2014全国各地中考数学压轴题集锦答案(一)
2014全国各地中考数学压轴题集锦答案（一）
1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x
2＋2x ＋m －2与
y
轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒
5
个单位长度、每秒25
个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x
2
＋2x
＋
m －2有公共点，求t 的取值范围．
x
O
y
A B
C
P Q M
∵P、Q在直线直线y＝2x上
∴设P（x，2x），则Q（2x，4x）（x＜0）
∴x2＋4x2＝5t，∴x＝－t
∴P（－t，－2t），Q（－2t，－4t）
∴M（－2t，－2t）
当M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t2－4t
＋3
解得t＝13－1
4（舍去负值）
当P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t2－2t＋3 解得t＝3（舍去负值）
∴t的取值范围是：13－1
4≤t≤ 3
2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax2＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O 点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x 轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF．
①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长； ②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时
P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与
直线AC 交于G 点，QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边
恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）
解：（1）∵抛物线y 1＝ax
2
＋3x ＋c 经过原点及点A
（1，2）
∴???c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得
???a ＝－1
c ＝0
x A
y
O B C P F E
D Q G
N M x
A
y
O B C P
F E
D Q G
N M H
∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x
2＋3x
令y 1＝0，得－x
2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3
∴B （3，0）
（2）①由题意，可得C （6，0） 过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a 可得△ODP ∽△OAH ，∴
DP
OP
＝
AH
OH
＝2
∴DP ＝2OP ＝2a
∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x
2＋3x 上
∴2a ＝－9a
2
＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝
7
9
∴OP 的长为
7
9
②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b
∴???2＝k ＋b 0＝6k ＋b 解得k ＝
2 5 ，b ＝
12 5
∴直线AC 的解析式为y ＝－
2 5 x ＋
12 5
由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝
4
5
t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 O P N Q C x
y
D A
E
F M G
O P N Q C
x
y
D A
E F M
G
∴3t ＋2t ＋
4 5 t ＝6，∴t ＝
30
29
当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝
6
5
当DP 与MN 重合时，则
OP ＋CN ＝6
∴t ＋2t ＋
4 5 t ＝6，∴t ＝
30
19
当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6 ∴t ＋2t ＝6，∴t ＝2
3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax
2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）
两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使
O
P N Q
C
x
y
D A E
F M
G
O P N
Q
C x
y
D
A E
F M
G