概述
长期以来，机械设备的分析与计算一直沿用材料力学、理论力学和弹性力学所提供的公式来进行。由于有许多的简化条件，因而计算精度很低。为了保证设备的安全可靠运行，常采用加大安全系数的方法，结果使结构尺寸加大，浪费材料，有时还会造成结构性能的降低。现代产品正朝着高效、高速、高精度、低成本、节省资源、高性能等方面发展，传统的计算分析方法远远无法满足要求。20年来，伴随着计算机技术的发展，出现了计算机辅助工程分析这一新兴学科（Computer Aided Engineering）。采用CAE技术，即使在进行复杂的工程分析时也无须作很多简化，并且计算速度快、精度高。常见的工程分析包括：对质量、体积、惯性力矩、强度等的计算分析；对产品的运动精度，动、静态特征等的性能分析；对产品的应力、变形等的结构分析。
计算机辅助工程（CAE)，从字面上讲它包括工程和信息化，制造业信息化的所有方面，但是传统的CAE主要指用计算机对工程和产品的功能、性能与安全可靠性进行计算、优化设计，对未来的工作状态和运行行为进行模拟仿真，及早发现设计缺陷，改进和优化设计方案，证实未来工程/产品的可用性与可靠性。
工程师进行创新设计的重要手段和工具
工程和制造企业的生命力在于工程/产品的创新，而对于工程师来说，实现创新的关键，除了设计思想和概念之外，最主要的技术手段，就是采用先进可靠的CAE软件。
科学家进行创新研究的重要手段
科学计算是现代科学家进行科学和技术研究的三大手段之一。它可以帮助科学家揭示用物质实验手段尚不能表现的科学奥秘和科学
规律。同时，它也是工程科学家的研究成果--理论、方法和科学数据--的归属之一，做成软件和数据库，成为推动工程和社会进步的最新生产力。
CAE软件是迅速发展中的计算力学、计算数学、相关的工程科学、工程管理学与现代计算机科学和技术相结合，而形成的一种综合性、知识密集型信息产品。
CAE软件分类
针对特定类型的工程/产品所开发的用于产品性能分析、预测和优化计算的软件，称为专用CAE软件。
可以对多种类型的工程/产品的工程行为进行计算分析，模拟仿真，性能预测、评价与优化的软件，称为通用CAE软件。
通用CAE软件主要由有限元软件、优化设计软件、计算流体软件、电磁场计算软件、最优控制软件和其它专业性的计算软件组成。
CAE技术已经成熟，CAE软件的可用性、可靠性和计算效率问题已经基本解决。CAE与CAD/CAM/PDM/ERP软件一起，已经成为企业家和工程师们实现工程/产品创新的得力助手和有效工具。同时，也已成为专家、教授进行研究重要手段。CAE与CAD/CAM/PDM/ERP一起，已经成为支持工程行业和制造企业信息化的重要技术，它们已经在提高工程/产品的设计质量，降低研究开发成本，缩短开发周期方面发挥了重要作用，成为实现工程/产品创新的支撑技术。
其发展趋势有：扩充CAE功能，实现多结构耦合分析，实现多物理场耦合分析，多尺度耦合分析，以及结构、构件及其材料的一体化设计计算与模拟仿真。基于Internet/Intranet的CAD／CAE／CAM／PDM / ERP的集成化、网络化、智能化。
有限元分析技术是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。有限元方法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设
计。目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。
有限元方法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法。这种方法灵活性很大，只要改变单元的数目，就可以使解的精确度改变，得到与真实情况无限接近的解。有限元方法的基本理论要用到数学、力学方面的各种知识。对于一个应用工程师来说，他的目的是应用有限元方法去求解各种工程问题，目前市场上各种功能强大的有限元程序包很多，这些程序包使用方便，也不需要对有限元法进行很深入的了解，即可应用这些程序求解工程问题。因此，对于一般的工程技术人员来说，只需要花很少的时间了解一些有限元的基本知识即可，不需要对它的理论背景作更深入的研究。
有限元法简介
1有限单法的形成
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。
图1-1 平面桁架系统
图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。
图1-3 V6引擎的局部
下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件：
t T
c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+???
? ??????+??? ??????ρλλλ （1- 1）
初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的：
() 00
x,y,z T T
t ==
（1- 2）
通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式：
()f T-T h n
T
λ=??- （1- 3）
尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同
的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到
二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。
1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。
在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
1969年 B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。
2 有限元法的基本思路
有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。
图1-4 受自重作用的等截面直杆图1-5 离散后的直杆
等截面直杆在自重作用下的材料力学解答
受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L ，截面积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内力为N 。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。
)()(x L q x N -= EA
dx
x L q EA dx x N x dL )()()(-==
?-==x
x Lx EA q EA dx x N x u 0
2
)2()()(
（1- 4）
)(x L EA
q dx du x -==
ε )(x L A
q
E x x -==εσ
等截面直杆在自重作用下的有限元法解答
1） 离散化
如图1-5所示，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个
铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。 第i 个单元的长度为L i ，包含第i ，i+1个结点。
2） 用单元节点位移表示单元内部位移
第i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，
)()(1i i
i
i i x x L u u u x u --+
=+ （1- 5）
其中i u 为第i 结点的位移，i x 为第i 结点的坐标。第i 个单元的应变为i ε，应力为i σ，内力为i N ：
i
i
i i L u u dx du -=
=
+1ε （1- 6） i
i i i i L u u E E )
(1-=
=+εσ
（1- 7） i
i i i i L u u EA A N )
(1-=
=+σ
（1- 8）
3）把外载荷集中到节点上
把第i 单元和第i+1单元重量的一半2
)
(1++i i L L q ，集中到第i+1结点上。
图1-6 集中单元重量
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
2
)
(11+++=
-i i i i L L q N N （1- 9）
令1
+=i i
i L L λ，并将（1- 8）代入得： 221)11(2)1(i i
i i i i i L EA q u u u λλλ+=
-++-++ （1-10）
根据约束条件，01=u 。 对于第n+1个结点，
2
n
n qL N =
EA
qL u u n n n 221
=+-+ （1-11）
建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程
组，可解出n+1个未知的接点位移。
3 有限元法的计算步骤
有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。
3.1网格划分
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
图1-7四面体四节点单元
图1-8 六面体8节点单元
图1-9 三维实体的四面体单元划分
图1-10 三维实体的六面体单元划分
图1-11 三角形3节点单元
图1-12 四边形4节点单元
图1-13 平面问题的三角形单元划分
图1-14 平面问题的四边形单元划分
3.2单元分析
对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。
由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。
以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三
个结点I 、J 、M ，每个结点有两个位移u 、v 和两个结点力U 、V 。
图1-15 三角形3结点单元
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量（vector ）：
结点位移{}?????
??????
???????????=m m j j i i e
v u v u v u δ
结点力{}?????
??????
???????????=m m j j i i e
V U V U V U F 单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor ）来表示，
{}[]{}e e e K F δ=
（1-12）
3.3整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图1-16所示，在边界结点i 上受到集中力i y i x P P ,作用。
结点i 是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。
图1-16 整体分析
i 结点的结点力： ∑=++e
e i i i i U U U U )()3()2()1(
∑=++e
e i i i i V V V V )()3()2()1(
i 结点的平衡方程：
??
???
=∑∑=i y e
e i
e i x e i
P V P U )()
(
（1-13）
4有限元法的进展与应用
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
.4.1算法与有限元软件
从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：
大型线性方程组的解法，
非线性问题的解法，
动力问题计算方法。
目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：