《平行四边形的判定》拔高练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）
A．①②B．②④C．③④D．①③
3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3 4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等
B．一组对边平行且相等
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．对角线互相平分
5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件，可使四边形BFDE为平行四边形．
7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个．
9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是．
10．（5分）如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D 作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．
（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．
12．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．
（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；
（2）若∠BAC＝90°，请写出图中所有与线段BD相等的线段（线段BD除外）．
13．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．
14．（10分）已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE＝2BD．连接AE，CE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC＝∠EMC，BM交AC于点N．求证：△ABN≌△MCN．
15．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D 从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
《平行四边形的判定》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
【分析】依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
【解答】解：当AB∥CD，AB＝CD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；
当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当AB∥CD，∠A＝∠C时，可得AD∥BC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当AB∥CD，BC＝AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）
A．①②B．②④C．③④D．①③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等
B．一组对边平行且相等
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．对角线互相平分
【分析】直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形，错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平
行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
【解答】解：A、AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE，可使四边形BFDE 为平行四边形．
【分析】可添加AE＝CF，首先连接BD，由平行四边形的对角线互相平分与对
角线互相平分的四边形是平行四边形可证得．
【解答】解：连接BD交AC于点O．
添加AE＝CF．
理由：如图，设AC与BD交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故答案为：此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析，根据平行四边形的性质，可得方程，继而可求得答案．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，
CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，
∴t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝4﹣t+4，CQ＝2t，EQ＝
CQ﹣CE＝2t﹣6，
∴4﹣t+4＝2t﹣6，
解得：t＝，
∴当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或
【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有6个．
【分析】根据平行四边形ABCD的面积为2可以推知：①平行四边形的底边长为2，高为1；②正方形的边长为；可通过在正方形网格中画图得出结果．【解答】解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：?ABC2D3、?ABC1D2、?AC1BD1、?AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．本题应注意数形结合，防止漏解或错解．9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴用刻度尺量了这个四边形的四条边长，判定两组对边是否分别相等即可；
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
10．（5分）如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝12．
【分析】△AOB的周长为10，则AO+BO+AB＝10，又AB＝4，所以OA+OB＝6，根据平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：因为△AOB的周长为10，AB＝4，
所以OA+OB＝6；
又因为平行四边形的对角线互相平分，
所以AC+BD＝12．
故答案为12．
【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D 作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．
（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．
【分析】（1）想办法证明DF∥AE，EF∥AD即可；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD＝DB，DE∥BC，
∴AE＝EC，
∵EF∥AB，
∴BF＝CF，∵AD＝DB，
∴DF∥AC，∵EF∥AB，
∴四边形DFEA是平行四边形．
（2）情形1：当点D是AB的中点，由（1）可知：DE∥BC，DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠EDF＝90°，△DEF是直角三角形，此时AD＝AB＝×＝5．情形2：如图，当∠DFE＝90°时，设AD＝x．
则AE＝x．BD＝10﹣x，EC＝8﹣x，BF＝（10﹣x），CF＝（8﹣x），∵BF+CF＝6，
∴（10﹣x）+（8﹣x）＝6
∴x＝，
综上所述，AD的值为5或．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．
（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；
（2）若∠BAC＝90°，请写出图中所有与线段BD相等的线段（线段BD除外）．
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠BDE＝∠F AE，求出DE＝AE，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝CD＝BD，求出四边形AFCD 是菱形，根据菱形的性质得出CF＝AF＝CD＝AD，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，
即AF∥BC，
∴∠BDE＝∠F AE，
∵AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴CD＝BD，DE＝AE，
在△BDE和△F AE中
∴△BDE≌△F AE（ASA），
∴AF＝BD，
∵BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形CDAF为平行四边形；
（2）解：∵在△AC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵四边形CDAF为平行四边形，AD＝CD，
∴四边形CDAF为菱形，
∴AF＝CF＝CD＝AD，
即BD＝CD＝AD＝CF＝AF，
图中所有与线段BD相等的线段有CD、AD、CF、AF．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能综合运用定理进行推理是进而此题的关键．13．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC＝∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD＝FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
【解答】证明：∵在?ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC＝∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD＝FC．
∴四边形ACFD是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．
14．（10分）已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE＝2BD．连接AE，CE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC＝∠EMC，BM交AC于点N．求证：△ABN≌△MCN．
【分析】（1）先证BD＝DE，再加上AD＝DC的条件可直接得出结论；
（2）先CM＝CE＝BA，然后由“角角边”定理直接得出结论；
【解答】解：（1）∵点D是线段AC的中点，BE＝2BD，
∴AD＝CD，DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE＝AB，
∵∠MEC＝∠EMC，
∴CM＝AB，
在△ABN和△MCN中，
，
∴△ABN≌△MCN（AAS）；
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是准确寻找全等三角形解决
问题，属于中考常考题型．
15．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D 从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出DF，得到DF＝AE，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．