2015-2016学年广东省惠州市惠东中学高二(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填入答卷指定位置)
1.若A、B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)=()
A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1
2.若将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确的一组是()
A.B. C. D.
3.要从已编号(1﹣60)的60名学生中随机抽取6人,现用系统抽样方法确定所选取的6个同学的编号可能是()
A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48
C.1,2,3,4,5,6 D.3,13,23,33,43,53
4.盒中装有大小形状都相同的5个小球,分别标以号码1,2,3,4,5,从中随机取出一个小球,其号码为偶数的概率是()
A.B.C.D.
5.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3
6.如图所示,程序框图(算法流程图)输出的结果是()
A.2 B.4 C.8 D.16
7.下列对一组数据的分析,不正确的说法是()
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
8.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是()
A.恰有1名男生与恰有2名女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
9.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=()
A.21 B.19 C.9 D.﹣11
10.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a
11.如图,边长为1正方形ABCD中,分别在边BC、AD上各取一点M与N,下面用随机模拟的方法计算|MN|>1.1的概率.利用计算机中的随机函数产生两个0~1之间的随机实数x,y,设BM=x,AN=y,则可确定M、N点的位置,进而计算线段MN的长度.设x,y组成数对(x,y),经随机模拟产生了20组随机数:
(0.82,0.28)(0.47,0.38)(0.71,0.62)(0.68,0.83)(0.66,0.63)
(0.66,0.18)(0.01,0.35)(0.59,0.06)(0.28,0.22)(0.27,0.05)
(0.98,0.32)(0.92,0.99)(0.70,0.49)(0.38,0.60)(0.06,0.78)
(0.24,0.46)(0.17,0.75)(0.77,0.59)(0.15,0.98)(0.63,0.78)
通过以上模拟数据,可得到“|MN|>1.1”的概率是()
A.0.3 B.0.35 C.0.65 D.0.7
12.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25,圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()
A.B.C.D.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;.将答案填入答卷指定位置)
13.某学校有教师132人,职工33人,学生1485人.为了解食堂情况,拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查,则在学生中应抽取人.
14.高考数学有三道选做题,要求每个学生从中选择一题作答.已知甲、乙两人各自在这三题中随机选做了其中的一题,则甲乙两人选做的是同一题的概率是.
15.已知实数a∈[0,10],那么方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率是.
16.已知圆O:x2+y2=1及点A(2,0),点P(x0,y0)(y0≠0)是圆O上的动点,若∠OPA <60°,则x0的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,.请在答卷指定位置作答)
17.(10分)(2015秋?惠州校级期中)已知点M(x,y)的横坐标x∈{﹣2,﹣1,2},纵坐标y∈{﹣2,2}.
(1)列出所有符合条件的点M的坐标;
(2)求点M落在第二象限内的概率.
18.(12分)(2015秋?惠州校级期中)编号分别为A1,A2,A3,…,A12的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:
运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12
得分 5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18
(1)完成如下的频率分布表:
得分区间频数频率
[0,10) 3
[10,20)
[20,30)
合计12 1.00
(2)从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和大于30的概率.
19.(12分)(2015秋?惠州校级期中)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
x(年) 2 3 4 5 6
y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:
(1)求回归直线方程,并解释斜率的含义.
(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式=,=﹣b)
20.(12分)(2015秋?惠州校级期中)为了解某省去年高三考生英语听力成绩,现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩,发现全部介于[6,30]之间,将成绩按如下方式分成6组:第1组[6,10),第2组[10,14),…,第6组[26,30],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)在这50人中,分数不低于18分的有多少人?
(2)估计此次考试成绩的平均数和中位数.
21.(12分)(2015秋?惠州校级期中)已知定圆C:x2+(y﹣3)2=4,过M(﹣1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,
(1)当|PQ|=2时,求直线l的方程;
(2)求△CPQ(C为圆心)面积的最大值,并求出当△CPQ面积取得最大值时的直线l方程.
22.(12分)(2015秋?惠州校级期中)点P(x0,y0)是圆C:x2+y2=1上的一个动点,过点P 的直线l与圆C相切
(1)求证:直线l的方程为x0x+y0y=1;
(2)若直线l与x轴、y轴的交点分别为点A、B,且|PB|,|PA|,|AB|成等比数列,求点P的坐标.
2015-2016学年广东省惠州市惠东中学高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填入答卷指定位置)
1.若A、B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)=()
A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1
【考点】互斥事件的概率加法公式.
【专题】概率与统计.
【分析】根据两个事件是互斥事件,得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和,根据所给的两个事件的概率,相减得到要求事件的概率.
【解答】解:∵随机事件A、B是互斥事件,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,
∵P(A)=0.2,
∴P(B)=0.5﹣0.2=0.3,
故选:A.
【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式,是一个基础题,解题时利用两个互斥事件的和事件的概率,和一个事件的概率,做出未知事件的概率,是一个送分题.
2.若将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确的一组是()
A.B. C. D.
【考点】赋值语句.
【专题】图表型.
【分析】要实现两个变量a,b值的交换,需要借助中间量c,先把b的值赋给中间变量c,再把a的值赋给变量b,把c的值赋给变量a.
【解答】解:先把b的值赋给中间变量c,这样c=17,再把a的值赋给变量b,这样b=8,
把c的值赋给变量a,这样a=17.
故选B
【点评】本题考查的是赋值语句,考查逻辑思维能力,属于基础题.
3.要从已编号(1﹣60)的60名学生中随机抽取6人,现用系统抽样方法确定所选取的6个同学的编号可能是()
A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48
C.1,2,3,4,5,6 D.3,13,23,33,43,53
【考点】系统抽样方法.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间隔为60÷6=10,
则满足条件的编号为3,13,23,33,43,53,
故选:D.
【点评】本题主要考查系统抽样的应用,比较基础.
4.盒中装有大小形状都相同的5个小球,分别标以号码1,2,3,4,5,从中随机取出一个小球,其号码为偶数的概率是()
A.B.C.D.
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题.
【分析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法,其中号码为偶数的为:2,4,共两种,由古典概型的概率公式可得答案.
【解答】解:从5个球中随机取出一个小球共有5种方法,
其中号码为偶数的为:2,4,共两种
由古典概型的概率公式可得:
其号码为偶数的概率是
故选B
【点评】本题考查古典概型的求解,数准事件数是解决问题的关键,属基础题.
5.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3
【考点】等可能事件的概率.
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.
【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,
即P1=P2=P3,
故选:D
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.
6.如图所示,程序框图(算法流程图)输出的结果是()
A.2 B.4 C.8 D.16
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】解答算法框图的问题,要依次执行各个步骤,特别注意循环结构的终止条件,本题中是x>3就终止循环,因此累加变量累加到值3,于是计算得到结果.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得:
x=1,y=1,
满足条件x≤3,x=2,y=2;
满足条件x≤3,x=3,y=4;
满足条件x≤3,x=4,y=8;
不满足条件x≤3,退出循环,输出y的值为8.
故选:C.
【点评】本题考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用,还考查了对计数变量、累加变量的理解与应用.属于基础题.
7.下列对一组数据的分析,不正确的说法是()
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.
【专题】阅读型.
【分析】根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断.
【解答】极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中.
方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差标准差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定.方差较小的数据波动较小,稳定程度高.
平均数越小,说明数据整体上偏小,不能反映数据稳定与否.
故选B
【点评】本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义,属于基础题.
8.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是()
A.恰有1名男生与恰有2名女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
【考点】互斥事件与对立事件.
【专题】阅读型.
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案.
【解答】解:A中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件;
B中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求;
C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;
D中的两个事件是对立的,故不符合要求.
故选A
【点评】本题考查互斥事件与对立事件,解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系.属于基本概念型题.
9.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=()
A.21 B.19 C.9 D.﹣11
【考点】圆的切线方程.
【专题】直线与圆.
【分析】化两圆的一般式方程为标准方程,求出圆心和半径,由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
【解答】解:由C1:x2+y2=1,得圆心C1(0,0),半径为1,
由圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0,得(x﹣3)2+(y﹣4)2=25﹣m,
∴圆心C 2(3,4),半径为.
∵圆C1与圆C2外切,
∴,
解得:m=9.
故选:C.
【点评】本题考查两圆的位置关系,考查了两圆外切的条件,是基础题.
10.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a
【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.
【专题】概率与统计.
【分析】方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解:方法1:∵y i=x i+a,
∴E(y i)=E(x i)+E(a)=1+a,
方差D(y i)=D(x i)+E(a)=4.
方法2:由题意知y i=x i+a,
则=(x1+x2+…+x10+10×a)=(x1+x2+…+x10)=+a=1+a,
方差s2=[(x1+a﹣(+a)2+(x2+a﹣(+a)2+…+(x10+a﹣(+a)2]=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x10﹣)2]=s2=4.
故选:A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量y=ax+b,则Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
11.如图,边长为1正方形ABCD中,分别在边BC、AD上各取一点M与N,下面用随机模拟的方法计算|MN|>1.1的概率.利用计算机中的随机函数产生两个0~1之间的随机实数x,y,设BM=x,AN=y,则可确定M、N点的位置,进而计算线段MN的长度.设x,y组成数对(x,y),经随机模拟产生了20组随机数:
(0.82,0.28)(0.47,0.38)(0.71,0.62)(0.68,0.83)(0.66,0.63)
(0.66,0.18)(0.01,0.35)(0.59,0.06)(0.28,0.22)(0.27,0.05)
(0.98,0.32)(0.92,0.99)(0.70,0.49)(0.38,0.60)(0.06,0.78)
(0.24,0.46)(0.17,0.75)(0.77,0.59)(0.15,0.98)(0.63,0.78)
通过以上模拟数据,可得到“|MN|>1.1”的概率是()
A.0.3 B.0.35 C.0.65 D.0.7
【考点】模拟方法估计概率.
【专题】应用题;概率与统计.
【分析】由题意,经随机模拟产生了如下20组随机数,满足题意,可以通过列举得到共7组随机数,根据概率公式,得到结果.
【解答】解:由题意,|MN|=>1.1,∴(y﹣x)2>0.21,
20组随机数,满足题意的有(0.82,0.28),(0.66,0.18),(0.59,0.06),(0.98,0.32),(0.06,0.78),(0.17,0.75),(0.15,0.98),共7个,
∴“|MN|>1.1”的概率是=0.35,
故选:B.
【点评】本题考查模拟方法估计概率,是一个基础题,解这种题目的主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用.
12.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25,圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()
A.B.C.D.
【考点】几何概型.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°,根据几何概型概率公式得到结果.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,
∵圆心到直线的距离是=5,
∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°
根据几何概型的概率公式得到P==
故选A.
【点评】本题考查几何概型,考查学生的计算能力,确定测度是关键.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;.将答案填入答卷指定位置)
13.某学校有教师132人,职工33人,学生1485人.为了解食堂情况,拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查,则在学生中应抽取45人.
【考点】分层抽样方法.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】本题是一个分层抽样方法,根据总体数和要抽取的样本数,得到每个个体被抽到的概率,利用这个概率乘以学生人数,得到学生要抽取的人数.
【解答】解:由题意知本题是一个分层抽样方法,
∵学校有教师132人,职工33人,学生1485人,采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查,
∴每个个体被抽到的概率是=
∵学生1485人,∴在学生中应抽取1485×=45
故答案为:45
【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,本题是一个基础题.
14.高考数学有三道选做题,要求每个学生从中选择一题作答.已知甲、乙两人各自在这三
题中随机选做了其中的一题,则甲乙两人选做的是同一题的概率是.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式.
【专题】概率与统计.
【分析】两个任意选择,共有3×3=9种不同的情况,甲乙两人选做的是同一题时,共有3×1=3种不同的情况,代入古典概型概率计算公式,可得答案.
【解答】解:高考数学有三道选做题,甲、乙两人各自在这三题中随机选做了其中的一题,共有3×3=9种不同的情况,
如果甲乙两人选做的是同一题时,共有3×1=3种不同的情况,
故甲乙两人选做的是同一题的概率P==,
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题.
15.已知实数a∈[0,10],那么方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率是.
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数的性质及应用;概率与统计.
【分析】求出方程x2﹣ax+16=0有实数解对应的区间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.
【解答】解:∵实数a∈[0,10],
若方程x2﹣ax+16=0有实数解,
则△=a2﹣4×16≥0,
解得:a≤﹣8,或m≥8,
故方程x2﹣ax+16=0有实数解时a∈[8,10],
故方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率P==,
故答案为:.
【点评】本题考查的知识点是几何概型,求出方程x2﹣ax+16=0有实数解对应的区间长度,是解答的关键.
16.已知圆O:x2+y2=1及点A(2,0),点P(x0,y0)(y0≠0)是圆O上的动点,若∠OPA <60°,则x0的取值范围是(﹣1,).
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】考虑当∠OPA=60°时,x0的取值,即可得出结论.
【解答】解:当∠OPA=60°时,设AP=x,则
由余弦定理可得4=1+x2+2×,
∴x=,
∴S△OPA==.
由等面积可得|y0|=,
∴x0=(正数舍去),
∵∠OPA<60°,
∴x0的取值范围是(﹣1,).
故答案为:(﹣1,).
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,.请在答卷指定位置作答)
17.(10分)(2015秋?惠州校级期中)已知点M(x,y)的横坐标x∈{﹣2,﹣1,2},纵坐标y∈{﹣2,2}.
(1)列出所有符合条件的点M的坐标;
(2)求点M落在第二象限内的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【专题】概率与统计;集合.
【分析】(1)列举出M点的坐标,共6个,(2)基本事件共有6个,落在第二象限共有2个,利用古典概型计算公式p=计算概率.
【解答】解:(1)点M(x,y)的横坐标x∈{﹣2,﹣1,2},纵坐标y∈{﹣2,2},
所有符合条件的点M的坐标:(﹣2,﹣2),(﹣2,2),(﹣1,﹣2),(﹣1,2),(2,﹣2),(2,2),
(2)点M落在第二象限内的由(﹣2,2),(﹣1,2),其概率p==.
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及古典概型计算,属于基础题目,较简单.
18.(12分)(2015秋?惠州校级期中)编号分别为A1,A2,A3,…,A12的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:
运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12
得分 5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18
(1)完成如下的频率分布表:
得分区间频数频率
[0,10) 3
[10,20)
[20,30)
合计12 1.00
(2)从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和大于30的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【专题】概率与统计.
【分析】(1)由已知利用频率=,能得到频率分布表.
(2)得分在区间[10,20)内的运动员的编号为A2,A3,A4,A8,A11.从中随机抽取2人,利用列举法求出所有可能的抽取结果和这2人得分之和大于30的所有可能结果,由此能求出这2人得分之和大于30的概率.
【解答】(1)解:由已知得到频率分布表:
得分区间频数频率
[0,10) 3
[10,20) 5
[20,30) 4
合计12 100
…(4分)
(2)解:得分在区间[10,20)内的运动员的编号为A2,A3,A4,A8,A11.
从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A2,A3},{A2,A4},{A2,A8},{A2,A11},{A3,A4},{A3,A8},{A3,A11},
{A4,A8},{A4,A11},{A8,A11},共10种.…(7分)
“从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于30”记为事件B,则事件B的所有可能结果有:{A4,A8},{A4,A11},{A8,A11},共3种.…(10分)
所以这2人得分之和大于30的概率P(B)=.…(12分)
【点评】本题考查频率分布表的求法,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
19.(12分)(2015秋?惠州校级期中)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
x(年) 2 3 4 5 6
y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:
(1)求回归直线方程,并解释斜率的含义.
(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式=,=﹣b)
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据所给的数据,做出变量x,y的平均数,根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b,在根据样本中心点一定在线性回归方程上,求出a的值,写出线性回归方程.说明斜率的含义.
(2)当自变量为10时,代入线性回归方程,求出维修费用,这是一个预报值.
【解答】解:(1)由题意知==4,
==5
b==1.23,
a=5﹣4×1.23=0.08
所以线性回归方程是=1.23x+0.08.
斜率的含义:当其他因素不变时自变量的以单位变化引起的因变量的变化程度.
(2)当自变量x=10时,预报维修费用是y=1.23×10+0.08=12.38.
【点评】本题考查线性回归方程,考查最小二乘法,考查预报值的求法,是一个新课标中出现的新知识点,已经在广东的高考卷中出现过类似的题目.
20.(12分)(2015秋?惠州校级期中)为了解某省去年高三考生英语听力成绩,现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩,发现全部介于[6,30]之间,将成绩按如下方式分成6组:第1组[6,10),第2组[10,14),…,第6组[26,30],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)在这50人中,分数不低于18分的有多少人?
(2)估计此次考试成绩的平均数和中位数.
【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图;极差、方差与标准差.
【专题】应用题;概率与统计.
【分析】(1)根据频率分布直方图,求出频率,即可得出结论;
(2)根据频率分布直方图,求出平均数和中位数.
【解答】解:(1)分数不低于(18分)有:50×(0.05+0.03+0.02)×4=20人;…(4分)(2)平均数:(8×0.02+12×0.05+16×0.08+20×0.05+24×0.03+28×0.02)×4=17.28,…(8分)
设中位数为x,则4×0.02+4×0.05+(x﹣14)×0.08=0.5,…(10分)
解得:x=16.75,即中位数为16.75.…(12分)
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应灵活应用频率分布直方图进行简单的计算,是基础题.
21.(12分)(2015秋?惠州校级期中)已知定圆C:x2+(y﹣3)2=4,过M(﹣1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,
(1)当|PQ|=2时,求直线l的方程;
(2)求△CPQ(C为圆心)面积的最大值,并求出当△CPQ面积取得最大值时的直线l方程.【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;直线与圆.
【分析】(1)分类讨论,利用C到l的距离d=1,即可求直线l的方程;
(2)表示出面积,利用基本不等式,即可得出结论.
【解答】解:(1)当直线l与x轴垂直时,易知x=﹣1符合题意;…(2分)
当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),
由于|PQ|=2,
所以C到l的距离d==1
由=1,解得k=.…(4分)
故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0.…(6分)
(2)设C到直线l的距离为d,则|PQ|=2,…(7分)
∴△CPQ面积S==d≤=2,…(9分)
当且仅当d2=4﹣d2,即d=时,等号成立,
当l与x轴垂直时,不合题意;…(10分)
当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),d==
解得:k=﹣7或k=1,…(11分)
∴直线l的方程是:7x+y+7=0或x﹣y+1=0.…(12分)
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,三角形的面积公式,圆的标准方程,以及直线的点斜式方程,是一道多知识点的综合题.
22.(12分)(2015秋?惠州校级期中)点P(x0,y0)是圆C:x2+y2=1上的一个动点,过点P 的直线l与圆C相切
(1)求证:直线l的方程为x0x+y0y=1;
(2)若直线l与x轴、y轴的交点分别为点A、B,且|PB|,|PA|,|AB|成等比数列,求点P的坐标.
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;直线与圆.
【分析】(1)分类讨论,利用切线与直线l相切,即可证明结论;
(2)利用同一直线的三条线段|PB|,|PA|,|AB|成等比数列,可得|PB|,|PA|,|AB|在x轴的射影成等比数列,即可求点P的坐标.
【解答】(1)证明:若y0=0,则l为x=±1,
若x0=0,则l为y=±1;…(2分)
若x0y0≠0,则直线OT的斜率k OT=,
∴直线l的斜率k l=﹣,故直线l的方程为:y﹣y0=﹣(x﹣x0),
整理得:x0x+y0y=1,
经检验,当x0=0或y0=0,时,直线l的方程也满足上式,
故直线l的方程为x0=0;…(6分)
(2)解:由(1),得A(,0),B(0,),…(7分)
∵同一直线的三条线段|PB|,|PA|,|AB|成等比数列,
∴|PB|,|PA|,|AB|在x轴的射影成等比数列.
不妨设点P在第一象限,则(﹣x0)2=1.…(8分)
∵0<x0<1,∴﹣x0=1,解得x0=(负值舍去),…(10分)
将x0=代入x02+y02=1,得y0=(负值舍去),
即点P坐标为(,).…(11分)
由对称性,满足条件的点P有四个(,),(,﹣),(﹣
,),(﹣,﹣).…(12分)
【点评】本题考查直线方程,考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.