数学天地:
初一年级数学核心题目赏析
有理数及其运算篇
【核心提示】
有理数部分概念较多,其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题,把抽象问题简单化.相反数看似简单,但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年,每年都有不同的难点,我们要从七年级把绝对值学好,理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用,也要会逆向用,难点往往出现在逆用法则方面.
【核心例题】
例1计算:2007
20061
......431321211?+
+?+?+? 分析 此题共有2006项,通分是太麻烦.有这么多项,我们要有一种“抵消”思想,如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗?由此想到拆项,如第一项可拆
成
2
1
11211-=?,可利用通项
()11111+-=+?n n n n ,把每一项都做如此变形,问题会迎刃而解.
解 原式=)20071
20061(......413131212111-++-+-+-)()()(
=20071
20061......41313121211-
++-+-+- =20071
1-
=2007
2006
例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点
分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性,但本题关键是去绝对值,所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上,右边的数总比左边的数大”,大数减小数是正数,小数减大数是负数,可得到a-b<0、c-b>0.
解 由数轴知,a<0,a-b<0,c-b>0
所以,b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c
例3 计算:??
?
??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)
分析 本题看似复杂,其实是纸老虎,只要你敢计算,马上就会发现其中的技巧,问题会变得很简便.
解 原式=2132......9897999810099?????=
1001
例4 计算:2-22-23-24-……-218-219+220.
分析 本题把每一项都算出来再相加,显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”
呢?我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.再考虑
2-22-23+24=2-22+23(-1+2)=2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.这怎么又等于6了呢?是否可以把这种方法应用到原题呢?显然是可以的.
解 原式=2-22-23-24-……-218+219(-1+2) =2-22-23-24-……-218+219
=2-22-23-24-……-217+218(-1+2) =2-22-23-24-……-217+218 =…… =2-22+23 =6
【核心练习】
1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数,试求:
()()
......
1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. (提示:此题可看作例1的升级版,求出a 、b 的值代入就成为了例1.) 2、代数式
ab
ab
b b a a ++的所有可能的值有( )个(2、3、4、无数个) 【参考答案】
1、2008
2007
2、3
字母表示数篇
【核心提示】
用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时,单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程,我们可把要求的式子适当
n=1,S=1①n=2,S=5②③
n=3,S=9变形,采用整体代入法或特殊值法.
【典型例题】
例1已知:3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____
分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”,先把条件化成最简,然后把要求的代数式化成能代入的形式,代入就行了.这类问题还有一个更简便的方
法,可以用“特殊值法”,取y=0,由3x-6y-5=0,可得3
5
=x ,把x 、y 的值代入
2x-4y+6可得答案3
28
.这种方法只对填空和选择题可用,解答题用这种方法是不
合适的.
解 由3x-6y-5=0,得35
2=-y x
所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=6352+?=3
28
例2已知代数式1)1(++-n n x x ,其中n 为正整数,当x=1时,代数式的值是 ,当x=-1时,代数式的值是 .
分析 当x=1时,可直接代入得到答案.但当x=-1时,n 和(n-1)奇偶性怎么确定呢?因n 和(n-1)是连续自然数,所以两数必一奇一偶.
解 当x=1时,
1)1(++-n n x x =111)1(++-n n =3
当x=-1时,
1)1(++-n n x x =1)1()1()1(+-+--n n =1
例3 152=225=100×1(1+1)+25, 252=625=100×2(2+1)+25
352=1225=100×3(3+1)+25, 452=2025=100×4(4+1)+25…… 752=5625= ,852=7225=
(1)找规律,把横线填完整; (2)请用字母表示规律; (3)请计算20052的值.
分析 这类式子如横着不好找规律,可竖着找,规律会一目了然.100是不变的,加25是不变的,括号里的加1是不变的,只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.
解 (1)752=100×7(7+1)+25,852=100×8(8+1)+25
(2)(10n+5)2=100×n (n+1)+25
(3) 20052=100×200(200+1)+25=4020025
例4如图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.S 表示三角形的个数.
(1)当n=4时,S= ,
(2)请按此规律写出用n 表示S 的公式.
分析 当n=4时,我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢?单纯从结果有时我们很难看出规律,要学会从变化过程找规律.如本题,可用列表法来找,规律会马上显现出来的.
解 (1)S=13
(2)可列表找规律:
所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)
【核心练习】
1、观察下面一列数,探究其中的规律:
—1,21,31-,41,51-,6
1
①填空:第11,12,13三个数分别是 , , ; ②第2008个数是什么?
③如果这列数无限排列下去,与哪个数越来越近?.
2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:
【参考答案】
1、①111-,12
1,1311-;②20081;③0.
2、1+n ×(n+2) = (n+1)2
平面图形及其位置关系篇
【核心提示】
平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单,但有时不好表述,也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样,但只要表述清楚了就可以了,不过在写清楚的情况下要尽量简便.
【典型例题】
例1平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为______个,最多为______个.
分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个,最多怎么求呢?我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.
解
例2 两条平行直线m 、n 上各有4个点和5个点,任选9点中的两个连一条直线,则一共可以连( )条直线.
A .20
B .36
C .34
D .22
分析与解 让直线m 上的4个点和直线n 上的5个点分别连可确定20条直线,再加上直线m 上的4个点和直线n 上的5个点各确定的一条直线,共22条直线.故选D. 例3 如图,OM 是∠AOB 的平分线.射线OC 在∠BOM 内,ON 是∠BOC 的平分线,已知∠AOC=80°,那么∠MON 的大小等于
_______.
分析 求∠MON 有两种思路.可以利用和来求,即∠MON=∠MOC+
∠CON.
也可利用差来求,方法就多了,∠MON=∠MOB-∠
BON=∠AON-∠AOM=∠
AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线,想办法和已知的∠AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试,不动笔是很难解出来的.
解 因为OM 是∠AOB 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,
所以∠MOB=
21∠AOB ,∠NOB=2
1
∠COB 所以∠MON=∠M OB-∠N OB=21∠AOB-21∠C OB=21(∠AOB-∠C OB )=2
1
∠
AOC=21
×80°=40°
例4 如图,已知∠AOB=60°,OC 是∠AOB 的平分线,OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC. (1)求∠DOE 的大小; O A
M C
N
O
B A
C
D E
图1图2图3
(2)当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时,OD 、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线,问此时∠DOE 的大小是否和(1)中的答案相同,通过此过程你能总结出怎样的结论.
分析 此题看起来较复杂,OC 还要在∠AOB 内绕O 点旋转,是一个动态问题.当你求出第(1)小题时,会发现∠DOE 是∠AOB 的一半,也就是说要求的∠DOE , 和OC 在∠AOB 内的位置无关.
解 (1)因为OC 是∠AOB 的平分线,OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.
所以∠DOC=21∠BOC ,∠COE=2
1
∠COA
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21(∠BOC+∠COA )=21
∠AOB
因为∠AOB=60°
所以∠DOE =
21∠AOB= 2
1
×60°=30° (2)由(1)知∠DOE =21
∠AOB ,和OC 在∠AOB 内的位置无关.故此时∠DOE 的
大小和(1)中的答案相同.
【核心练习】
1、A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆周上的六个点,连接其中任意两点可得到一条线段,这样的线段共可连出_______条.
2、在1小时与2小时之间,时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.
【参考答案】
1、15条
2、分分或11
6
5411921.
一元一次方程篇
【核心提示】
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要
找出分母的最小公倍数,去掉分母,一定要添上括号,这样不容易出错.解含参
数方程或绝对值方程时,要学会代入和分类讨论。列方程解应用题,主要是列方程,要注意列出的方程必须能解、易解,也就是列方程时要选取合适的等量关系。
【典型例题】
例1已知方程2x+3=2a 与2x+a=2的解相同,求a 的值.
分析 因为两方程的解相同,可以先解出其中一个,把这个方程的解代入另一个方程,即可求解.认真观察可知,本题不需求出x ,可把2x 整体代入.
解 由2x+3=2a ,得 2x=2a-3. 把2x=2a-3代入2x+a=2得
2a-3+a=2, 3a=5,
所以 3
5
=a
例2 解方程 3
1
221+-
=--
x x x 分析 这是一个非常好的题目,包括了去分母容易错的地方,去括号忘变号
的情况.
解 两边同时乘以6,得
6x-3(x-1)=12-2(x+1) 去分母,得
6x-3x+3=12-2x-2 6x-3x+2x=12-2-3 5x=7 x=
5
7 例3某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.
分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系,因销售价=进价×(1+利润率),故还需设出进价,利用销售价不变,辅助设元建立方程.
解:设原进价为x 元,销售价为y 元,那么按原进价销售的利润率为 %100?-x x y ,原进价降低后在销售时的利润率为%100%6.93%6.93?-x x
y ,由题意得: %100?-x x y +8%=%100%6.93%6.93?-x
x
y
解得 y=1.17x
故这种商品原来的利润率为
%10017.1?-x
x
x =17%. 例4解方程 │x-1│+│x-5│=4
分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论,而对于含两个绝对值的方程,道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”,再把“零点”放中数轴上对x 进行讨论.
解:由题意可知,当│x-1│=0时,x=1;当│x-5│=0时,x=5.1和5两个“零点”把x 轴分成三部分,可分别讨论:
1)当x<1时,原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4,解得 x=1.因x<1,所以x=1应舍去.
2)当1≤x ≤5时,原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4,解得 4=4,所以x 在1≤x ≤5范围内可任意取值.
3)当x>5时,原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4,解得 x=5.因x>5,故应舍去. 所以, 1≤x ≤5是比不过的。
【核心练习】
1、已知关于x 的方程3[x-2(x-3a )]=4x 和18
51123=--+x
a x 有相同的解,那么这
个解是 .(提示:本题可看作例1的升级版)
2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/小时的速度从乙地返回
甲地,那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.
【参考答案】
1、
28
27
2、4.8 生活中的数据篇
【核心提示】
生活中的数据问题,我们要分清三种统计图的特点,条形图表示数量多少,折线图表示变化趋势,扁形图表示所占百分比.学会观察,学会思考,这类问题相对是比较简单的.
【典型例题】
例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果:(单位:分)
研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队,并回答下列问题:
(1)你是怎样设计统计图的?
(2)你是怎样评价这两支球队的?和同学们交流一下自己的想法.
分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图,达到直观、有效地目的.
解用复式条形统计图:(如下图)
从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.
例2根据下面三幅统计图(如下图),回答问题:
(1)三幅统计图分别表示了什么内容?
(2)从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况?
(3)2050年非洲人口大约将达到多少亿?你是从哪幅统计图中得到这个数据的?
(4)2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论?
分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答.
解(1)折线统计图表示世界人囗的变化趋势,条形统计图表示各洲人囗的多少,扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.
(2)折线统计图
(3)80亿,折线统计图. (4)扇形统计图
【核心练习】
1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图,根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)哪国金牌数最多? (2)中国可排第几位?
(3)如果你是中国队的总教练,将会以谁为下一次奥运会的追赶目标?
【参考答案】
1、(1)美国 (2)第3位 (3)俄罗斯.
平行线与相交线篇
【核心提示】
平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单,当交替使用时就不太好把握了,有时不易分清何时用性质,何时用判定.我们只要记住因为是条件,所以得到的是结论,再对照性质定理和判定定理就容易分清了.
这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了,但如何写出来呢?往往不知道先写什么,后写什么.写过程是为了说清楚一件事,是为了让别人能看懂,我们带着这种目的去写就能把过程写好了.
【典型例题】
例1平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线( )条.
A .7
B .6
C .9
D .8 分析与解 这样的5个点我们可以画出来,直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A 、B 、C 三点在一条直线上,D 、
E 两点分别和A 、B 、C 各确定3条直线共6条,A 、B 、C 三点确定一条直线,D 、E 两点确定一条直线,这样5个点共确定8条直线.故选D.
例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证:AB ∥CD. 分析 要证明两条直线平行,可考虑使用哪种判定方法得到平行?已知三个角的度数,但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE 可用内错角证明
O
G F E D
C B A
A B E F D
平行.过点E 作AB 的平行线,可证明FG 与CD 也平行,由此得到AB ∥CD.连接BD ,利用同旁内角互补也可证明.
解 延长BE 交CD 于O , ∵∠BED=60°, ∠D=20°,
∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°, ∵∠B=40°,
∴∠BOD=∠B , ∴AB ∥CD.
其他方法,可自己试试! 例3如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED ,CE 是∠ACB 的平分线,求证: ∠EDF=∠BDF.
分析 由CE 、DF 同垂直于AB 可得CE ∥DF ,又知AC ∥ED ,利用内错角和同位角相等可得到结论.
解 ∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB , ∴CE ∥DF
∴∠EDF=∠DEC , ∠BDF=∠DCE , ∵AC ∥ED ,
∴∠DEC=∠ACE ,
∴∠EDF=∠ACE.
∵CE 是∠ACB 的平分线, ∴∠DCE=∠ACE , ∴∠EDF=∠BDF.
例4如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠CAB 与∠CBA 的
平分线相交于O 点,求∠AOB 的度数.
分析 已知∠C=90°,由此可知∠CAB 与∠CBA 的和为90°,由角平分线性质可得∠OAB 与∠OBA 和为45°,所以可得∠AOB 的度数. 解 ∵OA 是∠CAB 的平分线,OB 是∠CBA 的平分线,
∴∠OAB=21∠CAB ,∠OBA=2
1
∠CBA ,
∴∠OAB+∠OBA=21∠CAB+21∠CBA=21(∠CAB+∠CBA )=2
1
(180°-∠C )=45°,
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA )=135°.
(注:其实∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA )=180°-2
1
(180°-∠C )
=90°+2
1
∠C.
所以∠AOB 的度数只和∠C 的度数有关,可以作为结论记住.)
【核心练习】
1、如图,AB ∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证:β=2α.(提示:本题可看作例2的升级版)
2、如图,E 是DF 上一点,B 是AC 上一点,∠1=∠2, ∠C=∠D ,求证:∠A=∠F.
A
B C O 1
2
3
4
A
B
C
D
E
F A
B
C
E
D
【参考答案】
1、可延长BC 或DC ,也可连接BD ,也可过C 做平行线.
2、先证BD ∥CE ,再证DF ∥AC.
三角形篇
【核心提示】
三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法,找出对应的边和角,注意一定要对应,不然会很容易出错.如用SAS 证全等,必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等,条件中不具备两个全等的三角形,我们就需要适当作辅助构造全等.
【典型例题】
例1如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别在BC 、AC 边上,且∠1=∠B ,AD=DE.求证:△ADB ≌△DEC. 分析 要证△ADB 和△DEC 全等,已具备AD=DE 一对边,
由AB=AC 可知∠B=∠C ,还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B 知,找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.
证明 ∵AB=AC , ∴∠B=∠C , ∵∠1=∠B , ∴∠1=∠C ,
∵∠BDA=∠DAC+∠C ,∠CED=∠DAC+∠1
1
A
E
D
C B
∴∠BDA=∠CED. 在△ADB 和△DEC 中
??
?
??=∠=∠∠=∠DE AD CED BDA C B , ∴△ADB ≌△DEC (AAS ).
例2如图,AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ,CD 过点E ,求证:AB=AC+BD.
分析 要证AB=AC+BD 有两种思路,可以把AB 分成两段分别和AC 、BD 相等,也可以把AC 、BD 平移连接成一条线段,证明其与AB 相等.下面给出第一种思路的过程.
证明 在AB 上截取AF=AC ,连接EF , ∵EA 别平分∠CAB , ∴∠CAE=∠FAE , 在△ACE 和△AFE 中
??
?
??=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC , ∴△ACE ≌△AFE (SAS ), ∴∠C=∠AFE. ∵AC ∥BD ,
∴∠C+∠D=180°, ∵∠AFE+∠BFE=180°, ∴∠BFE=∠D. ∵EB 平分∠DBA, ∴∠FBE=∠DBE 在△BFE 和△BDE 中
??
?
??=∠=∠=∠BE BE D BFE DBE FBE ∴△BFE ≌△BDE(AAS), ∴BF=BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC+BD.
例3如图,BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高,点P 在BD 的延长线上,BP=AC ,点Q 在CE 上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ ;(2)AP ⊥AQ.
分析 观察AP 和AQ 所在的三角形,明显要证△ABP 和△
QCA 全等.证出全等AP=AQ 可直接得到,通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.
证明 (1)∵BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高,
A P
Q
E
D
C
B
F
E
D
C
B
A
∴∠AEC=∠ADB=90°,
∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°, ∴∠ABP=∠QCA 在△ABP 和△QCA 中
??
?
??=∠=∠=BA CQ QCA ABP CA BP ∴△ABP ≌△QCA(SAS), ∴AP=AQ.
(2)由(1)△ABP ≌△QCA , ∴∠P=∠QAC ,
∵∠P+∠PAD=90°, ∴∠QAC+∠PAD=90°, ∴AP ⊥AQ.
【核心练习】
1、如图,在△ABC 中,AB=BC=CA ,CE=BD ,则∠AFE=_____度.
2、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°AB=AC.D 为AC 中点,AE ⊥BD ,垂足为E.延长AE 交BC 于F.求证:∠ADB=∠CDF
【参考答案】
1、60
2、提示:作∠BAC 的平分线交BD 于P ,可先证△ABP ≌△CAF ,再证△APD ≌△CFD.
生活中的轴对称篇
【核心提示】
轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形,会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一,好
F E
D
C
B
A F
E D
C
B
A
记但更要想着用,有时往往忽略性质的应用.
【典型例题】
例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称
.
分析与解 根据轴对称的定义和性质,仔细观察,可知(1)是错误的,(2)是成轴对称的.
例2下列图形中对称轴条数最多的是( )
A.正方形
B.长方形
C.等腰三角形
D.等腰梯形
E.等边三角形
F.角
G.线段
H.圆
I.正五角星 分析与解 有一条对称轴的是C 、D 、F 、G ,有三条对称轴是E ,有四条对称轴的是A ,有两条对称轴的是B ,有五条对称轴的是I ,有无数条对称轴的是H.故选H.
例3 如图,AOB 是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更
加坚固,需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等,则最多能添加这样的钢管______根. 分析 由添加的钢管长度都与OE 相等,可知每增加一
根钢管,就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中
垂线段最短可知,当添加的钢管和OA 或OB 垂直时,就不能再添加了.
解 每添加一根钢管,就形成一个外角.如添加EF 形成外角∠FEA ,添加FG
.故最多能添加这样的钢管8根.
例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家,每天外公都带领小明去放羊,早晨从家出发,到一片草场放羊,天黑前再把羊牵到一条小河边饮水,然后再回家,如图所示,点A 表示外公家,点
B
表示草场,直线l 表示小河,请你帮助小明和他外公设计一个方案,使他们每天所走路程最短?
分析 本题A (外公家)和B (草场)的距离已确定,只需找从B 到l (小河)再到A 的距离如何最小.因A 和B 在l 的同侧,直接确定饮水处(C 点)的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A 点转化到河流的另一侧,设为A ′,不论饮水处在什么位置,A 点与它的对称点A ′到饮水处前距离都相等,当A ′到B 的距离最小时,饮水处到A 和B 的距离和最小.也可作B 的对称点确定C 点.
解 如图所示,C 点即为所求饮水处的位置.
A B M
H G F E O
【核心练习】
1、请用1个等腰三角形,2个矩形,3个圆在下面的方框内设
计一个轴对称图形,并用简练的语言文字说明你的创意.
2、如图所示,AB=AC,D是BC的中点,DE=DF,BC∥EF.这个图
形是轴对称图形吗?为什么?
【参考答案】
1、略
2、是轴对称图形,△ABC与△DEF的对称轴都过点D,都与BC垂直,所以是两条对称轴是同一条直线.
通过这些核心题目的练习,如能做到举一反三,触类旁通,灵活应变.不仅会节约很多时间和精力,或许这样的练习会很有效.
新初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是 () A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式 B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4 C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1 D.若甲组数据的方差2s甲=0.128,乙组数据的方差2s乙=0.036,则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案. 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用抽查的方式,故原说法错误; B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误; C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确; D、若甲组数据的方差s甲2=0.128,乙组数据的方差s乙2=0.036,则乙组数据更稳定,故原说法错误; 故选:C. 【点睛】 此题考查概率的意义,全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义,正确掌握相关定义是解题关键. 2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是() A.1 2 B. 1 3 C.4 9 D. 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.
【详解】 ∵总面积为3×3=9,其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4, ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选:C. 【点睛】 本题考查了几何概率的求法,解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率. 3.袋中有8个红球和若干个黑球,小强从袋中任意摸出一球,记下颜色后又放回袋中,摇匀后又摸出一球,再记下颜色,做了50次,共有16次摸出红球,据此估计袋中有黑球()个. A.15 B.17 C.16 D.18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次,其中16次摸到红球,则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次,其中16次摸到红球,∴有34次摸到黑球,∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17,∴黑球的个数8÷ 8 17 = 17(个),故答 案选B. 【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 4.欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以构酌油之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油的技艺之高超.如图,若铜钱半径为,中间有边长为的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()
人教版七年级数学知识 点及典型例题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020
第一章有理数 知识点一?有理数的分类 有理数的另一种分类 想一想:零是整数吗自然数一定是整数吗自然数一定是正整数吗整数一定是自然数吗
零是整数;自然数一定是整数;自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。 知识点二?数轴 1.填空 ① 规定了唯一的原点,正方向和单位长度( 三要素)的直线叫做数轴。 ② 比-3大的负整数是-2、-1。 ③与原点的距离为三个单位的点有2个,他们分别表示的有理数是3、-3。 2.请画一个数轴,并检查它是否具备数轴三要素? 3.选择题 ① 在数轴上,原点及原点左边所表示的数是() A整数B负数C非负数D非正数
②下列语句中正确的是() A数轴上的点只能表示整数 B数轴上的点只能表示分数 C数轴上的点只能表示有理数 D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 答案 AD 知识点三?相反数 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。 知识点四?绝对值 1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2.绝对值的代数定义:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个负数数的绝对值是它的相反数;(3)0的绝对值是0;(4)|a|大于或者等于0。 3.比较两个数的大小关系 数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。由此可知:(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。 知识点五?有理数加减法 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2.互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加,仍得这个数。
如图,已知D是△A B C内一点,试说明A B+A C>B D+C D 证明:延长BD交AC于E 在△ABC中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE……①在△DEC中,DE+EC>DC……② ①+②,得(AB+AE)+(DE+EC)>(BD+DE)+CD 即AB+(AE+EC)+DE>(BD+DE)+CD 即AB+AC+DE>BD+DE+CD ∴AB+AC>BD+CD 如图,△ABC中,D是BC的中点,求证: (1)AB+AC>2AD (2)若AB=5,AC=3,求AD的范围。 (1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG 在△CDA和△BDE中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D是BC的中点 D C B A E A B C D G
∴CD=BD ∴△CDA ≌△BDG. ∴BG=AC 在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD 因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE >AG ∴AB+BC >2AD (2)AB-AC <2AD <AB+AC 2<2AD <8 1<AD <4 如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,点F 为DE 的中点,求证:BC=2AF. 延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF B D C
所以△AFE≌△DFG.(SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE. ∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行) 则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补) 又∵∠BAC+∠DAE=180°. ∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB. ∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF. 如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证:AE=2AD 证明:在AD的延长线上取点F,使AD=FD,连接CF ∵AD是中线 ∴BD=CD,AD=FD,∠ADB=∠FDC ∴△ABD≌△FCD (SAS) F E C D B A
1.有人编写了一个程序,从1开始,交替做乘法或加法,(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或是加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如30,可以这样得到: 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30,请问怎样可以得到:2的100次+2的97次-2 解答:1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=(2的3次+2-2)*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2 2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作,请算出诗中有多少僧人? 巍巍古寺在云中,不知寺内多少僧。 三百六十四只碗,看看用尽不差争。 三人共食一只碗,四人共吃一碗羹。 请问先生明算者,算来寺内几多僧? 解答:三人共食一只碗:则吃饭时一人用三分之一个碗, 四人共吃一碗羹:则吃羹时一人用四分之一个碗, 两项合计,则每人用1/3+1/4=7/12个碗, 设共有和尚X人,依题意得: 7/12X=364 解之得,X=624 3.两个男孩各骑一辆自行车,从相距2O英里(1英里合1.6093千米)的两个地方,开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间,一辆自行车车把上的一只苍蝇,开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把,就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返,在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O 英里的等速前进,苍蝇以每小时15英里的等速飞行,那么,苍蝇总共飞行了多少英里? 解答:每辆自行车运动的速度是每小时10英里,两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里,因此在1小时中,它总共飞行了15英里。 4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一,共三卷,上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则,中卷举例说明筹算分数法和开平方法,都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下:令有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雄、兔各几何? 解答:设x为雉数,y为兔数,则有 x+y=b,2x+4y=a 解之得:y=b/2-a, x=a-(b/2-a) 根据这组公式很容易得出原题的答案:兔12只,雉22只。
绝对值经典练习 1、判断题: ⑴、|-a|=|a|. ⑵、-|0|=0. ⑶、|-3 |=-3 . ⑷、-(-5)-|-5|. ⑸、如果 a=4,那么 |a|=4. ⑹、如果 |a|=4, 那么 a=4. ⑺、任何一个有理数的绝对值都是正数. ⑻、绝对值小于 3 的整数有 2, 1,0. ⑼、-a 一定小于 0. ⑽、如果 |a|=|b|,那么a=b. ⑾、绝对值等于本身的数是正数. ⑿、只有 1 的倒数等于它本身 . ⒀、若 |-X|=5 ,则 X=-5. ⒁、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数. ⒂、一个数的绝对值等于它的相反数,那么这个数一定是负数. 2、填空题: ⑴、当 a_____0 时, -a0; ⑵、当 a_____0 时, 0; ⑶、当 a_____0 时, - 0; ⑷、当 a_____0 时, |a|0; ⑸、当 a_____0 时, -aa; ⑹、当 a_____0 时, -a=a; ⑺、当 a0 时, |a|=______; ⑻、绝对值小于 4 的整数有 _____________________________; ⑼、如果 mn0,那么 |m|____|n|; ⑽、当 k+3=0 时, |k|=_____; ⑾、若 a、b 都是负数,且 |a||b|,则a____b; ⑿、|m-2|=1, 则 m=_________; ⒀、若 |x|=x, 则 x=________; ⒁ 、倒数和绝对值都等于它本身的数是 __________; ⒂、有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则|a|=___;|b|=____; ⒃、-2 的相反数是 _______,倒数是 ______,绝对值是 _______; ⒄、绝对值小于10 的整数有 _____个,其中最小的一个是_____; ⒅、一个数的绝对值的相反数是,这个数是_______;
七年级数学下册测试题 1、 如图(2)所示,1l ∥2l ,AB ⊥1l ,∠ABC=130°,那么∠α的度数为( ) A 、60° B 、50° C 、40° D 、30° 2、 适合C B A ∠=∠= ∠3 1 21的△ABC 就是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确 3、 一个n 边形的内角与等于它外角与的5倍,则边数n 等于( ) A 、24 B 、12 C 、8 D 、6 4、如图(5)BC ⊥ED 于点M,∠A=27°,∠D=20°,则∠B= °,∠ACB= ° 5、已知如图(8),△ABC 中,AB >AC,AD 就是高,AE 就是角平分线,试说明 )(2 1 B C EAD ∠-∠= ∠ 6、如图(9),在四边形ABCD 中,∠A=∠C,BE 平分∠ABC,DF 平分∠ADC,试说明BE ∥DF 。 7、如图,每一个图形都就是由小三角形“△” 拼成的 : …… ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 观察发现,第10个图形中需要 个小三角形,第n 个图形需要 个小三角形。 8、如图(11),BE ∥AO,∠1=∠2,OE ⊥OA 于点O,EH ⊥CO 于点H,那么∠5=∠6,为什么? 9、 若n 为正整数,且72=n x ,则n n x x 2223)(4)3(-的值为( ) A 、833 B 、2891 C 、3283 D 、1225 10、若2=-b a ,1=-c a ,则2 2)()2(a c c b a -+--等于( ) A 、9 B 、10 C 、2 D 、1 11、计算m m 525÷的结果就是( ) A 、5 B 、20 C 、m 5 D 、m 20 ⑶20 10 225.0? ⑷()[]()()5 32 2 32 3 34b a b a b a -?-?- ⑸( )[]()()522 343 225 x x x x -÷-?-÷ 13、若3-=a ,25=b 。则20052005 b a +的末位数就是多少? 14、 多项式b x x ++2 与多项式22 --ax x 的乘积不含2 x 与3 x 项,则 2)3 (2b a --的值就是( ) A 、8- B 、4- C 、0 D 、9 4- 图(5) C D M B E A 图(8)D B C E A 图(9) E B F C D A 图(11) H O C E B A 6 5 4 3 21
初一经典应用题汇总 1、绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示: 类别冰箱彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1) 按国家政策,农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买 了冰箱、彩电各一台,可以享受多少元的政府补贴? (2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案; ②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价进价),最大利润是多少? 解: (1) (2420+1980)×13%=572 答: 可以享受政府572元的补贴. (2) ①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,根据题意,得 2320x+1 900(40-x)≤85000, x≥(40-x). 解不等式组,得≤x≤ ∵x为正整数. ∴x= 19,20,21.