i t αββββ+????-+?? 故特征根i λαβ=±所对应的实解为
11x y ??????
=cos sin t t e t αββ????-??,22x y ??????=sin cos t t e t αββ??
??
?? 所以方程组的解为
()()x t y t ??????=cos sin t t e t αββ??-? sin cos t t ββ?
??
12C C ??????
3．求解下列方程组：
（1）?
??-=+=x y y y x x 23&&
解 方程组的系数阵为 12A ?=?
-? 13?
??
. 特征方程为: det(A-λE)=
12λ-- 1
3λ
- =2450λλ-+= 特征根为 122,2λλ=+=-i i 当12i λ=+时,1(2)1i t x a e y b +????=?
??????? 其中a , b 满足(11i -??-? 11i ?
?
-?a b ??
????
= 0, 即(1)0(1)0i a b a i b --+=??-+-=?
第一个方程(1)x i -有2(1)0a i b -++= 令1a =，则1b i =+ 于是由 2()1(cos sin )()1t x t e t i t y t i ????
=+?
???+????
解得通解 ()()x t y t ??????=2cos cos sin t t e t t ??-? sin cos sin t t t ?
?+?12C C ??
????
.
（2）???
??+-=-+=+-=z y x z
z y x y z y x x 222&&& 解 系数阵为211121112A -????=-????-??
特征方程为: det(A-λE)=211λ-121λ---1
12λ
--=(1)(2)(3)0λλλ---=.
特征根为 1231,2,3λλλ===.
通解解为 23122233()0
()0()t
t t
t t
t
t c x t e e y t e e c z t e e e c ????????????=??????
???
????????
?. 4．求解下列方程组：
（1）???????=+=y t
y y x t
x
3d d 3d d
解 方程组的系数阵为 30A ?=?? 13?
??
，其特征方程为：
det(A-λE)=
30
λ-
13λ
-=2
(3)0λ-=.
特征根为 123λλ==, 方程组有如下形式的解:31112()t x r r t e =+ 32122()t
y r r t e =+
代入原方程组有33331112121112212233321222221223()3()()3()3()t t t t
t t t
r r t e r e r r t e r r t e
r r t e r e r r t e
?++=+++??++=+??
消去3t
e 得 122122220
r r r t
r =+??
=?
令12211r r == 110r =, 则3t
x te = 3t
y e = 令12210r r == 111r =, 则3t
x e = 0y =
所以方程组的解为33123()()0t t t x t te e C C y t e ??????
=+????????????
（2）?????+=+=2
e 2t x y
y x t && 解 首先求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为01A ?=??
10?
??
. 其特征方程为： det(A-λE)= 1λ- 1
λ
-=(1)(1)0λλ-+=.
特征根为 121,1λλ==-
当11λ=时，??????=??????b a y x t e 11，其中a , b 满足(A-λE)a b ??????=11-??? 11??
-?
a b ??
????
=0, 则有a -b = 0 取a = b =1, 则得一特解?
?????=??
??
??11e 11t y x 同理,当21λ=-时，??????-=??
??
??-11e 22t y x
所以对应齐次线性方程组的通解为
12()()t t t t x t e e c c y t e e --??????
=+??????-??????
然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.
将1212()()()()()()t t
t
x t c t e c t e y t c t e c t e
-?=+??=-??代入原方程组，得
21
222()12()2
t t t
c t t e c t e t e -'?=+??'=-?? 解得 212221()2
1()[2()]2
---?=---????=-+-??t t t
t t t t c t t t e te e c t e e t te e .
原方程组的特解为
2122
221()()2
()()1[2()]2122.122-------??---??????????==?
?????????--??????????-+-????
??
-+-??=????--????
t t t
t
t
t
t
t t t t t t t t t t t t t t e te e c t x t e e
e
e y t c t e
e e e e e t te e te t e te e t
所以原方程组的通解为 21212()2.()122--??-+-????????=+???????
?-????????--????
t t t
t
t t t t
te t e c x t e
e y t c e
e te e t 5．已知方程01
1)ln 1(2=-'+
''-y x
y x y x 的一个解x y ln 1=，求其通解． 解 由通解公式*
()11
211p x dx
y c y cy e dx y -=+?
，1
1ln ,()(1ln )
y x p x x x ==-，1
()**(1ln )
11122
1*1112
12211[](ln )ln 1[]()ln (ln )ln dx p x dx x x y c y cy e dx y c c e dx y x x x
y c c dx y c c c x c x x x
---??=+=+-=+=+=+???
6．试求下列n 阶常系数线性齐次方程的通解 （1）0209=+'+''y y y 解 特征方程为:29200λλ++=
特征根为:124,5λλ=-=-。它们对应的解为:45,x
x e e --
方程通解为:4512x
x y c e c e --=+
（2）0)
4(=+y y
解 特征方程为: 410λ+= 特征根为
: 1,23,4,2222
λλ=
±=-± 它们对应的解为
: cos ,sin ,cos ,sin 2
222
x x e x e x
方程通解为:
1234(cos sin )(cos sin )2222
y c x c x e c x c x =+++.
7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解： （1）044=+'+''y y y ，4)2(=y ，0)2(='y
解 特征方程为:2
440λλ++=.
特征根为:1,22λ=-，方程通解为:212()x
y e c c x -=+
由初始条件有:12412230
24c c c c e +=??+=?,解得414
2128c e c e
?=-?=?. 所以方程的初值解为:244(128)x
y e
e e x -=-+.
（2）0='+''y y ，2)0(=y ，5)0(='y 解 特征方程为:20λλ+=.
特征根为: 120,1λλ==-，方程通解为: 12x
y c c e -=+
由初始条件有:12225c c c +=??-=?,解得12
7
5c c =??=-?.
所以方程的初值解为:75x
y e -=-.
8．求下列n 阶常系数线性非齐次方程的通解： （1）873782
++=+'-''x x y y y 解 由于 2870λλ-+=，121,7λλ==，
故齐次方程的通解为 712x x
y c e c e =+.
由于0α=不是特征根，故已知方程有形如 2
1y Ax Bx C =++的特解.
将它代入原方程，得, 3971126
,,749343A B C ===
， 所求通解为72123971126
749343
x x y c e c e x x =++++
（2）x x y y y 2cos 102=+'-''
解 由于2
122100,12,12i i λλλλ-+==+=-，
12(cos 2sin 2)x
y e c x c x =+.
因为2i i αβ±=±不是特征根，故已知方程有形如 11121()cos 2()sin 2y A x B x A x B x =+++ 的特解．将上式代入原方程，可得
112232911
,,,2633813169
A B A B =
==-=-
， 所求通解为
1232911(cos 2sin 2)(
)cos 2()sin 22633813169
x y e c x c x x x x x =+++-+.
三、证明题
1．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组X A X
)(d d 1t t
= 与
X A X
)(d d 2t t
=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 证明 设)(t X 为基本解矩阵, 因为基本解矩阵是可逆的,
故有 )
(d )(d )()(d )
(d )
(2111t A t
t X t X t A t
t X t X ==--
于是)()(21t A t A ≡.
2．设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在区间I 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I 上严格单调函数．
证明 设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则?,()0x I w x ∈≠，且?
,I ∈0x 有?x
x 0
－
p(t)dt
0w(x)=w(x )e
，0()0()()()x
x p t dt
w x p x w x e
-
?'=-.又因为()p x 在区间I 上连
续且恒不为零,从而对x I ?∈,()0p x >或()0p x <,所以,()w x '在I 上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数.
3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．
证明 设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为
0()110()()x
x p t dt
w x w x e
-
?=，0()220()()x
x p t dt
w x w x e
-
?=，且1020()0,()0w x w x ≠≠，
所以有
101220()
()
0()
()
w x w x w x w x =
≠.
四、应用题
1．一质量为m 的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。
解 设液体的反作用与质点速度的比例系数为k
则指点的运动满足方程：mx kx mg +=&&&
即k
x x g m +
=&&&
*（） 则(*)所对应的齐次方程的通解为： k
t m
x c -=e
又α=0是齐次方程的特征根,故特解形式为： x At B =+1 代入(*)式得：
k mg A g A m k
?=∴= 所以k t m
mg
x c t B k
+
+-=e 由(0)0x
x =&(0)=0,得2222m g m g
c B k k
==-, 故221k
t m mg m g x t k k ?
?-- ???
- = e
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
三阶常微分方程的线性化 摘要 研究三阶常微分方程的线性化，可便于对三阶常微分方程进行求解，本文主要研究，通过可逆的变量变换，将所有可线性化的三阶常微分方程转化成三阶程常微分方程的规范形式，进而得到它的通解。由于变量变换是可逆的，所以两种形式可以互相转化，从而可以利用该方法将一般三阶常微分方程转化成三阶常微分方程的规范形式。 关键词：变量变换,可线性化,三阶常微分方程 1. 三阶常微分方程的规范化 由于一般三阶常微分方程(ODE)比较繁琐，难以求解，所以需要找到将一般三阶常微分方程转化成线性化的三阶常微分方程（三阶常微分方程的规范形式）的方法。 1.1.背景 一般线性齐次方程 ()(-1)1-1()...()()0, n n n n u a t u a t u a t u ￠++++= (1.1) 可以写成如下二项式系数的标准形式： ()(-1)(-2) 21-1!()()...()()0. (-2)!2! n n n n n n c t u nc t u u nc t y c t u n ￠++ +++= (1.2) E . 拉盖尔于1879年证明了方程(1.2)里最高阶数以下的两个阶次项可以同时被消去，相应的结果可以用如下定理来表述： 定理1.1 n 阶常微分方程(1.2)可以通过合适的等价变换 φ()(φ()0),σ()(σ0),t x x u x y ￠=?? (1.3) 化简为： ()(-3) 3-1!()...()()0.3!(-3)!n n n n n c t u u nc t u c t u n ￠+ +++= (1.4) 1.2.主要思想 我们把方程(1.4)称为线性齐次n 阶方程的Laguerre 规范形式。特别地，三阶方程的规范形式为 α()0, u t u ⅱ?+= (1.5) 方程(1.5)很显然是线性的，那接下来的问题是，哪些三阶ODE 可以线性化为(1.5)呢？下面我们给出可线性化的三阶方程的形式。 定理 1.2 形如 32103210()0,y A y A y B y B y B y B ⅱⅱⅱⅱ?++++++= (1.6) 的三阶方程可以通过等价变换 φ()(φ()0),(,),t x x u x y y ￠=? (1.7)
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
高阶线性微分方程 一、 引例（1）： 悬挂在弹簧上的物体在静止状态时， 重力和弹性力大小相等，方向相反。 如果物体具有一个初速度00v ≠，那末 物体将在平衡位置做振荡运动，且运动轨迹是时间 的函数。 ()x x t = 在分析振荡运动时，只考虑弹性恢复力和阻尼介质的阻力作用（使振荡作用逐渐趋近于静止）： 弹性恢复力： f cx =?。C 为弹簧的弹性系数，负号表示与物体位 移方向相反。 阻力作用：dx R dt μ=?。其大小与物体的运动速度成正比。 μ为比例系数，负号表示与物体运动方向相反。 则有公式： 22d x dx m cx dt dt μ=??，如果2u n m =，2c k m =。 则上式化成：22220d x dx n k x dt dt ++= 此式表示物体自由振动的全微分方程。 如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力sin F H pt =的作用，
则有：2222s d x dx n k x h dt dt ++=in pt 其中H h m =，这就是强迫振动的微分方程。 二、 引例（2） R L L di E L dt =?，dq i dt =，q=cu, 则回路KVL 方程为： 22sin C C C m d u du LC RC u E wt dt dt ++ = 令2R L β=，01w =这就是串联电路的振荡方程。 如果撤去电源E ，则方程变为：220C C C d u du LC RC u dt dt ++= 三、 二阶线性微分方程 由上两个引例。可得到微分方程的一个共有形式： 22()()()d y dy P x Q x y f x dx dx ++=
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为
第四章 线性常微分方程的级数解法 4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念 ---- （二阶线性常微分方程的一般形式） 0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1) ----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与 )(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点； 反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。 ----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与 ) (z q 在 R z z <-0内单值解析,则方程(4.1)在 R z z <-0内存在单值唯一的解析解。 ----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若 )(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式 (4.1),可设级数解∑∞ =-=0 0)(n n n z z a w ,再将 ) (z p 与 )(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以 确定级数解之待定系数。 ② 勒让德方程之级数解 ----（勒让德方程形式）
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由1 2)(2-= x x x p 及2 1) 1()(x l l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞ ==0 n n n x a y ， 相应：∑∞ =-='1 1 n n n x na y ，∑∞ =--=''2 2)1(n n n x a n n y ， 代入方程(4.2)，得： )1(2)1()1)(2(0 2=++--- ++∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =+n n n n n n n n n n n n x a l l x na x a n n x a n n ，即： n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或 n n a n n l n l n a ) 1)(2() 1)((2++++-=+；显然有： 02!2)1)((a l l a +-= ，13!3) 2)(1(a l l a +-=， 04! 4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=， 15! 5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即 02)! 2() 12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-= ， 012)! 12() 2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-= + ；相应级 数解为两个线性无关解的迭加： ∑∑∑∑∞ =++∞ =∞ =++∞ =+=+ = 1 21210 220 1 2120 22k k k k k k k k k k k k x A a x A a x a x a y (4.3)
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常 系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη
关于高阶线性微分方程的一般解法 林文业 湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 (本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表) 摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式. 关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法 一. 简单规定 本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m 、n 、k 为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记: n n dx x f dx dx dx x f ))(())))((((?=????? n 重 n 重 以下“…”号均表示n 重 2 ) ())(( ) )()))()()((()(()(n n n n n n n n n dx x p dx dx dx x p x p x p ????=?? n x x n n t x t x x x dx x f dt dt dt t f n ))()(())))((((01 1 1100??? ?=??-- 2 )())(( ))()))()()(( ()(( )(n n x x n n n n x x n x x n x x n dx x f dx dx dx x f x f x f ? ? ? ? =?? 二.预备定理及推论 预备定理1: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,都有 )()(x g x f ≤,则 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理2: 若函数)(x f 在区间[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上也可积,且 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t f dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理3: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且m x f ≤)(,0>m ,则 1 10011000))))(((())))()((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ?--n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g m dt dt dt t g t f n n b x x a ≤≤≤0