2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）
A．a2?2a2＝2a4B．x8÷x2＝x4
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣9x6
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）
A．6B．7C．8D．9
4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）
A．3.6B．3.8或3.2C．3.6或3.4D．3.6或3.2
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
6．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），∠ABC＝120°，则k的值是（）
A．5B．4C．3D．2
7．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）
A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8 且k≠2D．k＜4且k≠﹣2
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）
A．4B．8C．D．6
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）
A．12种B．15种C．16种D．14种
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）5G信号的传播速度为300000000m/s，将数据300000000用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．
13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝°．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．
19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE
折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．
20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝3tan30°﹣3．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠P AB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求ME的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC ＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝；
（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．解：A、a2?2a2＝2a4，正确；
B、x8÷x2＝x6，故此选项错误；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，故此选项错误；
故选：A．
2．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；
第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；
所以最多有：2+1+3+1＝7（个）．
故选：B．
4．解：∵从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是4，
∴x＝2或x＝1，
当x＝2时，这组数据的平均数为＝
3.6；
当x＝1时，这组数据的平均数为＝
3.4；
即这组数据的平均数为3.4或3.6，
故选：C．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k ＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，解得：k ≤．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝AD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点B（﹣1，1），
∴OB ＝，
∴AO ＝＝，
∵直线BD的解析式为y＝﹣x，
∴直线AD的解析式为y＝x，
∵OA ＝，
∴点A 的坐标为（，），
∵点A在反比例函数y ＝的图象上，
∴k ＝＝3，
故选：C．
7．解：分式方程﹣4＝，
去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，
去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，
解得：x ＝，
由分式方程的解为正数，得到＞0，且
≠2，
解得：k＞﹣8且k≠﹣2．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH ＝BD，
∵菱形ABCD 的面积＝×AC×BD ＝×12×
BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH ＝BD＝4；
故选：A．
9．解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，
根据题意得10m+20n+30＝200，
整理得m+2n＝17，
∵m、n都是正整数，0＜2m＜17，
∴m＝1，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得10m+20n+60＝200，
整理得m+2n＝14，
∵m、n都是正整数，0＜2m＜14，
∴m＝1，2，3，4，5，6；
∴有8+6＝14种购买方案．
故选：D．
10．解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH ＝BE，
∵AF ＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠F AE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△F AE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF ＝x，
∴S△AEF ＝?（a﹣x）×x ＝﹣x2+ax ＝﹣（x2﹣ax +a2﹣a2）＝﹣（x ﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x ＝a时，△AEF 的面积的最大值为a2．故
④正确，
当BE ＝a时，设DG＝x，则EG＝x +a，
在Rt△AEG中，则有（x +a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x ＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故选：D．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．解：300000000＝3×108．
故答案为：3×108．
12．解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
13．解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
14．解：画树状图如图所示：
∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为＝，
故答案为：．
15．解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式2x﹣a＜0，得：x ＜，
则不等式组的解集为1＜x ＜，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则3＜≤4，
解得6＜a≤8，
故答案为：6＜a≤8．
16．解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°．
故答案为50．
17．解：∵S ＝l?R，
∴?l?15＝150π，解得l＝20π，
设圆锥的底面半径为r，
∴2π?r＝20π，
∴r＝10（cm）．
故答案为：10．
18．解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC═AD＝4，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ABD＝45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD＝AT＝4，∠TAE＝∠EAD＝45°，
∴∠TAD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴B，A，T共线，
∴CT ＝＝4，
∵EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG＝EC，
∴EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，
∵TE+EC≥TC，
∴EC+CG≥4，
∴EC+CG的最小值为4．
19．解：分两种情况：
①当点B'落在AD边上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，
∴∠BAE＝∠B'AE ＝∠BAD＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝1，AE ＝AB ＝；
②当点B'落在CD边上时，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，
∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE ＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝a ﹣a ＝a，B'D ＝
＝，
在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴＝，即＝，
解得：a ＝，或a＝0（舍去），
∴BE ＝a ＝，
∴AE ＝＝＝；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
20．解：∵点B坐标为（1，1），
∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，
∵A1（2，3），
∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，
∴B1（5，3），
∴A2（8，9），
∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，
∴B2（17，9），
同理可得B4（53，27），
B5（161，81），
…
由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），
∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．
三、解答题（满分60分）
21．解：原式＝（﹣）÷
＝?
＝，
当x＝3tan30°﹣3＝3×﹣3＝﹣3时，
原式＝
＝
＝1﹣．
22．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（0，2）；
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（﹣3，﹣3）；
（3）如图，
∵BC ＝＝4，
∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：
+×3×4＝8π+6．
23．解：（1）根据题意得，
解得．
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴是x＝（﹣1+3）÷2＝1，
当x＝0时，y＝3，
则C（0，3），
点C关于对称轴的对应点P1（2，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
则3k+3＝0，
解得k＝﹣1．
则直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设与BC平行的直线AP的解析式为y＝﹣x+m，则1+m＝0，
解得m＝﹣1．
则与BC平行的直线AP的解析式为y＝﹣x﹣1，联立抛物线解析式得，
解得，（舍去）．
P2（4，﹣5）．
综上所述，P1（2，3），P2（4，﹣5）．24．解：（1
）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：
＝100.8，
∵100.8＞100，
∴超过全校的平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100～120范围内；
（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），
故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均
数的概率是．
25．解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：
，解得，
∴ME的解析式为y＝50x+50；
（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：
，解得，
∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；
设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：
，解得，
∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，
解方程组得，
同理可得x＝7h，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；
（3）（9﹣7）×50＝100（km），
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．
26．解：（1）如图①中，
∵AM＝ME，AP＝PB，
∴PM∥BE，PM ＝BE，
∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN ＝AD，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴PM＝PN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN的等腰直角三角形，
∴MN ＝PM，
∴MN ＝?BE，
∴BE ＝MN，
故答案为BE ＝MN．
（2）如图②中，结论仍然成立．
理由：连接AD，延长BE交AD于点H．
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，
∴△ECB≌△DCA（AAS），
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，
∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）
＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）
＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）
＝180°﹣90°
＝90°，
∴BH⊥AD，
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM ＝BE，PN∥AD，PN ＝AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∴BE＝2PM＝2×MN ＝MN．
27．解：（1）依题意，得：，解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
（3）购买方案1的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）；
购买方案2的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）；
购买方案3的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）．
∵516＜518＜520，
∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a ≤．
答：a 的最大值为．
28．解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝12，BC ＝CD＝6，
∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，
∴CN ＝BC＝3，
故答案为：3．
（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴MH ＝MD ＝t，
∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，
∴BN ＝CN＝9，
当0＜t ＜时，△PMN的面积s ＝×（9﹣2t）×t ＝﹣t2+t；
当t ＝时，点P与点N重合，s＝0，
当＜t≤6时，△PMN的面积s ＝×（2t﹣9）×t ＝t2﹣t；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN＝PM＝9﹣2t时，
∵PM2＝MH2+PH2，
∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2t ﹣t）2，
∴t＝3或t ＝，
∴BP＝6或，
当BP＝6时，
∵∠DBC＝30°，PE⊥BC，∴PE ＝BP＝3，BE ＝PE＝3，
∴点P（3，3），
当BP ＝时，
同理可求点P （，），
当PN＝NM＝9﹣2t时，
∵NM2＝MH2+NH2，
∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2，
∴t＝3或24（不合题意舍去），
∴BP＝6，
∴点P（3，3），
综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．