高中数学-数列求和及数列通项公式

数列求和

通项分式法 错位相减法 反序相加法

分组法 分组法 合并法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求

和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，

就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最

重要的方法.

1、 等差数列求和公式：

d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：

???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q

a a q

q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(21

1+==

∑=n n k S n

k n 4、

)12)(1(61

12++==∑=n n n k S n

k n

5、 2

1

3)]1(21[+==∑=n n k S n

k n

[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x 2

的等比数列而

且有n+3项

当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母

表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．

对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+

1

2

2

2-?+n ），……的前顶和为

n

s

，则

n

s

的

值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来

的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们

的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列

的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列

和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以

组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数

列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x

n x x x S （

1≠x ）………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设

n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=…

……………………. ② （设制错位）

①－②

得

n n n x x x x x S x 2(222221)1(1432-

-+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴

2

1)

1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项

2

1

1=

a ，前n

项和为n S ，且

0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的

通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [

例] 求证：

n n

n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设

n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=…………

……………….. ①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 又由m n n m n C C -=可得

n

n

n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+

②

得

n

n n

n n

n

n

n n C C

C C n S 2)1(2))(22(2110

?+=++???+++=- （反序相加）

∴ n

n n S 2)1(?+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中

{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，

求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列 16

1

4,813,412,211的前n 项和；

分析：数列的通项公式为n n n a 2

1

+=，而数

列{}?

??

???n n 21,分别是等差数列、等比数列，求和时一

般用分组结合法；

[解] ：因为n

n n a 21

+

=，所以 )2

1

()813()412()211(n n n s ++++++++=

)21

814121()321(n n +++++++++= （分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内

是一个等差数列的和，因此

12

12211)

211(212)1(2+-+=-

-++=n n n n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂

项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解

（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）11

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）

)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（

5

）

])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

[例] 求数列???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前

n 项和.

解

：设

n n n n a n -+=++=

11

1

（裂项）

则

1

13

212

11+++

???+++

+=

n n S n

（裂项求和）

＝

)1()23()12(n n -++???+-+-

＝11-+n

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。 [

练习] 在数列{a n }中，

1

1211++???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数

列{b n }的前n 项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++= 由

等

比

数

列

的

性

质 q

p n m a a a a q p n m =?+=+

（找特殊性质项）

和

对

数

的

运

算

性

质

N M N M a a a ?=+log log log 得 (lo

)log (log )log (log 932310313a a a a S n +???++++= （合并求和） ＝

)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+?

＝9log 9log 9log 333+???++

＝10

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性

也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基

本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求

数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例 2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，

求数列{}n a 的通项公式。 例4 已

知

数

列

{}

n a 满足

1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通

项公式。

三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，

求数列{}n a 的通项公式。

例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求

{}n a 的通项公式。

四、待定系数法

例7 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求

数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，

求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列

{}

n a 满足

21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公

式。

五、对数变换法

例10 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求

数列{}n a 的通项公式。

六、迭代法

例11 已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数

列{}n a 的通项公式。

七、数学归纳法 例12 已知数列{}n a 满足

1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。

八、换元法 例

13

已

知

数

列

{}

n a 满

足

111

(14116

n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-==+，，求

数列{}n a 的通项公式。

例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-==+，，求数

列{}n a 的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-==+，，求

数列{}n a 的通项公式。

例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-==+，，求数

列{}n a 的通项公式。

课间辅导---数列求和

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，

731,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足

n n n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=.

（1）设3+=n n a b ，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n na 的前n 项和.

3．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和

为n S ，满足25225=-a S ，且1341,,a a a 恰为等比数列

{}n b 的前三项.

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项；

（2）设n T 是数

前n 项和，是否存在

+∈N k ，

求出k 的值；若不存在，说明理由.

4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，

且

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设*

3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程

11n n b b +++

的n 值. 5．在数列{}n a 中，142n n S a +=+，11a =． （1）12n n n b a a +=-，求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ． 6．已知正项数列{}n a 满足12a =且

22*11(1)0()n n n n n a a a na n N ++++-=∈．

（I ）证明数列{}n a 为等差数列； （II ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 7．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，

39b =，11a b =，144a b =．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．

8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足

是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 中，3,221==a a ，其前n 项和n S 满足

1211+=+-+n n n S S S ，其中*∈≥N n n ,2．

（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；

（2）设n

n n a b -?=2，n T 为数列{}n b 的前n 项和．

①求n T 的表达式；

②求使2>n T 的n 的取值范围．

课间辅导---数列求和

1．（1）1n a n =+；（2）22

)1(1

+?-=+n n n T .

试题解析：（1）712

3a a a =，即)6()2(112

1d a a d a +=+，化简得或0=d .

，得21=a 或1=d ， ∴1)1(2)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ，即1+=n a n ； 当0=d 时，由93=S ，得31=a ，即有3=n a . （2）由题意可知n

n n b 2?=，

∴n

n n n b b b T 222212

21?+???+?+?=+???++=①

13222)1(22212+?+?-+???+?+?=n n n n n T ②，

①-②得：22)1(2222211

3

2

-?--=?-+???+++=-++n n n

n n n T ，

∴22

)1(1

+?-=+n n n T .

考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.

2．（1）证明见解析，323n

n a =?-；（2 试题解析：（1）∵n a S n n 32-=对于任意的正整数都成立，∴)1(3211+-=++n a S n n ， 两式相减，得n a n a S S n n n n 32)1(3211+-+-=-++，

∴32211--=++n n n a a a ，即321+=+n n a a ，∴)3(231+=++n n a a ， 对一切正整数都成立，∴数列{}n b 是等比数列.

由已知得3211-=a S ，即3211-=a a ，∴31=a ，

∴首项6311=+=a b ，公比126,2-?=∴=n n b q ，∴3233261-?=-?=-n

n n a . （2）∵n n na n

n 323-??=，

∴)321(3)2232221(332n n S n

n +???+++-?+???+?+?+?=，

)321(6)2232221(321432n n S n n +???+++-?+???+?+?+?=+， )321(323)2222(3132n n S n n n +???++++?-+???+++=-+

3．（1）12+=n a n ，n

n b 3=；（2）不存在+∈N k ，使得. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ， ，联立解得2,31==d a . ∴12+=n a n ，∵9,34211====a b a b ，∴n

n b 3=. （2

，∴不存在+∈N k ，使得. 4．（1

2）101n =

试题解析：（1）当1n =时，

当1n >时，

（2，∴n b n =-，

11n n b b +++

2551，解得101n =.

5．（1）由已知有12142a a a +=+，解得1325a +=，故12123b a a =-=，

2211142(42)44n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=+-+=-

于是21122(2)n n n n a a a a +++-=-，即12n n b b +=． 因此数列{}n b 是首项为3，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，等比数列{}n b 中13b =，公比2q =，

所以1

1232n n n a a -+-=?．

所以2

(31)2n n a n -=-

，

所以31

1424(34)22(34)22n n n n S a n n ---=+=-+=-+．

6．（I ）证明见解析；（II

试题分析：（I ）将原式变形利用累乘法

得：*2()n a n n N =∈，{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列；（II ）由（I 1(n n +

+

- 7．（1）21(1,2,3,)n a n n =-=；（2

试题分析：（1，14427a b ==? 11327d +=?2d =?21(1,2,3,)n a n n =-=；

（2）由（1）知，21n a n =-13n n b -=?n n n c a b =+=

1

213

n n --+ 1

(21)133

n n -+

+-++++=

8．（Ⅰ）3n

n a =；1

42++=n n

n ．

试题解析：（I ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，且12332a a a +=，

∴2

1112

111

32a a q a q a a q a q ?+=??=??，解得13a q ==，故3n n a =．………………5分

（II ）由（I ）得3

log n n b a n ==，所以6分 8分 的前n 项和为1

(n n ++-12分

9．（1）证明见解析；（2；②3≥n ，且*∈N n ． （1）由已知，),2(1)()(11*-+∈≥=---N n n S S S S n n n n ，即),2(11*

+∈≥=-N n n a a n n ，

112=-a a ，∴数列{}n a 是以21=a 为首项，公差为1的等差数列，∴1+=n a n ．

∴)(n f 在+N 上单调递减， ∴当2,1==n n 时，0)(>n f ，当3≥n 时，0)(

所以n 的取值范围为3≥n ，且*∈N n ．

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式 例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。 解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式 若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。 解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列求通项公式及求和9种方法

【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )

型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；

三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.

1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习

练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解