中考复习专题：圆中弧长与扇形面积综合练习（三）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝12，BC＝6．
（1）求cos∠BAC的值；
（2）如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；
（3）求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍？（精确到0.1）
2．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
3．如图，AB是半圆的直径，C、D是的三等分点，点⊙O的半径为1．（1）求的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
4．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，△ABE经过旋转后得到△ADF．（1）旋转中心是点；
（2）旋转角最少是度；
（3）如果点G是AB上的一点，那么经过上述旋转后，点G旋转到什么位置？请在图中将点G的对应点G′表示出来；
（4）如果AG＝3，请计算点G旋转到G′过程中所走过的最短的路线长度；
（5）如果正方形ABCD的边长为5，求四边形AECF的面积．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；
（2）若∠DCA＝27°，AB＝8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
6．如图，△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E
（1）求∠ABD的度数；
（2）当BC＝时，求线段AE，AD与围成阴影部分的面积．
7．如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC＝4，EB平分∠ABC，求图中阴影部分（扇形）的面积．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，点P是上的一个动点．（1）求∠AOC的度数；
（2）若⊙O的半径为2，设点P到直线AC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
9．如图，半圆O的直径AE＝4，点B、C、D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB、OD，（1）求证：+＝+；
（2）求∠BOD度数；
（3）求图中阴影部分面积．
10．如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
11．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝4，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求：
①弧CD的长；
②图中阴影部分面积．
12．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，（1）求AB的长；
（2）求图中阴影的面积；
（3）若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
14．已知：如图，等腰△ABC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点E，交AC于点D．（1）求证：点E为BC的中点；
（2）连接DE，若∠BED＝120°，AB＝4，求阴影部分的面积．
15．如图，⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是；
（2）求线段DE的长．
参考答案1．解：（1）∵AB为圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝6，
根据勾股定理得：AC＝＝6，
则cos∠BAC＝＝；
（2）∵OD⊥AC，
∴D为AC的中点，即AD＝CD＝AC＝3，
在Rt△AOD中，AD＝3，AO＝6，
根据勾股定理得：OD＝＝3；
（3）连接OC，如图所示，
∵在Rt△ABC中，BC＝AB，
∴∠CAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
S
阴影大＝S
扇形AOC
﹣S
△AOC
＝﹣×6×3＝12π﹣9；S
阴影小
＝S
扇形BOC
﹣S
△
BOC
＝﹣×6×3＝6π﹣9，
∵（12π﹣9）÷（6π﹣9）≈6.8，
∴图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的6.8倍．
2．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S 阴影＝S 扇形O ′A ′P +S △O ′PB ＝
×π×100+10×10×＝25π+50． 3．解：（1）∵C 、D 是的三等分点，
∴△OCD 是等边三角形，
∴＝＝；
（2）阴影部分的面积为＝
﹣＝． 4．解：（1）点A ；
（2）90度
（3）如图，
（4）×2π×3＝π．
（5）∵△ABE 经过旋转后得到△ADF ，
∴△ABE ≌△ADF ，∴S △ABE ＝S △ADF ．
∴四边形AECF 的面积＝正方形ABCD 的面积＝52＝25．
5．解：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠D ＝108°，
∴∠B ＝72°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴∠BAC ＝18°；
（2）连接OC ，OD ，
∵∠D ＝108°，∠DCA ＝27°，
∴∠DAC ＝180°﹣108°﹣27°＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形，∵AB＝8，
∴OC＝OD＝4，
∴阴影部分的面积＝S
扇形COD ﹣S
△COD
＝﹣×42＝4π﹣8．
6．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°；
（2）过点D作DF⊥AB与F，
在Rt△BDF中，∠FBD＝45°，BD＝BC＝，∴BF＝DF＝BD sin45°＝×＝1，
在Rt△ADF中，∠A＝30°，
∴AD＝2DF＝2，AF＝，
∴AB＝AF+BF＝+1，
∴S
阴影＝S
△ABD
﹣S
扇形BDE
＝AB?DF﹣
＝．
7．（1）证明：∵点D 是线段BC 的中点，
∴BD ＝CD ，
∵AB ＝AC ＝BC ，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AD 为BC 的垂直平分线，
∴BE ＝CE ；
（2）解：∵EB ＝EC ，
∴∠EBC ＝∠ECB ＝30°，
∴∠BEC ＝120°，
在Rt △BDE 中，BD ＝BC ＝2，∠EBD ＝30°，
∴ED ＝BD ＝，∠FEG ＝120°，
∴阴影部分（扇形）的面积＝＝π．
8．解：（1）∵∠ABC ＝120°，四边形ABCP 是圆内接四边形，
∴∠P ＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC ＝2∠APC ＝120°；
（2）过点O 作OH ⊥AC 于H ，
∵∠AOC ＝120°，OC ＝OA ＝2，
∴∠OAC ＝30°，
∴AH ＝OA ?cos30°＝2×
＝，OH ＝OA ＝1， ∴AC ＝2AH ＝2
， ∴S △APC ＝AC ?x ＝x ，
∴y ＝S 扇形AOC ﹣S △AOC +S △APC ＝
﹣×2×1+x ＝﹣+x （0≤x
≤3）．
9．（1）证明：∵AB＝BC，CD＝DE，∴，，
∴+＝+；
（2）解：∵+＝+；
∴∠BOD＝；
（3）由（2）得：
S
阴影＝S
扇形OBD
＝＝π．
∴阴影部分面积为π．
10．解：（1）∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，∵AO＝OB，
∴BC＝2OD＝6，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6．
（2）连接OC，∵OC＝OB＝BC＝6，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S
阴＝S
扇形OAC
﹣S
△AOC
＝﹣?6?3＝12π﹣9．
11．（1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB＝∠FCA＝90°．
在△DEB与△CFA中，
∵，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC＝BD；
解：（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，∵∠A＝30°，OA＝OC，
∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝30°，
∴l＝＝π；
（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，
则AG＝AC，BH＝BD，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，AG＝BH，
∴四边形OGMH是正方形，
∴GM＝HM＝OG＝OH，
∴AM＝BM，
∵OA＝4，∠A＝30°，
∴AG＝2，GM＝HM＝OG＝OH＝2，
∴AM＝BM＝2+2，
在Rt△AGO与Rt△BHO中，∴Rt△AGO≌Rt△BHO，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOG＝∠BOH＝60°，
∴∠AOB＝150°，
∴S
阴影＝S
扇形
+S
△AOM
+S
△BOM
＝+2×（2+2）×2＝+4+4．
12．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝，∴AB＝BC＝1；
（2）S
阴影＝S
圆
﹣S
扇形
＝π（）2﹣＝；
（3）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，
解得r＝．
13．解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S
＝＝π．
扇形FOC
即可得阴影部分的面积为π．
14．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，BC是底边，
∴AE是△ABC的中线，
∴点E为BC的中点；
（2）∵四边形ABED是圆内接四边形，∠BED＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE平分∠BAC，
∴，
∴弓形BE的面积和弓形ED的面积相等，
∴阴影部分的面积和△DEC的面积相等，
∵△DEC是等边三角形，AB＝4，
∴CE＝2，
∴△DEC的面积是：（2×sin60°）＝，
即阴影部分的面积是．
15．解：（1）连接OD，
∵⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ADB＝90°，AD＝BD，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴OB＝OD＝6，
∴由AB，BD，围成的阴影部分的面积是：＝9π+18，故答案为：9π+18；
（2）作AF⊥DE于点F，则AF＝OD＝6，
∵AB∥DE，∠OAB＝45°，
∴∠ADF＝∠OAB＝45°，
∴DF＝AF＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，
∴∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠CAB＝60°，
∵AF＝6，∠AFE＝90°，
∴EF＝，∴DE＝EF+DF＝2+6．