1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
知识总结：
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示:
高中数学必修二空间几何体常考题型归纳
一,空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积
①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+
④圆台的表面积
22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=
⑥扇形的面积公式21
3602
n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）
2
、空间几何体的体积 ①柱体的体积
V S h =?底 ②锥体的体积 13
V S h =?底
③台体的体积 1
)3V S S h =+
+?下上（ ④球体的体积
343
V
R π= 常考题型归纳
一、正三角形、正方形、正六边形的边心距r ，外接圆半径R ，面积等
D
(1)若正三角形的边长为a ，则任一边上的高h____，外接圆半径R=______，边心距r=______，面积S=_____。 (2)若正方形的边长为a ，则对角线长为____，外接圆半径R=______，边心距r=______，面积S=_____。 (3)若正六边形的边长为a ，则外接圆半径R=______
，边心距r=______，面积S=_____。 练习：1、（2006年上海春卷）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为
3
16
. 2、（2006年全国卷I ）已知正四棱锥的体积为12
，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角
等于_____3π
（或60?）__________。
底面正方形面积(21
122S ==
，底面边长a =
3V
h S =
， 二面角的余切值
tan /2h
a θ=
。 代入数据，得：
tan θ===
2
22r rl S
ππ+=
又θ必为锐角，所以
3π
θ=
。
二、长方体、正四棱柱、正方体、球内接长方体 (1)若长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a 、b 、c ，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。 (2)若正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。 (3)若正方体的棱长为a ，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。 (4)球内接长方体(或正方体)的对角线长等于球的直径。
(5){正方体}____{正四棱柱}____{长方体}____{直平行六面体}____{四棱柱} (6)
直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边。
练习：1、（2006年福建卷）已知正方体外接球的体积是323
π，那么正方体的棱长等于 （
D ）
（A ）
（B （C （D 2、（2006年广东卷）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
ππ2742
3
3332==?=
?=R S R d 3、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
由V Sh =，得4S =，得正四棱柱底面边长为2。该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的
体积()2
2
2222'44224242D V r D πππππ
??
==
==++= ???
。选C 。
正棱柱要满足的两个条件：⑴ 侧棱与底面垂直；⑵
底面是正多边形。 4、( 2006年湖南卷）棱长为
2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( C )
5. 长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A. π220
B.
π225 C. π50 D. π200
6. 在球面上有四个点，P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，则此球的面积为
三、关于三棱锥、侧棱两两互相垂直的三棱锥及正四面体
1、三棱锥P-ABC 中，若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则
PC ⊥AB ；
2、三棱锥P-ABC 中，若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PA ⊥PC ，则点
P 在底面△ABC 内的射影是垂心，且V P-ABC =1/6*PA*PB*PC ；
3、三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=PC ，则点P 在底面△ABC 内的射影是外心；
C
4、三棱锥P-ABC 中，若点P 到底面△ABC 三边的距离相等，则点P 在底面△ABC 内的射影是内心；
5、正四面体的棱长为a ，则表面积为_____，高为_____，外接球半径为______，内接球半径为_____，体积为___________，对棱的距离为_______，侧棱与底面所成的角的余弦值为__________。
四、结论1：从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若AO C AO B ∠=∠，则点A 在平面BOC 上的射
影在BOC ∠的平分线上。
1. 以边长为2的正三角形作为底面的斜三棱柱，它的 一条侧棱AA 1与相邻两边都成?45角，若此斜三棱柱的全 面积为3248++，则它的侧棱长等于 结论2：如图2，OA 和平面α所成的角是1θ，AC 在平面
α内，AC 和OA 的射影AB 所成角是2θ，设
θ=∠OAC ，则cos θ =cos 1θ?cos 2θ （P44）
2. 直线l 与平面α成?45角，若直线l 在平面α内的射影与α内的直线m 也成?45角，则l 与m 所成的角是( ). A. ?30 B. ?45 C. ?60 D. ?90
3. 正四面体内切球和外接球体积的比是 A. 1：3 B. 1：8 C. 1：27 D. 1：64
4. 三棱锥P-ABC 中, PA =a , AB = AC = 2a , ∠PAB =∠PAC =∠BAC =?60, 求此三棱锥的体积。 五、平行与垂直的判定方法 1、线线平行的判定：
a)一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
即a ∥平面α，a ?平面β，平面α∩平面β=b ，则a ∥b 。 b)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
即平面α∥平面β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b
c)垂直于同一平面的两条直线平行。即a ⊥平面α，b ⊥平面β，则a ∥b 2、线面平行的判定：
a)平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
即a ?平面α,b ?平面α，a ∥b ，则a ∥平面α。
b)如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。
即平面α∥平面β，a ?平面α，则a ∥平面β 3、线面垂直的判定：
a)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
即a ?平面α，b ?平面α，a ∩b=O ，c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥平面α
b)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。
即a ∥b ，a ⊥平面α，则b ⊥平面α
c)两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
即平面α⊥平面β，α∩β=m ，a ?平面α，a ⊥m ，则a ⊥平面β 4、面面平行的判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
即a ?平面α，b ?平面α，a ∩b=O ，a ∥平面β，b ∥平面β，则平面α∥平面β
A
C
B
A 1
B 1
C 1
A B O C
5、面面垂直的判定：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。即a ⊥平面β，a ?平面α，则平面α⊥平面β 六、训练：1、（2006年福建卷）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （C ）
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,
则m ∥n
（C ）若,m n αα?∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
2、（2006年北京卷）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且A B R =，那么,A B
两点的球面距离为___
1
3
R π____________，球心到平面ABC 的距离为
R ___. 3、．(2006年山东卷）如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 4/5 . 4、（全国卷Ⅰ）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （A ）π28
（B ）π8
（C ）π24
（D ）π4
5、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异
面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是__________ 6、（2005北京卷）
如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4， AB=5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
（III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．
解法一：
（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴ AC 1//
平面CDB 1；
（III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，
在△CED 中，ED=
21AC 1=25，CD=21
AB=2
5，
CE=
2
CB1=22，
∴
8
cos
55
2
2
CED
∠==
?
，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值
5
.
（2005江西卷理第20题，文第20题，本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
4
π
.
解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，
故.
2
1
2
1
,
2
3
2
1
5
2
2
1
1
=
?
?
=
=
-
?
?
=
?
?
BC
AE
S
S
ACE
C
AD
而
.
3
1
,
2
3
1
2
1
,
3
1
3
1
1
1
1
=
∴
?
=
?
∴
?
=
?
=
∴
?
?
-
h
h
h
S
DD
S
V
C
AD
AEC
AEC
D
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
,
,
,
1
,
.1
,
4
,
2
1
1
x
EH
DHE
Rt
x
DE
ADE
Rt
DH
DHD
DH
D
Rt
=
?
∴
+
=
?
=
∴
=
∠
?
中
在
中
在
中
在
π
.
4
,
3
2
.3
2
5
4
3
.5
4
,3
1
2
2
π
的大小为
二面角
时
中
在
中
在
D
EC
D
AE
x
x
x
x
x
x
CE
CBE
Rt
CH
DHC
Rt
-
-
-
=
∴
-
=
?
+
-
=
+
∴
+
-
=
?
=
?
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，
则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）.,0)1,,1(),1,0,1
(,1111D DA x D ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，
)1,0,1(1-=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，则????
?=?=?,
0,
01AD n 也即??
?=+-=+-002c a b a ，得???==c
a b
a 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为
.3
1
32121=-+=
=
h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由???=-+=-??????=?=?.0)2(0
2,
0,01x b a c b C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.22
5
)2(222|
|||4
cos
211=+-?=
?=
x DD n π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π.
第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
空间几何体知识点总结 一、空间几何体的结构特征 1 .柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公 共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的圭寸闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的 轴。 (1)柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的 侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形，，的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 注：相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱I底面为平行四边形怦行六面体I侧棱垂直于底面IB平行?硕本I底面为矩形 ■------------------------------ Bh. ------------ ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 斜棱柱棱柱： κ=≡τ?tr J車""理》正棱柱 按方体底面为正方形正四棱柱恻棱与底面边栓相萨IlE方体I 棱柱的性质:
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：
空间几何体(川诚.樊培整理) 一·空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P
（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →??????? →???? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，222 sin sin sin 1αβγ++=.
高三数学知识点：空间几何体 高三数学知识点：空间几何体 一、柱、锥、台、球的结构特征 结构特征 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱 （1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底
面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球 （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 二、简单组合体的结构特征 三、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注： 正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 四、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 五、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：
高一数学总复习学案空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （ 1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称 为旋转体的轴。 （ 2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥。 3.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三 视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴 （或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图2 面积 = 4 原图形面积 (三 )空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积④圆台的表面积 S 2 rl 2 r 2 ③圆锥的表面积 S rl r 2 S rl r 2 Rl R2 ⑤球的表面积 S 4 R2 ⑥扇形的面积公式 S扇形n R2 1 lr 360 2 （其中 l 表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S底h②锥体的体积V 1 S底h 3 1 S上 S下S下 ) h ④球体的体积V 4 3 ③台体的体积V（S上 3 R 3
立体几何知识点总结 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
空间几何体 一、空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
高中数学必修2知识点总结01 空间几何体几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解简单几何体的表面积与体积的计算方法。 一、空间几何体的结构特征 课标要求： 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 要点精讲： 1．柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
《空间几何体》知识点总结 一、空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 三、空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ ?下上（ ④球体的体积343 V R π= 222r rl S ππ+=
数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章《空间几何体》 一、本章总知识结构 二、各节内容分析 空间几何体的结构 1.本节知识结构
空间几何体三视图和直观图 1、本节知识结构 空间几何体的表面积与体积 1、本节知识结构 。 三、高考考点解析 本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容： 1.多面体的体积（表面积）问题； 2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。 （一）多面体的体积（表面积）问题 1．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； 【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO, 于是，PO=BOtan60°=3,
而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V= 3 1 ×23×3=2. 2．如图,长方体ABCD-1111D C B A 中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点,M 、N 分别是AE 、1CD 的中点，1AD=AA ,a =AB=2,a （Ⅲ）求三棱锥P －DEN 的体积。 【解】 （Ⅲ）1111 24 NEP ECD P S S BC CD ?= =?矩形 222 15444 a a a a = ??+= 作1DQ CD ⊥，交1CD 于Q ，由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥ ∴DQ ⊥面11BCD A ∴在1Rt CDD ?中，1122 55 CD DD a a DQ a CD a ??= == ∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --?== ?2152345 a a =?316a =。 （二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。 1 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （III ）求点E 到平面ACD 的距离。 【解】 （III ） 设点E 到平面ACD 的距离为.h E ACD A CDE V V --=， ∴ 11 .33 ACD CDE h S AO S ??= 在 ACD ?中，2,2,CA CD AD === 22127 22().222 ACD S ?∴=??-= 而2133 1,2,242 CDE AO S ?== ??= C A D B O E
高一数学总复习学案 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称 为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 重点记忆：直观图面积=42原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343V R π= 222r rl S ππ+=
空间立体几何高考知识点汇总及经典题目
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空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 （1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 （2） 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2.一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3.空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S rl r ππ=+ 圆台的表面积： 22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π= 4．空间几何体的体积公式 柱体的体积 ：V S h =?底 锥体的体积 ：13 V S h =?底 台体的体积 ： 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上（ 球体的体积： 343 V R π= 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体： （1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 （3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 （4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥： （1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 （3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
八、立体几何 一、立体几何网络图： （1）线线平行的判断： ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线和交线平行。 ⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ⑺在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。 ⑻在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂 直。 ⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ⑵如果平面外的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行，其中一个平面的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ⑼如果一直线和平面的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。（5）面面平行的判断：
⑷一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 （6）面面垂直的判断： ⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 二、其他定理： （1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面； 直线与平面的位置关系：在平面；平行；相交（垂直是它的特殊情况）； 平面与平面的位置关系：相交；；平行； （3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等； 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的 锐角(或直角)相等； （4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相 等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。（5）最小角定理：斜线与平面所有直线所成的角中最小的是与它在平面射影所成的角。（6）异面直线的判定：①反证法； ②过平面外一点与平面一点的直线，和平面不过该点的直线是异面直线。（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面。 （8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。 （9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。 三、唯一性定理： （1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。 （2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。 （3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面相交直线所成 o； 的角。异面直线所成角的围：o 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方 体，补成一个底面是正方形的长方体。
空间几何体 多面体 棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质： （1）侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质： （1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 （3）多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积： 323 4 4R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证 1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1的作用：判断直线是否在平面内 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 推论2：过两条相交直线有且只有一个平面