4 流体运动的基本概念及方程
【3－1】已知平面流动的速度分布为
，
试计算点（0，1）处的加速度。
【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。
将，，代入，得
所以有：
在点（0，1）处，，
算得，
【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程：
（1），
（2），
（3），
【解】:（1），，
（2）
（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。
，
【3－3】已知平面流场的速度分布为
，，试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。【解】对于固定时刻t o，流线的微分方程为
积分得
这就是时刻t o的流线方程的一般形式。
根据题意，t o＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2
【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600 kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为p o，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。
综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为p o，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是
由此可见，只要测出压差为p o－p，就可以求出速度u。
不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，
式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh的单位应该是用m表示，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。
【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度ρ＝1.25kg/m3，
管径d
1＝400mm，d
2
＝600mm，水柱h＝45mm，试计算体积流量Q。
【解】截面1－1的管径小，速度大，压强低；截面2－2接触大气，可应用伯努利方程，即
利用连续方程，由上式得
此外细管有液柱上升，说明p1低于大气压，即
式中，ρˊ是水的密度，因此
由d1＝400mm，d2＝600mm 可以求出A1和A2，而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得
【3－6】如图所示，水池的水位高h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x＝2m，求y的值。如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？
【解】孔口的出流速度为
流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用
下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面
所需的时间为t，则
消去t，得，即
解得
如果要使水柱射出最远，则因为
x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对y求导，得
【3－7】如图所示消防水枪的水管直径d
1＝0.12m，喷嘴出口直径d
2
＝0.04m，消
防人员持此水枪向距离为l＝12m，高h＝15m的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V
3
＝10m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角θ。
【解】解题思路：已知V3利用截面2－2和3－3的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面1－1和2－2的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1－p a。水流离开截面2－2以后可以视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角θ。
对水射流的截面2－2和截面3－3，压强相同，
将h、V3代入得V2＝19.8540m/s。
对于喷嘴内的水流截面1－1和截面2－2，有
式中，p2＝p a。利用连续方程，则有
喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cosθ和V2sinθ，利用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度h和平抛距离l的计算公式分别为
消去时间t得到
代入数据，又
上式化为
【3－8】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现θ＝30o的转弯，管径也从
d 1＝0.3m渐变为d
2
＝0.2m，当流量为Q＝0.1m3/s时，测得大口径管段中心的表
压为2.94×104Pa，试求为了固定弯管所需的外力。
【解】用pˊ表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面1－1的表压p1ˊ＝p1－p a＝2.94×104Pa，截面2－2的表压p
2
ˊ可根据伯努利方程求出。而
固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。
取如图所示的控制体，截面1－1和2－2的平均流速分别为
弯管水平放置，两截面高程相同，故
总流的动量方程是
由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x，y方向的动量方程是
代入数据，得
，
【3－9】宽度B＝1的平板闸门开启时，上游水位h
1＝2m，下游水位h
2
＝0.8m，
试求固定闸门所需的水平力F。
【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面1－1应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面2－2应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面1－1上的总压
力为1/2ρgh
1Bh
1
，它是左方水体作用在控制面1－1上的力，方向从左到右。同
样地，在控制面2－2上地总压力为1/2ρgh
2Bh
2
，它是右方水体作用在控制面2
－2上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是F，分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F，方向从右向左。
考虑动量方程的水平投影式：
流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出：
由以上两式得
；
将已知数据代入动量方程，得
我们还可以推导F的一般表达式。
上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2，因而
将此式代入动量方程得
【3－10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d，速度为V。此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为θ，如果叶片运动的速度为u，试求：
（1）叶片所受的冲击力；
（2）水流对叶片所作的功率；
（3）当u取什么值时，水流作功最大？
【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为A=Πd2/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片的速度为V－u，显然，水流离开叶片的相对速度也是V－u。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得
叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率
为：
当V固定时，功率P是u的函数。令
：
因此，当u＝V/3时，水流对叶片所作的功率达到极大值。
【3－11】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2，试求散开角θ与d1、d2的关系。如果d2＝0.7d1，θ是多少度？不计重力作用。
【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射流量Q1和Q2之和。
作用在水体上的外力和为零，根据动量方程，可以
求出张角θ与d1、d2的关系。
当d2＝0.7d1时, cosθ＝0.3423，θ＝70o
【3－12】如图所示，气体混合室进口高度为2B，出口高度为2b，进、出口气压
都等于大气压，进口的速度u
0和2u
各占高度为B，出口速度分布为
气体密度为ρ，试求气流给混合室壁面的作用力。
【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度u m：
用动量方程求合力F：
【3－13】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1＝1.2m，l2＝1.5m，若喷口直径d＝25mm，每个喷口的水流量为Q＝3×10－3m3/s，不计摩擦力矩，求转速。
【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中，相对速度和牵连速度反
向，都与转臂垂直。
设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2，则
；
根据动量矩方程，有
以V1、V2代入上式，得
6 管流损失和水力计算
【5-1】动力粘性系数μ＝0.072kg/（m.s）的油在管径d＝0.1m的圆管中作层流运动，流量Q＝3×10－3m3/s，试计算管壁的切应力τo 。
【解】管流的粘性切应力的计算式为
在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。
圆管层流的速度分布为
式中，V是平均速度；r0是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为
由流量Q和管径d算得管流平均速度，代入上式可算出τ0：
【5－2】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示，即
式中，y坐标由渠底壁面起算。设水深为H，试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。
【解】：
利用分部积分法和罗彼塔法则，得
平均速度为
当点速度恰好等于平均速度时，
可见，点速度等于平均速度的位置距底面的距离为y＝0.3679H，距水面的深度为h＝0.6321H。
【5－3】一条输水管长l＝1000m，管径d＝0.3m，设计流量Q＝0.055m3/s，水的运动粘性系数为ν＝10－6m2/s，如果要求此管段的沿程水头损失为h f＝3m，试问应选择相对粗糙度Δ/d为多少的管道。
【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水头损失系数λ。
由水头损失算得λ＝0.02915。
将数据代入柯列勃洛克公式，有
可以求出λ，
【5－4】如图所示，密度ρ＝920kg/m3的油在管中流动。用水银压差计测量长度l＝3m的管流的压差，其读数为Δh＝90mm。已知管径d＝25mm，测得油的流量为Q＝4.5×10－4m3/s，试求油的运动粘性系数。
【解】：
式中，ρˊ＝13600 kg/m3是水银密度；ρ是油的密度。代入数据，算得h f＝1.2404m。
算得λ＝0.2412。设管流为层流，λ＝64/Re，因此
可见油的流动状态确为层流。因此
【5－5】不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。管道1的管径d
1
＝0.2m，
管道2的管径d
1
＝0.3m。为了测量管2的沿程水头损失系数λ以及截面突然扩大的局部水头损失系数ξ，在突扩处前面装一个测压管，在其它地方再装两测压管，
如图所示。已知l
1＝1.2m，l
2
＝3m，测压管水柱高度h
1
＝80mm，h
2
＝162mm，h
3
＝152mm，水流量Q=0.06m3/s，试求λ和ξ。
【解】在长l2的管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失，因此
，
将数据代入上式，可得λ＝0.02722。
在长l1的管段内，既有局部水头损失，也有沿程水头损失，列出截面1和2的伯努利方程：
，因此
V1＝Q/A1＝1.91m/s，代入其它数据，有
【5－6】水塔的水通过一条串连管路流出，要求输水量Q＝0.028 m3/s，如图所
示。各管的管径和长度分别为：d
1＝0.2m， l
1
＝600m，d
2
＝0.15m，l
2
＝300m，d
3
＝0.18m，l
3
＝500m，各管的沿程水头损失系数相同，λ＝0.03。由于锈蚀，管2
出现均匀泄漏，每米长度上的泄漏量为q，总泄漏量为Q
t ＝ql
2
＝0.015m3/s。试
求水塔的水位H。
【解】不计局部水头损失，则有
现分别计算各管的沿程水头损失。
对于管道1，其流量应为
于是流速和水头损失分别为
管道2有泄漏，其右端的出口流量也为Q，即Q2＝Q＝0.028m3/s。其沿程损失
管道3的流速和水头损失为
总的水头损失为
【5－7】如图所示，两个底面直径分别为D
1＝2m，D
2
＝1.5m的圆柱形水箱用一条
长l＝8m，管径d＝0.1m的管道连通。初始时刻，两水箱水面高差h
＝1.2m，在
水位差的作用下，水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失，而沿程水头损失系数用光滑管的勃拉休斯公式计算，即
式中，，水的运动粘性系数，试求水面高差从h＝h
0＝
1.2m 变为h＝0所需的时间T。
【解】设初始时刻，左、右水箱水位分别为H1和H2，水位差h
0＝H1－H2＝1.2m。某时刻t，
左、右水箱的水位分别为h1和h2，水位差h＝h1－h2。显然，h是时间的函数h＝h（t）。变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程，有
将已知量代入上式，得：
水从左边流向右边，使左水箱水位下降，右水箱水位上升，根据连续性方程，有
将已知数据以及V的表达式代入上式，得
【5－8】如图所示的具有并联、串联管路的虹吸管，已知H＝40m，l1＝200m，l
＝100m，l3＝500m，d1＝0.2m，d2＝0.1m，d3＝0.25m，λ1＝λ2＝0.02，λ3＝2
0.025，求总流量Q。
【解】管1和管2并联，此并联管路又与管3串联，因此
（1）（2）
（3）由（2）式得，
代入(3)式得
由式（1）得
代入上式，计算得
将
已知数值
，
，
【5－9】如图所示，水管直径d＝200mm，壁厚δ＝6mm，管内水流速度u
＝1.2m/s，
＝20×1010Pa，水的体积弹性系数为E＝2×109Pa，试求管壁材料的弹性模量为E
s
由于水击压强Δp引起的管壁的拉应力σ。
【解】水击波传播速度c和水击压强Δp：
管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力，如图所示。现取单位长度管道，沿管轴线切开，分析图示的管壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知，压强Δp作用在图示的曲面上的总压力为Δpd，管壁切面的总拉力为，因此
一般钢材的许用应力约为[σ]=30×106Pa，可见水击引起的拉应力差不多到了许用值。
第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则 ? = V dV M ρ 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 0== ? V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D ( dV dt d V V V ?? ? =+??=+= ρρρρ ρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 0v div Dt D =+ ρρ （2-2a ） 或 0)v (div t =+?? ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =??+ρ ρ （2-2b ） 或 0x )u (t i i =??+ ??ρρ （2-3b ）
式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =??+ ??+ ??+ ??ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ （2-5） 即密度应随质点运动保持不变。 0=??t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体，则不但0=Dt D ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此， 连续性方程简化为
微分形式的连续性方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。 重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。 设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。 先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。 在x 轴方向流出与流入质量之差 ()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x x ρρρρ??+-=??
用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入 质量之差分别为 ()y u dxdydzdt y ρ??() z u dxdydzdt z ρ??这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为： ()()()[]y x z u u u dxdydzdt x x x ρρρ???++???
在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量 ()dxdydzdt t ρ?-?()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z t ρρρρ ????++=-????()()()0y x z u u u x y z t ρρρρ ????+++=????这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 代表单位时间内，单位体积的质量变化 代表单位时间内，单位体积内质量的净流出
4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下
??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）
主要的流体力学事件有： 1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。 1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。 1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。 1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。 1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。 1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。 19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。 1904年普朗特提出了边界层理论。 20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。 理想势流伯努利方程 （3-14） 或（3-15） 物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。 （应用条件：“”所示） 符号说明 物理意义几何意义 单位重流体的位能（比位能）位置水头 单位重流体的压能（比压能）压强水头 单位重流体的动能（比动能）流速水头 单位重流体总势能（比势能）测压管水头
总比能总水头 二、沿流线的积分 1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有 2.恒定流中流线与迹线重合： 沿流线（或元流）的能量方程： （3-16） 注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“”所示，可以是有旋流） 流速势函数（势函数）观看录像>> ?存在条件：不可压缩无旋流，即或 必要条件存在全微分d 直角坐标
第二节 流体流动的基本方程式 化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。 1-2-1 流量与流速 一、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。 体积流量与质量流量的关系为： w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。 二、流速 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。以u 表示，其单位为m/s 。 实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17） 式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。 流量与流速的关系为： w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。因此采用质量流速就较为方便。 质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为： ρρu A V A w G s s === （1-19） 式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。 必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。 一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 2 4d V u s π= 于是 u V d s π4= （1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。流量一般为生产任务所决定，而合理
第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。 从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力
第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自
由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中
第一章流体力学基础——流体运动的微分方程 西安建筑科技大学 粉体工程研究所
质量传递——连续性方程动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程 流体运 动微分方程组 所有流体运动传递过程的通解 质量守恒定律 动量定理能量守恒定律
1.3流体运动的微分方程 ?质量守恒定律——连续性方程?动量定理——纳维-斯托克斯方程?能量守恒定律——能量方程 ?定解条件
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 ?质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。 ?质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体的质量速率 流出控制体的质量速率 控制体内的质量累计速率 = A B
τ时刻A 点流体密度为，速度沿x ，y ，z 三坐标轴的分量为1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 连续性方程的推导边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元 )ρ(x,y,z, τ)(x,y,z,u τ z y x ,u ,u u 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量） x 方向 dydz ρu x 通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 dydz dx x )(ρρu x x ?? ???? ??+u dxdydz x ) (ρx ??-u
A ：流入与流出微元控制体的质量速率之差x 方向dxdydz x )(ρx ??-u y 方向z 方向 dxdydz y )(ρ??-y u dxdydz z )(ρ??-z u dxdydz z )(ρy )(ρx )(ρ????????+??+??-z y x u u u B ：微元控制体内的质量累计速率 τ时刻 ρdxdydz ρ 密度 质量 τ＋d τ时刻dxdydz d ρρ?? ? ?? ??+τττ τ d ρ ρ??+dxdydz ρd ρdxdydz dxdydz d ρρτ τ ττ??=-?? ? ?? ??+
第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为
(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场： (1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数： (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为： (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式
JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程
JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系 着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.
JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律 两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.
JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.
JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观 （1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.