第七章大作业
问题重述：
图1 抛物主镜的三维造型图图2 抛物主镜的尺寸图
对大型抛物主镜来说，在中心孔侧壁和外侧壁固定条件下，光轴水平时，镜面在自重作用下的变形。面形最大形变12.9nm，小于632.8nm的1/40，15.8nm,即最大变形小于1/40波长。镜子重426kg。如在背面挖去一些质量，可以不改变镜子的面形精度，且减轻重量，要求：
1、给出轻质化处理的方案，以及系统轻质化后的重量。
2、求出轻质化后的镜子在主轴水平时的镜面变形量，是否满足1/40波长的要求。
3、分析系统的模态。
4、其它你能求出的系统的特性。
解题思路：
通过在SolidWorks中建模，输入参数后，导入到Ansys中进行网格化，再进行力学分析和热学分析。
一、有限元法简介
有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值方法，它吸取了差分法对求解域进行离散处理的启示，又继承了里兹法选择试探函数的合理方法。从实质上看，有限元法与里兹法是等效的，它属于里兹法的范畴，多数问题的有限元方程都是利用变分原理来建立的。但由于有限元法采用离散处理，所以它计算更为简单，处理的问题更为复杂，因而具有更广泛的实用价值。有限元法的基本思想可归结为两个方面，一是离散，二是分片插值。
有限元法的基本要素有三个：节点（Node）、单元（Element）和自由度（DOF）。有限元法的解题步骤为：
（1）单元剖分和插值函数的确定。
根据构件的几何特性、]载荷情况及所要求的变形点，建立由各种单元所组成的计算模型是。也就是对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元之间彼此通过节点相连。再按单元的性质手精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数，利用节点位移表示单元体内任意点位移的插值函数。
（2）单元特性分析。
把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移的关系，即整体结构平衡方程组。
（4）求解有限元方程。
引入支承条件，根据不同的计算方法求解有限元方程，得出各节点的位移。（5）计算单元内的应力和应变。
根据结点位移计算相应的节点应力以及单元内部任意点的应力和应变。
二、有限元法分析系统
由于有限元法分析涉及十分复杂的数值计算，因此同手工进行是还可能的。任何形式的有限元分析都必须借助于计算机软件，这类软件称为有限元分析系统，又称FEA系统（Finite Element Analysis System）。目前在工业和软件业界，由于有限元法已成为工程计算和分析的主要手段，因此有限元分析系统也成了CAE系统的代名词。
由于有限元分析过程包括前处理、计算和后处理三个阶段，因此为了支持分析过程的完成，任何FEA系统都应该包括前处理、计算和后处理三个功能模块。如下图所示：
FEA系统的划分
1、前处理模块
该模块主要包括几何建模和模型处理、网格划分、单元库、网格处理、单元特性定义、边界条件定义及其它辅助功能等等。
2、计算模块
该模块由一系列计算程序组成，计算程序又称求解器（solver）。每个求解器完成特定类型的计算。因此，求解器越多，系统功能越丰富。在有限元模型提交计算以前，计算模块还提供计算定义功能，用于选择算法、参数、精度、输出结果、结果保留形式等。
目前常见的计算类型包括如下:
①线性静力分析；
②动态分析；
③非线性分析（材料非线性，几何非线性，接触非线性）；
④热分析；
⑤流场分析；
⑥电磁场分析；
⑦曲屈分析等。
3、后处理模块
后处进模块的任务是对计算结果进行处理和显示，为分析人员提供评估依据。由于计算机图形技术的发展，FEA系统的后处理功能在近几年得到了很大进步，目前能为分析人员提供各类直观、形象的显示方式和十分方便的操作工具。常见的结果显示方式有等值线图、等值云图、变形图、动画显示等。
下图给出了FEA系统的主要功能结构。
三、ANSYS有限元软件特点
ANSYS软件分为两层，一是起始层，二是处理层。当输入操作命令时，通过起始层过滤和分流，进入到处理层中不同的程序求解器。
ANSYS提供有编程语言APLD中的命令，可以取代菜单操作和一些菜单中无法进行的操作；也可以通过图形界面操作（GUI）。在GUI中，ANSYS的菜单分为两类，一类是应用菜单（Utility Menu），另一类是主菜单（Main Menu）。
ANSYS与其它一般通用软件的不同之处在于其数据库的存储与恢复。
1、数据库存储
存储操作将ANSYS数据库从内存中写入一个文件，即数据库文件，它以“.db”为扩展名，是数据库当前状态的一个备份。在应用菜单中有两个命令稍有不同：①Save Jobname.db:该命令即将数据库保存到Jobname.db文件中，其中jobname
为当前操作的工程文件名。
②Save as:该命令弹出一个对话框，允许将数据库存储到另外的文件名上。
注意：在ANSYS中，“Save as”只将数据库拷贝到另外一个文件名上，并不改变当前的工作文件名。
2、数据库恢复
同前一样，也有两个命令稍有不同：
①Resume Jobname.db命令表示立即恢复名为jobname.db的数据库文件中的内
容，Jobname为在ANSYS启动对话框中设定的默认工程文件名。
②Resume Jobnamel.db命令类似，该命令允许读入给定目录下给定文件名的数
据库文件，但当前的工作文件名不变。
保存和恢复当前工作文件名的数据库文件，也可以通过单击自定义工具栏中的“SA VE_DB”按钮和|“RESUM_DB”按钮进行（相当于“undo”）。
四、建模过程
通过在SolidWorks中按照题目尺寸画出立体图，再导入workbench中进行分析，从而得出零件的结构力学各项指标。
（1） 建模图形
其中，由蜂窝孔洞组成的正六边形的边长尺寸为700mm，蜂窝孔洞六边形的边长为30mm，洞深为150mm。
（2） 分析结果
以上采用正六边形的蜂窝孔洞形式来减轻重量，轻质化后的重量为
0.0924m。轻质化后的镜子在主轴水平时的镜面变形量的伪彩238.44kg，体积为3
色云图如下：
可以看出，背面的最大变形量为23.79nm，抛物面的最大变形约为14nm，不符合1/40波长的要求。不妨猜想是蜂窝的孔洞构成影响到了变形量及轻质化结果。因而重新建模，但有所改变蜂窝的结构形式。
①
蜂窝六边形的边长为45mm，孔径深130mm；外延正六边形的边长为400mm。
可以看出，此种蜂窝结构的最大形变为17.1nm，而抛物镜面的最大形变约为12nm左右，基本符合要求；但不足的是其重量为325.94kg，有效体积为3
0.12633m，比上一个结构的重很多，工程上实现起来比较困难。
②仍沿用上一结构，但孔径深度变为150mm。其变形云图如下：
可以看出，主镜面的最大变形基本没什么变化，且质量变为310.39kg，体积变为3
0.1203m。因而，通过加深孔径的方式来减轻重量虽然可以收到一定的效果，但变形量改变不大。
这时，比较上述三种结构的分析结果可以得出，蜂窝孔洞密集化可以明显减轻主镜的质量，但变形效果改善不大，甚至会变差。而蜂窝孔洞大而疏的变形改善比较明显，但质量达不到轻质化的要求。此时，似乎出现了矛盾；仔细考虑，能不能将两者的优势结合起来。那么，必须将两种结构中的一个量变为变量，才能消除矛盾。这里发现孔径的深度似是如此的变量。经过理论分析，抛物主镜的对称性要求轻质化后的质量分布应该均匀对称。
从下图看出，孔径深度的一致导致沿抛物面的质量分布不均匀，因而在竖直放置时由于重力作用，占大部质量的边测变形严重一些，从而影响到抛物面的光滑度。通过将深度沿抛物面的方向依次变化，达到质量分布的均匀性。下面来看一下仿真结果：
下面来看一下仿真结果：
可以看出，变形量依然很大，此时质量为283.71kg。这时可以确定，质量与变形量在变形镜的实例中是一对矛盾。
在前面的一种结构中，质量减少不多，但变形量较小且接近要求。因而，在优化中应重点设计孔洞的深度，在接近约束的地方安排质量多一点，在两约束之间质量少一点；且孔洞的格子粗细也可细心设计。鉴于时间关系，这里不再深究。
下面就变形量小的这种结构为例继续说明，现将结构图置于如下：
（3） 模态分析
以上为前六阶模态输出，也称为扩展模态（振型）。
（4） 其它特性
由于此抛物主镜一般应用在大型卡塞格林系统中，因而有必要研究一下它的结构特征及疲劳特性。此处研究它的线性屈曲特性。
线性屈曲分析（buckling analysis）是一种用于确定结构的屈曲载荷的屈曲模态的技术。它预示着物件的理想屈伸力。
从图中可看出，在重力作用下下端的格条已疲劳，到了塑性段，易断裂，因而设计时边缘的格条应粗一些，质量上分配多一些。这与前面的分析结论是一致的。
参考文献
[1] 杜. 甘. 于亚婷, "有限元法--原理、建模及应用," 国防工业出版社, 2004.8.
[2] 江. 屠. 邵飞, "结构分析有限元原理及ANSYS实现," 国防工业出版社, 2005.6.
[3] 周. 胡. 熊文波, ANSYS11.0基础与典型范例, 电子工业出版社, 2007.
[4] 曹. 赵汝嘉, SolidWorks2006工程应用教程基础篇, 机械工业出版社, 2006.