“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中
的应用
摘要：创新思维是近年来素质教育最基本的要求，而中学阶段是学生创新思维形成的主要阶段。在整个数学教学过程中，教师不仅要让学生获得足够多的知识，更重要的是能够利用数学的学科优势来培养培养学生的发散思维，积极地发展学生的学习与思考能力。
关键字：一题多解；一题多变；数学教学；思维能力
引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。所谓“一题多解”，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力。所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力
发散思维是从同一来源材料中探求不同答案的思
维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广阔思维
提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变
（一）在例题讲解中运用一题多解
一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，
有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）
由x+y=1得y=1-x，则
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x= 时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二：（三角换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设
其中θ∈[0， ]
则
于是，当sin2θ=1或-1时，x2+y2取最小值；
当sin2θ=0时，x2+y2取最大值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三：（对称换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x= +t， y= -t，其中t∈[- ， ]
于是，x2+y2 =（ +t）2+（ -t）2=
所以，当 =0时，x2+y2取最小值；当时，x2+y2取最大值1。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
（二）在练习和习题中训练学生运用一题多变
如下例题就充分的展示了一题多变，这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，还可以激发学生的探求欲望，提高创新能力；不仅能让教师对
例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。
例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：
过抛物线焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为 .
求证：。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）
此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。如变成
（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。
（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。
另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：
（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切
线的交点的轨迹。
（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。
在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
结语：创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力，激发冲动，从而主动寻求和发现新问题. 多年的教学实践使我深深地体会到：作为一名数学教师，应转变观念，大胆改革，精心策划，创新求异，为学生创造和保持愉快和谐的课堂学习气氛，营造一个开放性的教学结构，给学生更多的展现机会，应加强对例题和习题教学的研究，通过科学合理地使用教学素材进行一题多解教学，能较好地培养学生思维的广阔性、独立性和创造性，促使学生形成良好的思维习惯和品质，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更广阔的空间。
参考文献：
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