1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n
n A -- B ．15
55n A -
C ．1569n A -
D ．14
69n A -
【答案】C
【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---L 中最大的数为69-n,最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C
2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B
3．n ∈N *
，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ） A ．80
100n A - B ．n
n A --20100 C ．81
100n A -
D ．81
20n A -
【答案】C
【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *
，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81
100n A -，选C
4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( )
A.56
B. 96
C. 36
D.360 【答案】B
【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么
其余的有A 3
5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433??，共有96种
5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B
【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有
46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3
560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240
种．
6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段
A i
B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”.
A ．60
B ．62
C ．72 D.124 【答案】A
【解析】在∠AOB 的两边上分别取,(),i j A A i j <和,()p q B B p q <，可得四边形i j p q A A B B 中，恰有一对“和睦线”(i p A B 和)j q A B ，而在OA 上取两点有2
5C 种方法，在OB 上取两
点有2
4C 种方法，共有10660?=对“和睦线”.
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．15 【答案】B
【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42
=6（个）
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 41
=4个，
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 40
=1，
由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个
8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）
A ． 6种
B ． 12种
C ． 30种
D ． 36种 【答案】C
【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有2112
422430C C C C +=
9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )．
A ．5个
B ．8个
C ．10个
D ．15个 【答案】D
【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，并且袋中红球有3个，设袋中共有球的个数为n,则
31
,5
n =所以15n =. 10．从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒
子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为
A． 10 B． 12 C． 14 D． 16
【答案】C
【解析】解：由题意知元素的限制条件比较多，要分类解决，
当选出的三个球是1、2、3或1、3、4时，以前一组为例，
1号球在2号盒子里，2号和3号只有一种方法，
1号球在3号盒子里，2号和3号各有两种结果，
选1、2、3时共有3种结果，
选1、3、4时也有3种结果，
当选到1、2、4或2、3、4时，各有C21A22=4种结果，
由分类和分步计数原理得到共有3+3+4+4=14种结果，
故选C．
11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种 D．144种
【答案】C
【解析】解：本题是一个分步计数问题，
∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，
∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果
∵程序B和C实施时必须相邻，
∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果.根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，
故选C．
12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有
A. 12个
B. 48个
C. 84个
D. 96个
【答案】C
【解析】解：因为先排雷1，2，3,4然后将其与的元素插入进去，则根据相同数字不能相邻的原则得到满足题意的6位数有84个。选C
13．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（）A．119 B．59 C．120 D．60
【答案】B
【解析】解：∵五个字母进行全排列共有A55=120种结果，
字母中包含2个l，
∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，
在这60种结果里有一个是正确的，
∴可能出现的错误的种数是60-1=59，
故选B．
方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同14．用三种不同的颜色填涂如图33
色，则不同的填涂种数共有
.A 6 .B 12 .C 24 .D 48
【答案】B
【解析】解：先填正中间的方格，由1
3C 中涂法，再添第二行第一个方格有2种涂法，再涂
第一行第一列有2种涂法，其它各行各列都已经确定，故共有涂法13C ×2×2=12种.
15．、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（A ，B 可以不相邻）那么
不同的排法有（ ） A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种 【答案】B
【解析】解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A 55
种情况，
而其中B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的， 则B 站在A 的右边的情况数目为12
×A 55
=60， 故选B ．
16．由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有 （ ） A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个 【答案】D
【解析】解：奇数的最后一位只能是3.5；以3结尾56相邻的数有3×2×2个（把5.6看成一个数，四位数变成三位数，除去3，有两位可以 在3个数中选：2.4.56，三选二有3×2种选择，而56排列不分先后又有两种选择．）以5结尾的数有3×2个（5结尾倒数第二位为6，还剩三个数可以选，三选二有3×2种选择．）一共有3×2×3个 没有重复的四位数中5 6相邻的奇数18个；故答案为D ．
17．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
A 、288
B 、480
C 、600
D 、640 【答案】A
【解析】解：因为6个人排成一排，所有的情况为6
6A ,那么不相邻的方法为4
2
45A A =288，选A
18．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数为 A ．24 B ．28 C ． 32 D ． 36 【答案】D
【解析】如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A 32A 22
=24种，
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×A 22A 22
=12种，共计12+24=36种.
19．有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法是（ ）种 A ．36 B ．48 C ．72 D ．96 【答案】C
【解析】32
3472A A =.
20．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 【答案】B
【解析】512
542960A A A =.
21．5人排成一排，其中甲必须在乙左边不同排法有（ ） A 、 60 B 、63 C 、 120 D 、124 【答案】A
【解析】55
602
A =. 22． 从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（ ）
A ．240种
B ．280种
C ． 96种
D ．180种 【答案】D
【解析】解：由题意，从6名学生中选取4名学生参加数学，物理，化学，外语竞赛，共有5×4×3×6=360种; 运用间接法先求解甲、乙两名同学能参加生物竞赛的情况180，然后总数减去即为甲、乙两名同学不能参加生物竞赛则选派方案共有180种，选D 23．如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求 在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A.96
B. 84
C. 60
D. 48 【答案】B
【解析】解：分三类：种两种花有2
4A 种种法； 种三种花有23
4A 种种法； 种四种花有4
4A 种种法． 共有23
4A +2
4A +44A =84．
故选B
24．2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排 法共有（ ）
A. 480种
B.720种
C. 960种
D.1440种 【答案】C
【解析】解：因为先将老师捆绑起来有2种，然后利用确定两端有A 52
种，然后进行全排列
共有A 44
，按照分步计数原理得到所有的排列方法共有960种
25．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率 （A ）1
13!
（B ）4813!
（C ）216
13!
（D ）172813!
【答案】B
【解析】解：因为从13空位中选取8个空位即可，那么所有的排列就是13
13A ,而恰好组成
“MATHEMATICIAN ”的情况有3222
3
222A A A A ，则利用古典概型概率可知为48
13!，选B 26．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人
不能相邻，则不同的排法共有
（A ）4种 （B ）6种 （C ）8种 （D ）12种 【答案】C
【解析】解：本题是一个分步计数问题，
首先将两个穿红衣服的人排列，有A22=2种结果，
再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的两个空中， 不能排在三个空的中间一个空中，避免两个穿红色衣服的人相邻， 共有2×2+2×2=8， 故选C
27．4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，不同的报名方法有
（A ）4
3种
（B ）3
4种
（C ）34A 种
（D ）3
4C 种
【答案】A
【解析】解：因为4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，则每个人有3中选择，因此共有4
3种，选A
28．将1，2，3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字(右面是一种填法)，则不同的填写方法共有（ ）
（A ）48种 （B ）24种 （C ）12种 （D ）6种 【答案】C
【解析】解：填好第一行和第一列， 其他的行和列就确定，
∴33A 2
2A =12，
故选C
29．6个人排成一排，其中甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为（ ）
（A ）6
6A
（B ）3
33A （C ）3333
A A （D ）4433A A 【答案】D
【解析】解：∵6名同学排成一排，其中甲、乙、丙两人必须排在一起， ∴首先把甲和乙、丙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，
共有4433
A A 故选D
30．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球排成一列，要求1号球与2号球必须相邻，5号球与6号球不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A. 36
B. 142
C. 48
D. 144 【答案】D
【解析】解：根据题意，先将1号球与2号球，看作一个元素，考虑两者的顺序，有A 22
=2种情况，
再将1号球与2号球这个大元素与3号球、4号球进行全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
最后在4个空位中任取2个，安排5号球与6号球，有A 42
=12种情况， 由分步计数原理可得，共有2×6×12=144种情况； 故选D ．
31．用0、1、2能组成没有重复数字的自然数个数是 （ ）
A. 15
B. 11
C. 18
D. 27 【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
∵用0、1、2能组成没有重复数字的自然数，当自然数是一位数时，共有3个， 当自然数是两位数是有2×2=4个， 当自然数是3位数时有2×2=4个，
∴根据分类计数原理知共有3+4+4=11个， 故选B ．
32．m （m+1)（m+2）﹒﹒﹒﹒（m+20）可表示为（ ）
A m A 2); A m
B 21); A m
C 220)+; A m
D 21
20)+
【答案】D 【
解
析
】
2120(20)(19)(1)(20211)(20)(19)(1)m A m m m m m m m m +=++++-+=+++L L .
33．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ） A.8个 B. 10个 C. 18个
D. 24个
【答案】A
【解析】解：因为先排末尾有2种，再排首位有2种，其余的进行全排列共有2中，则利用分布乘法奇数原理可知一共有8种，选A
34．某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同的停放方法共有
（A）16种（B）18种（C）24种（D）32种
【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，
当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列3
3
A，
当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列3
3
A
当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列3
3
A，
当最右边三辆时，有车之间的一个排列3
3
A，
总上可知共有不同的排列法4×3
3
A=24种结果，
故选C
35．6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为（）
A、1或4
B、2或4
C、2或3
D、1或3
【答案】B
【解析】解：因为6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为2或4，选B
36．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有
A．3种B．6种C．36种D．48种
【答案】A
【解析】根据题题可知剩余四人分成两组即可。有
2
43
2
C
种分法.
37．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（）种
A.10 B .48 C .60 D .80
【答案】D
【解析】解：先选出三个孔来：
1）若任意选择三个孔，则有C73=35种选法
2）若三个孔相邻，则有5种选法
3）若只有二个孔相邻，
相邻孔为1、2两孔时，第三孔可以选4、5、6、7，有4种选法
相邻孔为2、3两孔时，第三孔可以选5、6、7，有3种选法
相邻孔为3、4两孔时，第三孔可以选1、6、7，有3种选法
相邻孔为4、5两孔时，第三孔可以选1、2、7，有3种选法
相邻孔为5、6两孔时，第三孔可以选1、2、3，有3种选法
相邻孔为6、7两孔时，第三孔可以选1、2、3、4，有4种选法
即共有4+3+3+3+3+4=20种选法
∴选出三个不相邻的孔，有35-5-20=10种选法
对于已选定的三个孔，每个孔都有两种显示信号，
则这三个孔可显示的信号数为2×2×2=8种
∴一共可以显示的信号数为8*10=80种
故选D
38．有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( )
A. 120
B.60
C.25
D.13
【答案】D
【解析】解：因为5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张)，那么先确定法周杰伦的一张，分情况讨论得到共有
313 323113
++=
A C A, 选D
39．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）
A．72种B．96种C．108种 D．120种
【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种．
故选B．
40．由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为（）
A. 36
B. 24
C. 12
D.6
【答案】B
【解析】解：因为由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为，有顺序，所以是
排列，从4个数中选3个数的全排列即为所求，故为3
4
24 =
A,选B
41．4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至
少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有 A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 【答案】C
【解析】22
228A =.
42．现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有（ ） A.288种 B.144种 C.72种 D.36种 【答案】B
【解析】首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为3
4C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为2
4C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为3
3A ，即满足
题意的情况共有323
443144C C A =种. 故选B
43．现用4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（ ）
A.24种
B.30种
C.36种
D.48种
【答案】D
【解析】分两种情况：一种情况是用三种颜色有
3343
C A ；二种情况是用四种颜色有
4
4A .所以
不同的着色方法共有48人
44．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A.50种
B.510种
C.10
5种 D.520种 【答案】C
【解析】每名乘客有10种选法.所以乘客下车的可能方式有10
5种
45．现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（ ）
A. 16
B. 18
C. 24
D. 32 【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列3
3A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列3
3A ，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列3
3A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列3
3A ，总上可知共有不同的排列法4×3
3A =24种结果， 故选C
46．如图，在一花坛A ，B ，C ，D 四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 （ ）
A 、60
B 、48
C 、84
D 、72 【答案】C
【解析】解：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有234A 种种法；种四种花有4
4A 种种法．共有24A +234A +4
4A =84．故选C
47．有5种颜色可供使用，将一个五棱锥的各侧面涂色，五个侧面分别编有1，2，3，4，5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法数为 （ ） A ．420 B ．720 C ．1020 D ．1620 【答案】C
【解析】解：在五个侧面上顺时针或逆时针编号．
分1号面、3号面同色和1号面、3号面不同色两种情况：
1、3同色，1和3有5种选择，
2、4各有4种、5有3种，共有5?4?4?3=240种； 1、3不同色，1有5种选择，2有4种，3有3种，
再分4与1同，则5有4种，4不与1同，4有3种，5有3种，共有5?4?3?（4+3?3）=780种；根据分类加法原理得共有240+780=1020种． 故选C
48．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．40种 D ．56种 【答案】C
【解析】丙可排在第三，四，五位置，排法共有22224
2232440A A A A A ++=种
49．2011年3月17日上午，日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的燃料池进行了4次注水，如果直升飞机有A ，B ，C ，D 四架供选，飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选，且一架直升飞机只安排一名飞行员，则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为
A ．18
B ．36
C ．72
D ．108 【答案】C
【解析】解：因为共有4名驾驶员和4架飞机，那么要是满足两名飞行员驾驶两架直升飞机为2
2
2
442C C A 种，因选C
50．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ ）个 A ．35 B.32 C. 210 D.207 【答案】B
【解析】解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C 73
=35 在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35-3=32个故答案为B
51．设m ∈N *
，且m ＜25，则(25－m )(26－m )…(30－m )等于（ ）
A ．6
25m A -
B ．2530m
m A --
C ．6
30m A - D ．5
30m A -
【答案】C
【解析】解：因为设m ∈N *
，且m ＜25，则(25－m )(26－m )…(30－m )，则表示的连续自然数
的积，因此表示首项为30-m ，共有6项，则表示6
30m A -,选C
52． 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A ．48种 B ．64种 C ．72种 D ．96种 【答案】A
【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．
三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排， 不同的安排方案总数有2223
2223A A A A =2×2×2×6=48种．
故选A
53． 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同的安排方法总数为
A ．60种
B ．72种
C ． 80种
D ．120种 【答案】B
【解析】解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有4
4A 种排法 （2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有1
1
3
333A A A 种排法 ∴根据分类计数原理共有4
4A +1
1
3
333A A A =78，
∴故共有78种不同排法， 故答案为选B
54．有6名同学去参加4个运动项目，要求甲，乙两名同学不能参加同一个项目.每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案是（ ） A ．1560 B ．1382 C ．1310 D ．1320 【答案】D
【解析】解：根据题意先对甲，乙两名同学能参加同一个项目，的情况确定出来，然后利用所求的情况减去不符合题意的即为所求。而利用分组分配的思想可知共有1320种方法。 55．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ） A 120 B 240 C 280 D 60 【答案】A 【解析】略
【答案】（B ）
【解析】领会题意，4人中恰有2人选课程甲，选法有2
4C 种，余下2人在课程乙、丙中随
选，选法有1122122C C C +种，所以不同选法共有24C 112
212(2)24C C C +=（种）。故选（B ）
57．一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）144 （D ）72 【答案】D 【解析】略 58．．将6个名额全部分配给3所学校，每校至少一个名额且各校名额各不相同，则分配方法的种数为（ ）
A. 21
B. 36
C. 6
D. 216 【答案】C 【解析】略
59．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
A .16种
B .18种
C .37种
D .48种 【答案】 【解析】略
60．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是（ ） A ．60 B ．62 C ．66 D ．68 【答案】A 【解析】略 61．在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
1
212
1
1112
1212
121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n
m n m n m m
n n
m m n n m m n n m +++++
+
+
++
【答案】C
【解析】解法一：第一类办法： 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )
中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2
n 个；第二类办法:从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；
第三类办法： 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角
形，有C 1m C 1n 个 由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.
解法二: 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，
三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个. 所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.
62．某公司的员工开展义务献血活动，在体检合格的人中，O 型血的有10人，A 型血的有5
人，B 型血的有8人，AB 型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，则不同的选法种数为（ ）
A ．1200
B ．600
C ．300
D ．120 【答案】A
【解析】【思路分析】：12001
31815110=???=C C C C n ，故选A.
【命题分析】：考查排列、组合的计算.
第II 卷（非选择题）
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二、填空题（题型注释）
A ，
B 必须相邻，且B 在A 的左边，那么不同的排法共有 种 【答案】24
【解析】解：根据题意，A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，视A 、B 为一个元素，且只有一种排法；
将A 、B 与其他3个元素，共4个元素排列，
即A 44
=24，
则符合条件的排法有1×24=24种； 故选D ．
64．有A 、B 、C 、D 、E 五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A 、B 两位同学去问成绩，教师对A 说：“你没能得第一名”．又对B 说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有________种可能（用数字作答）． 【答案】18
【解析】解：由题意知比赛决出了第一到第五的名次，A 不是第一名有A 44
种．
A 不是第一名，
B 不是第三名有A 33
种．
∴符合要求的有A 44- A 33
18种． 故答案为：18
65．计算：123
444A A A ++= .
【答案】40
【解析】解：因为123
4444122440++=++=A A A
66．某停车场有一排编号为1到8的八个停车空位，现有2辆货车与2辆客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车要停放在相邻的停车位上，共有 种停车方案． 【答案】120
【解析】解：因为某停车场有一排编号为1到8的八个停车空位，现有2辆货车与2辆客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车要停放在相邻的停车位上，先捆绑起来，然后整体排列可知共有120
67．正五边形ABCDE ，一个质点从正五边形的一个顶点出发沿着一条边移动到另一个顶点叫“移动一次”，则这个质点从A 点开始，移动10次，又回到A 点的移动方法共有 种。 【答案】254
【解析】解：因为正五边形ABCDE ，一个质点从正五边形的一个顶点出发沿着一条边移动到另一个顶点叫“移动一次”，则这个质点从A 点开始，移动10次，又回到A 点的移动方法254次。可以运用分步来完成。
68．将正整数从1开始连续不间断的写成一行，第2012个数码是 ． 【答案】0
【解析】解：因为将正整数从1开始连续不间断的写成一行，第2012个数码是0
69．六个人排成一排，丙在甲乙两个人中间（不一定相邻）的排法有_________________种. 【答案】80
【解析】解：先排列甲和乙，有2种，然后并考虑在中间的情况，分类讨论得到结论。 70．七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有 种.(用数字作答)
【答案】3120
【解析】解：根据题意，要求甲不站两端，则甲有5个位置可选；
分两种情况讨论：①若甲在中间，则乙有6种站法，其余的5人有A55种不同的站法，在此情况下有6×A55=720种站法；
②若甲不在中间，有4中不同的站法，则乙有5种站法，其余的5人有A55种不同的站法，在此情况下有4×5×A55=2400种站法；
由分类计数原理，可得共有2400+720=3120种； 故答案为：3120．
71．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加。若甲参加，但不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种。 【答案】96
【解析】解：因为特殊元素优先安排先排甲有3种，那么其余的从剩下的4个人中选3名，进行全排列得到34A ,另一种情况就是没有甲4
4A ，分类讨论相加得到结论为96.
72．若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答） 【答案】2880；
【解析】解：因为从3名教师选两名，捆绑起来，然后作为一个整体与其余的进行全排列可
知为26
36A A 2880
73．将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 种 【答案】12
【解析】解：由题意，可按分步原理计数，
第一步，第一行第一个位置可从a ，b ，c 三字母中任意选一个，有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两字母中选一个，有二种选法
第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的字母同，故其有两种填法 第四步，第二行第二们位置，由于不能第第一行第二个字母同也不能第二行第一个字母同故它只能有一种填法
第五步，第二行第一个字母不能与第一行与第二行的第一个字母同，故其只有一种填法， 第六步，此时只余下一个字母，故第三行第二列只有一种填法 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1=12种
74．若某同学把英语单词“school ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有 种（以数字作答）. 【答案】359
【解析】解：因为某同学把英语单词“school ”的字母顺序写错了，所有的 排列情况有4
6A ,
那么正确的只有一种，这样可知为4
6A -1=359
75．用0,1,2,3这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数 【答案】18
【解析】没有重复数字的四位数共有3
3318A =.
76． 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的花. 如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 1a ，2a ，3a ，4a ，有 种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，2a ，3a ，,n a L , 有 种不同的种植方法. 【答案】18，
【解析】（1）由于相邻颜色不同，所以从相对的两份颜色必须相同，因此有13
3318C A =种
不同的种植方法.
（2）由图①可知不同的种植方法有322-和图②的结果是4
22+,因而可归纳出:3
22(1)
n
n --?-(3n ≥且)n N ∈
77．由数字0，1，2，3，4，5组成六位数，其中奇数和偶数相间的不同排法为______种. 【答案】60 【解析】：由题意知本题是一个分类计数问题， 当首位为奇数时，则计数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有33
3
3A A =36种结果， 当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个利用排在首位，共有2×23
3A
=24
种结果，
∴根据分类计数原理可以得到共有36+24=60种结果，
①
②
③
……
78．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为____________． 【答案】576种
【解析】解：因为6人站成一排，所有的情况为66A ,而甲、乙、丙3个人能都站在一起43
4
3A A ，利用间接法得到66A -43
4
3A A =576 79．从装有n+1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,)m n m n N <≤∈， 共有
种取法，在这
种取法中，可以分为两类：一类是取出的m 个球全部为白球，
另一类是取出的m 个球中有1个黑球，共有0
1101111m m m
n n n C C C C C C -+?+?=?种取法，
即有等式：1
1m
m m
n n
n C C C -++=成立.试根据上述思想可得
0413223140
515515515515515C C C C C C C C C C ?+?+?+?+?= (用组合数表
示)
【答案】420C
【解析】在C n m
+C k 1
?C n m-1
+C k 2
?C n m-2
+…+C k k
?C n m-k
中，
从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里， 取出m 个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m 个球的不同取
法数C n+k m
,本小题0413223140
515515515515515C C C C C C C C C C ?+?+?+?+?意思是从装有20
（其中15白，5个黑）个球的口袋中取出4个球，共有的取法数为4
20C . 80．
【答案】49 【解析】略 81． =______
【答案】
【解析】略 82．某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,，则不同选派方案种数为________ 【答案】14 【解析】略
83．四位数中,恰有2个数位上的数字重复的四位数个数是___________（用数字作答） 【答案】3888 【解析】略
84．有五角硬币3枚，五元币6张，百元币4张，共可组成_____种不同的币值 【答案】139； 【解析】分三类：
第一类，用同一面值的币组成币值，若用五角币可组成3种不同的币值，若用五元币可组成6种不同的币值，若用百元币可组成4种不同的币值，故用同一面值的币共可组成3+6+4=13种不同的币值；
第二类，用两种面值的币组成币值，若用五角币、五元币可组成3×6＝18种不同的币值，若用五元币、百元币可组成6×4＝24种不同的币值，若用百元币、五角币可组成4×3＝12种不同的币值，故用两种面值的币共可组成18+24+12=54种不同的币值； 第三类，用三种面值的币组成币值，共可组成3×6×4＝72种不同的币值； 由分类计数原理可知，一共可组成13+54+72=139种不同的币值．
85．某校要从高三的六个班中选出8名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选1人，则这8个名 额的分配方案共有______________。 【答案】21
【解析】每班先安排一个学生，剩下两个学生安排在一个班或两个班，共2
6621C +=种。
86．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 . 【答案】76542
【解析】【思路分析】：4在首位，有1个；5在首位，有4
55C =个；6在首位，有4615
C =个；7
在首位，有4
735C =个.所以第55个数是76542.
【命题分析】：考察排列组合与分类讨论
三、解答题（题型注释）
6名同学站成一排，求： （1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法： （2）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法．（均须先列式再用数字作答）
【答案】（1）A 41A 55=480种；（2）A 33A 43
=144种．
【解析】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．
（1）甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三
个人，有A 33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A 43
，根据分步计数原理得到结果． 解：
（1）∵甲不站排头也不站排尾，∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置
使五个元素全排列，根据分步计数原理知共有A 41A 55
=480种；
（2）∵甲、乙、丙不相邻，∴可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外
的三个人，有A 33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A 43
，根据分步
计数原理知共有A 33A 43
=144种．
88．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
【答案】（1）241920种排法．（2）10080种排法．（3）245
2455760A A A ??=种 （4）2880种 （5）36
9660480C A ?=种．
【解析】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路
（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有
6种，剩下的8个元素全排列有A 88
种，根据分步计数原理得到结果． （2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．
（3）把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列，
（4）先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A 55
种方法，根据分步计数原理得到结果．
（5）9人共有A 99种排法，其中甲、乙、丙三人有A 33种排法，因而在A 99种排法中每A 33
种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组．
89．现有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将这五个球放入5个盒子内.
(1)若只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
【答案】解：（1）12004
525=A C （种） 。。。。。。。2分 （2）11915
5=-A （种） 。。。。。。。4分
（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全相同的放法：1种
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种
第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2022
5
=C 种 ∴ 满足条件的放法数为： 1+10+20=31（种） 。。。。。。。8分
【解析】本试题主要是考查了组合数的运用。
计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A
排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法． 2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法． 特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列. 4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 5．排列数公式：）、（+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒： 规定0!=1
排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
一、小球放盒子问题（分组问题） （1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。 解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法 答案：66 。 （2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。 解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法 第二个小球有5种放法 …… 第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1； 思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A 6 6。 答案：720。 （3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。 解析：平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出2个，为C 2 6； 然后从剩下的4个球中选出2个，为C 2 4； 最后剩下2个球，为C 2 2； 但是：C 2 6取出AB 球、C 2 4取出CD 球、剩EF 球； C 2 6取出AB 球、C 2 4取出EF 球、剩CD 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出AB 球、剩EF 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出EF 球、剩AB 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出AB 球、剩CD 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出CD 球、剩AB 球； 得到的结果是一样的，故按照C 2 6C 2 4C 2 2组合完成后还应除去A 3 3， 答案：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3 （4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。 解析：平均分组后再分配的问题 平均分组得到的结果为C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A 3 3的排列 答案：C 2 6C 2 4C 2 2 （5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。 解析：非平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， 首先从6个球中选出1个，为C 1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C 2 5； 最后剩下3个球，为C 3 3； 注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
[超全]排列组合二十种经典解法!
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同1 的方法，…，在第n类办法中有 m种不同的方 n 法，那么完成这件事共有： 第 2 页共 22 页
种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方1 法，…，做第n步有 m种不同的方法，那么完 n 成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 第 3 页共 22 页
排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒： 规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种， 答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有4 4A 种方法；所以共有143472A A =种。 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2 4A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（一）排序问题