一些高中物理试题
20.如题20图所示，
其横截面是圆心角为90°、半径为R 的扇形OAB ，一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA 上，OB 不透光，若只考虑首次入射到圆弧AB 上的光，则AB 上有光透出部分的弧长为 A
16R π B 14R π C 13R π D 5
12
R π 【答案】B
【解析】光路图如图所示，由折射定律可求得设在C 点恰好发生全反射，由
1
sin C n
=
可求得C=450，∠AOC=00001801204515--=。弧AB 上有光透出的部分弧长CD 为
00009030151
23604
R R ππ--?=，正确的答案是B
21.如题21图所示，矩形MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁块，在纸面民内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示
由以上信息可知，从图中a 、b 、c 处进大的粒子对庆表中的编号分别为 A 3、5、4 B4、 2、5 C5、3、2 D2、4、5
（1）某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50Hz 在线带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如是22图1所示，A 、B 、C 、D 是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：
A S =16.6mm
B S =126.5mm D S =624.5mm
若无法再做实验，可由以上信息推知：
① 相信两计数点的时间间隔为__________S
② 打C 点时物体的速度大小为____________m/s(取2位有效数字) ③物体的加速度大小为__________(用A S 、B S 、C S 、D S 和f 表示)
【答案】①0.1s ②2.5m/s ③2
(32)75
D B A s s s f -+
【解析】①T=0.02×5=0.1s ②3
(624.5126.5)10/ 2.5/220.1D B c S S v m s m s T ---?=
==?
③匀加速运动的位移特征是相邻的相等时间间隔内的位移以aT 2均匀增大，有2
BC AB aT =+，
222CD BC aT AB aT =+=+，223BD AB aT =+，所以 2
2()2()(32)375
D B B A D B A s s s s s s s f a T --?--+==
5.（19分）某兴趣小组用如题25所示的装置进行实验研究。他们在水平桌面上固定一内径为d 的圆柱形玻璃杯，杯口上放置一直径为
2
3
d,质量为m 的匀质薄原板，板上放一质量为2m 的小物体。板中心、物块均在杯的轴线上，物块与板间动摩擦因数为μ，不计板与
杯口之间的摩擦力，重力加速度为g ，不考虑板翻转。
（1）对板施加指向圆心的水平外力F ，设物块与板间最大静摩擦力为
max f ，若物块能在板上滑动，求F 应满足的条件。
（2）如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为I ，
①I 应满足什么条件才能使物块从板上掉下？ ②物块从开始运动到掉下时的位移s 为多少？
③ 根据s 与I 的关系式说明要使s 更小，冲量应如何改变。. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）设圆板与物块相对静止时，它们之间的静摩擦力为f ，共同加速度为a
由牛顿运动定律，有 对物块 f ＝2ma 对圆板 F －f ＝ma
两物相对静止，有 f ≤f max 得 F≤3
2
f max 相对滑动条件 max
32
F f >
（2）设冲击刚结束时圆板获得的速度大小为v 0，物块掉下时，圆板和物块速度大小分别为v 1
和v 2。
由动量定理，有 0
I m v = 由动能定理，由
关于数学定积分的应用试题
（一）、单项选择题
1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。
A ．
()()x f dx
x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????
??? C. ()()x f dx
x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=????
??'? 3．?
?→x x
x tdt
tdt
sin lim
的值等于( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2 4．设x x x f +=3
)(，则
?
-2
2
)(dx x f 的值等于（ ）。
A ．0 B.8 C. ?
2
)(dx x f D. ?2
)(2dx x f
5．设广义积分
?
+∞
1
dx x α收敛，则必定有（ ）。
A.1-<α
B. 1->α
C. 1<α
D. 1>α
6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ?
2
1
ln B.
dy e e x ?
2
C.dy y ?
2
ln 1ln D.
()d x e x
?-2
1
2
8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A.
()[]dy y y ?--1
1
B.
()[]dx x x ?
-+-21
1
C.
()[]dy y y ?
--210
1 D.()[]dx x x ?
+--1
1
9．由e x x y x y e
===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为
（ ）。 A.dx x x e ????
?
?
+1
log ln B.dy x x e ????
?
?+1log ln C.dx x x e ????
?
?-1log ln D.dy x x e ???
?
?
?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A.
?
-1
1
2dx x B.
?
1
2dx x C.
?
1
dy y D.?
1
2
dy y
11．由1,2==y x y 围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.
?1021ydy π B.?
1
22
1
dy x π C.?
1
0ydy π D.
?1
2
dy y π 12．由0,1,===y x x y 围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.?
1
ydy π B.
?
1
2dx x C.
?
1
2dy y π D.?
1
0xdx π
13．由x y x y ==,2围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.
()
?-10
2
dx x x
π B.
()
?-104
2
dx x x
π C.
()?-1
2
dx x x π D.()?-1
4
dx x x π
14．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 。
A.?
3
2
dx x ρ B.
()?+2
1
2dx x ρ
C.?
1
dx x ρ D.
()?+3
2
1dx x ρ
（二）、判断题 1．?
=b
a
dx x f 0])([
' （ ）
2．定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。 （ ） 3．
?
??+=+b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 （ ）
4．0,1,1==-=y x e y x
所围城的图形面积为?
-1
)1(dx e x 。（ ）
5．
?---=1
1
4
3
2dx e 。 （ ） 6．曲线x y sin =在［0，2π］上与ｘ轴围成平面图形的面积为?
π
20
sin xdx （ ）
7．用微元法求量Q 时，Q 的微元()dx x f dQ =中dx ，是微符号，无任何实际意义。（ ） （三）、填空题
1.曲线1,0,2===y x x y ，所围 成的图形的面积可用定积分表示为 。 2．已知()dt t x x
?
=
2sin ?，则()x ?' 。
3．3
2
2arcsin lim
x
t x x ?→ 。
4．
dx x x
?
-+1
1
21
sin 。
5．
()d x x ?+4
54
2
sin 1ππ
的值的范围 。
6．
()
?
+∞
-2
3
1x dx
＝ 。
7．由1,ln ==x x y 及1=y 围成平面图形的面积，若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。
8．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 。
9．由3x y =及x y 2=围成平面图形的面积，若选ｘ为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。
10．求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围成平面图形的面积时，选 为积分变量，计算比较简单。
11．由()()()()b a b x a x x f x f y <==>=,,0及ｘ轴围成的曲边梯形，绕ｘ轴旋转形成旋转体的体积为 。
12．有一立体，对应变量ｘ的变化区间为［-10，10］，过任意点ｘ∈［-10，10］作垂直于ｘ轴的平面截立体，其截面面积()()
22104
3
S x x -=
，于是该立体的体积V ＝ 。 13．由1,==y x y 及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成的旋转体的体积为 。 14．由曲线2
x xe y -=，直线1=x 及ｘ轴围成的平面图形的面积为 。
15．一物体做变速运动，速度t v +=1米/秒，则物体运动开始后8秒内所经过的路程为 。
（四）、计算下列定积分
1．()0302
2≠+?
a x
a dx a
2.
dx x ?
-2
022 3.()l k dx lxdx kx ≠?-
π
π
sin sin
4．
?
+3
1
2
2
1x
x
dx 5.()dx x e
?
1
ln sin 6.
()
?
-e
x x dx 1
2
ln 1
7．求下列各曲线围成平面图形的面积
()()()()()
()()()()较小部分）
（两部分均求）(2,74,082,861
,62521,8414,143,622,1223222
222222x y x y y y x x y x y x y x y y x x y x y x
y x y x y x y -====++-=-=+===+--=+==-=-==
8．求位于x e y =下方，该曲线过原点的切线左方以及ｘ轴上方之间的图形的面积。
9．求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2 10．求下列各曲线所围成平面图形绕指定轴旋转形成旋转体的体积。
()()()()()()()()()()()()
轴轴轴轴轴x x x y x
y y y x x x x y y x y x y x y a x a x a a xy 2,,1516542,32,20,2,,012222====+-==-=====>= 11．有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
12．按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r
m m k
F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，
ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所
作之功（ｂ＞a ）
13．半径等于ｒ米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水全部吸尽，需作多少功？
14．一梯形闸门，铅直地立于水中，上底与水面相齐，已知上底为2ａ米，下底为2ｂ米，高为ｈ，此闸门所受到的水压力（ａ＞ｂ）。
（五）、证明题
1． 已知函数()x f 在区间［ａ，ｂ］上连续，设()()
()],[,2
b a x dt t f t x x x
a
∈-=??证明
()()()dt t f t x x x
a
?-='2
?
2． 设()x f 是以ｌ为周期的周期函数，证明
()()dx x f dx x f l
l
a a
??
=
+0
（ａ为任意实数）
【参考答案】
（一）选择题
1.B
2.A
3.C
4.A
5.A
6.B
7.A
8.C
9.C 10.A 11.C 12.D 13.B 14.A （二）判断题
1.对
2.错
3.错
4.错
5.错
6.对
7.错 （三）填空题 1.
?
-1
2)1(dx x 2.2sin x 3.
3
4 4.0 5.]2,[ππ 6.2 7.dy e y
)1(10-?
8.
?
?π
π
20
20
cos 4,cos xdx dx x 或 9.dy y y dx x x )2
1
(2,)2(2320
2
20
3-
-??
10. y 11.
dx x f b a
?)(2π 12.
331000 13.5
π
14.
)11(21e - 15.3
52
（四）计算题 1. a
3π
2.
2π 3.0 4. 3322- 5. 21)1cos 1(sin +-e 6. 2
π
7.
251).7(,328).6(,18).5(,346;342).4(,316).3(,6520).2(,29).1(πππ+-+
8. 2e 9. 2
1
10. πππππ6
11).5(160).4(,2).3(,572).2(,2).1(2a
11.34 12.)11(21b
a m km - 13. 434
4108.941r r ππρ?=
（焦耳） 14.
32
108.93
2??+h a b （牛顿）
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x
由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則
不定积分的典型例题
例1．計算?Skip Record If...? 解法1 ?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...?所以 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法3 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由拼接法可有 ?Skip Record If...? 例2.求?Skip Record If...? 解将被积函数化为简单的部分分式 ?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，约去?Skip Record If...?的因子后令?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，对?Skip Record If...?求导，再令?Skip Record If...?，施以上运算后，右端得A,而左端为 ?Skip Record If...? 在分解式（*）中令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?分解式（*）两边同乘以?Skip Record If...?，再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?故有 ?Skip Record If...? 例3.求?Skip Record If...? 解令?Skip Record If...?再用部分分式，則 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以 ?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?令?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例4 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 例5.求?Skip Record If...?
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
不定积分典型题型 1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法 原函数 1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则 ?=dx x f )(（ ） A. G （x ） B. F （x ） C. F （x ）+C 分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。 2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x 分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx 积分公式 1.=? dx e x x 3 分析：运用公式 ? a x dx= a ln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为x e )3(。 答： C e x x ++3 ln 13 2.=+?dx x x 2 2 13 分 析 ： 对 函 数 进 行 “ 加 一 项 减 一 项 ” 处 理 ， 则 C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11 1(311131322222 3.=? dx x 2tan 分析：运用三角恒等式,1sec tan 2 2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=? ?tan )1(tan 2 2 4. =?dx x x 22sin cos 1 分 析 ： 运 用 三 角 恒 等 式 sin 2x+cos 2x=1, 则 C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12 2222222.
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
定积分典型例题 例1 求 332 1lim )n n n →∞ ++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例2 0 ?=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周 22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ）， 则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12x e dx ?，2 12x e dx ?，1 2(1)x dx +?．
分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当 0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2] 上，有1x e x >+．又 1 22 1()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 222 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得 1x e x >+．注意到12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 1 11 2 22 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点 12 x = , 而 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 141 ()2 f e -=, 故 124 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,
精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 定积分典型例题 例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被 积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求 极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无 法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调 递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ． 例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ． 解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ． 例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用 方法是利用积分中值定理与夹逼准则． 定积分典型例题 例1求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?= ，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例20 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分计算例题
不定积分例题及问题详解
定积分的典型例题
定积分典型例题
最新定积分典型例题20例答案
相关主题
文本预览