高中数学第四章-三角函数
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}
Z k k ∈+?=,360|αββο
②终边在x 轴上的角的集合： {
}
Z k k ∈?=,180|ο
ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+?=,90180|ο
οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-?=,45180|οοββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180
π≈（rad ）
3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22
s lr r α==?扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P
x
y =
αtan ；
（x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r
y =αsin ； r
x =αcos ；
y
x =
αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余
弦）
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6
、三角函数线
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin = αα
α
cot sin cos =
1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1cos sec =α?α
1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
x
x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ
x
x x x x x x
x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x
cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =
x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2x
=1(3) 若 o ,则sinx 16. 几个重要结论: x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α αα2tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2 cos 12 sin α α-± = βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 2 cos 12cos α α+±= βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 公式组三 公式组四 公式组五 2 tan 12tan 2sin 2αα α+= 2tan 12tan 1cos 22 ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-= 4 2 675cos 15sin -= =οο, ,3275cot 15tan -==οο,. 3215cot 75tan +==οο 4 2615cos 75sin += =οο 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： ()()[]()()[]()()[] ()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++= cos cos 21sin sin cos cos 2 1 cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2 1 cos sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=-α α αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=α απsin )21 cos(-=+α απcos )2 1 sin(=+α απcot )21 tan(-=+α απsin )21 cos(=-α απcos )21 sin(=-α απcot )21 tan(=- 注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）②x y sin =与x y cos =的周期是π. ③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω π 2= T . 2tan x y =的周期为2π（πω π 2=?=T T ，如图，翻折无效）. ④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2 π π+ =k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是 πk x =（Z k ∈） ，对称中心（0,2 1ππ+k ）；)tan(?ω+=x y 的对称中心（0,2 π k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2 Z k k ∈+ =+π πβα；αtan ·,1tan -=β)(2 Z k k ∈+ =-π πβα. ⑥x y cos =与?? ? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则 )cos()2 1 sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=. ⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3 1 tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点 对称） 奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质） ⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ） x y cos =是周期函数（如图） ；x y cos =为周期函数（=T 2 12cos +=x y 的周期为π（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(. ⑩a b b a b a y = +++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2|| T πω=，频率1||2f T ωπ ==，相位;x ω?+初相?（即当x ＝0 时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ） 由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的 1 ||ω 倍，得到 y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x) y=|cos2x +1/2|图象 由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ） 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，???? ? ? ??????-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是 ?? ????22ππ，－． 函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y ＝tan x ，??? ? ????? ??-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞）， 值域是?? ? ??-22ππ，． 函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）． II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数） 注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，?? ????-∈2,2arcsin ππx . ⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x . ②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2 ,2π π- ） ，x y arctan =是奇函数， x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞. 注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞. ⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2, 2π π-），x arc y cot =是非奇非偶. ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞. 注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞. ②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ. ⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集 a ＞1 ? a ＞1 ? a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a ＜1 (){} Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π a ＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π ③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式. 组一 组二 ∏== =n k n n n k 1 2sin 2sin 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos 2 cos α αα α α α α Λ ∑ =++= +++++=+n k d nd x d n nd x d x x kd x 0sin ) cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(Λ ∑=++= +++++=+n k d nd x d n nd x d x x kd x 0 sin ) sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(Λ α γγββαγ βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++= ++ 组三 三角函数不等式 x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x x x x f sin )(= 在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ α αααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()α ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 1 1++=n n n
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