实验二插值法
实验2.1（多项式插值的振荡现象） (3)
实验要求1： (3)
程序： .................................................................................................................................................. 3 主函数： .............................................................................................................................................. 3 实验结果： .......................................................................................................................................... 5 实验要求2： .. (6)
（1）对：4
()1x
h x x
=
+ .................................................................................................................... 6 程序： .................................................................................................................................................. 6 主函数： .............................................................................................................................................. 6 实验结果： .......................................................................................................................................... 8 实验分析 .............................................................................................................................................. 8 （2）对g （x ）=arctan x .................................................................................................................... 8 程序： .................................................................................................................................................. 8 实验结果： ........................................................................................................................................ 10 实验分析 .............................................................................................................................................11 实验要求3： . (11)
程序： .................................................................................................................................................11 实验结果： ........................................................................................................................................ 13 实验分析： . (14)
实验2.2（样条插值的收敛性） (15)
实验要求（一） (15)
程序： ................................................................................................................................................ 15 数值实验结果 .................................................................................................................................... 15 实验分析 ............................................................................................................................................ 17 实验要求（二）： .. (17)
程序： ................................................................................................................................................ 17 实验总结： . (19)
实验2.3 (20)
程序： ................................................................................................................................................ 20 运行结果： . (20)
实验2.1（多项式插值的振荡现象）实验要求1：
程序：
M文件：lagrange.m
test1p1.m
Lagrange函数：
%lagrange insert
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
主函数：
x1=[-1:1:1];y1=1./(1+25*x1.^2);
x2=[-1:0.5:1];y2=1./(1+25*x2.^2);
x4=[-1:0.25:1];y4=1./(1+25*x4.^2); x5=[-1:0.2:1];y5=1./(1+25*x5.^2); x6=[-1:0.1:1];y6=1./(1+25*x6.^2); x0=[-1:0.01:1];
subplot(4,2,1)
y7=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y7,'-b')
y0=lagrange(x1,y1,x0);
y1=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,2)
plot(x0,y0,'--b')
y0=lagrange(x2,y2,x0);
y2=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,3)
plot(x0,y0,'-g')
y0=lagrange(x3,y3,x0);
y3=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,4)
plot(x0,y0,'--g')
y0=lagrange(x4,y4,x0);
y4=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,5)
plot(x0,y0,'-r')
y0=lagrange(x5,y5,x0);
y5=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,6)
plot(x0,y0,'--r')
y0=lagrange(x6,y6,x0);
y6=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,7)
plot(x0,y0,'-y')
数值实验结果及分析：
图一为原函数曲线。然后图二至图七为插值点分别为2个、4个、5个、8个、10个、20个时的函数图像。
-1-0.5
0.5
1
00.5
1-1-0.5
0.5
1
00.5
1-1-0.5
0.5
1
-10
1-1-0.5
0.5
1
-10
1-1-0.5
0.5
1
-20
2-1
-0.5
0.5
1
-20
2-1
-0.5
0.5
1
-100
100
实验分析
在此，我们看得到当采用四个和五个点进行拟合的时候，得到的函数在中间部分拟合得较好。随着插值点的次数越多，两端出现了明显的震荡。如图五、图六为插值节点增加到8个、10个的情况，得到的插值函数的图像明显与原函数的相似度很低，并且在两端出现了较大的震荡。图七增加到20个点时误差震荡极大，曲线基本不可取。从图中可以明显看到，随着插值节点的增多，虽然在中间的拟合函数拟合得比较好，在两端出现了较为明显的震荡，并且随着插值点的逐渐增多震荡越来越明显。
在这里，我们采用一个很简单的函数对其作出了很直接的验证。
（1）对：4
()1x h x x =+
程序：
M 文件：lagrange.m
test1p2a.m Lagrange 函数：
%lagrange insert
function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
主函数：
x1=[-5:2.5:5];y1=x1./(1+x1.^4); x2=[-5:2:5];y2=x2./(1+x2.^4); x3=[-5:1:5];y3=x3./(1+x3.^4);
x4=[-5:0.5:5];y4=x4./(1+x4.^4); x5=[-5:0.4:5];y5=x5./(1+x5.^4); x6=[-5:0.1:5];y6=x6./(1+x6.^4); x0=[-5:0.01:5];
subplot(4,2,1)
y7=x0./(1+x0.^4);
plot(x0,y7,'-b')
y0=lagrange(x1,y1,x0);
y1=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,2)
plot(x0,y0,'--b')
y0=lagrange(x2,y2,x0);
y2=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,3)
plot(x0,y0,'-g')
y0=lagrange(x3,y3,x0);
y3=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,4)
plot(x0,y0,'--g')
y0=lagrange(x4,y4,x0);
y4=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,5)
plot(x0,y0,'-r')
y0=lagrange(x5,y5,x0);
y5=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,6)
plot(x0,y0,'--r')
y0=lagrange(x6,y6,x0);
y6=x0./(1+x0.^4);
subplot(4,2,7)
plot(x0,y0,'-y')
数值实验结果及分析：
实验结果：
图一为原函数曲线。然后图二至图七为插值点分别为4个、5个、10个、20个、25个、100个时的函数图像。
-50
5
-101-50
5
-0.100.1
-50
5
-101-50
5
-101
-5
5
-10010-5
5
-5000
05000
-5
5
-50517
实验分析
与第一问得到的拟合函数的结果相类似，随着插值节点愈多，在中间阶段得到的函数图像叫原函数比较相似，但是在两端出现了明显的震荡，并且随着插值点的增多，震荡越来越大且不可控制。
（2）对g （x ）=arctan x 程序：
M 文件名：lagrange.m
Lagrange函数：
%lagrange insert
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
主函数：
x1=[-5:2.5:5];y1=atan(x1);
x2=[-5:2:5];y2=atan(x2);
x3=[-5:1:5];y3=atan(x3);
x4=[-5:0.5:5];y4=atan(x4);
x5=[-5:0.4:5];y5=atan(x5);
x6=[-5:0.1:5];y6=atan(x6);
x0=[-5:0.001:5];
subplot(4,2,1)
y7=atan(x0);
plot(x0,y7,'-b')
y0=lagrange(x1,y1,x0);
y1=atan(x1);
subplot(4,2,2)
y0=lagrange(x2,y2,x0);
y2=atan(x2);
subplot(4,2,3)
plot(x0,y0,'-g')
y0=lagrange(x3,y3,x0);
y3=atan(x3);
subplot(4,2,4)
plot(x0,y0,'--')
y0=lagrange(x4,y4,x0);
y4=atan(x4);
subplot(4,2,5)
plot(x0,y0,'-r')
y0=lagrange(x5,y5,x0);
y5=atan(x5);
subplot(4,2,6)
plot(x0,y0,'--r')
y0=lagrange(x6,y6,x0);
y6=atan(x6);
subplot(4,2,7)
plot(x0,y0,'-y')
数值实验结果及分析：
实验结果：
图一为原函数曲线。然后图二至图七为插值点分别为2个、4个、5个、8个、10个、20个时的函数图像。
-50
5
-202-50
5
-202
-50
5
-202-50
5
-202
-5
5
-505-5
5
-100
0100
-5
5
-20213
实验分析
当插值节点为五个时，拟合程度不是很好，但是在两端出现的波动较小。当插值节点为10个时，可以看出，插值点确定出来的函数较原函数比较相识，中间阶段拟合程度比较高，在两端的波动也比较小。但是当节点增加到20、25、100个时，在插值区间两端出现了较大的波动，也就是龙格现象。可以看出，等距插值中，增加插值点的个数，并不能使得到的多项式函数与原函数的拟合程度更高。
实验要求3： 程序：
M 文件名：lagrange.m
test1p3.m
Lagrange 函数：
%lagrange insert
function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
主函数：
k=[1:5];
x1=cos((2*k-1)*3.1415/12);
y1=1./(1+25*x1.^2);
a=[1:15];
x2= cos((2*a-1)*3.1415/32);
y2=1./(1+25*x2.^2);
b=[1:50];
x3= cos((2*b-1)*3.1415/102);
y3=1./(1+25*x3.^2);
c=[1:100];
x4= cos((2*b-1)*3.1415/102);
y4=1./(1+25*x4.^2);
x0=[-1:0.01:1];
subplot(3,2,1)
y5=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y5,'-b')
y0=lagrange(x1,y1,x0);
y1=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'--b') y0=lagrange(x2,y2,x0); y2=1./(1+25*x0.^2); subplot(3,2,3) plot(x0,y0,'-g') y0=lagrange(x3,y3,x0); y3=1./(1+25*x0.^2); subplot(3,2,4) plot(x0,y0,'--g'); y0=lagrange(x4,y4,x0); y4=1./(1+25*x0.^2); subplot(3,2,5) plot(x0,y0,'--r')
数值实验结果及分析：
实验结果：
应用上面的lagrange 函数以及主函数，分别就
2
1
125y x =
+
在[1,1]-区间上做出了图像，如下图的图一。然后分别采用切比雪夫点进行插值，然后图二至图七为插值点分别为5个、15个、50个、100个时的函数图像。 ：
-1-0.500.5100.5
1-1-0.500.51
00.5
1-1-0.500.51
00.5
1-1
-0.500.51
00.5
1
1.5-1
-0.500.51
00.51
1.5
实验分析：
实验2.2（样条插值的收敛性）实验要求（一）
程序：
M文件名：test2p1.m
x1=[-1:1];y1=1./(1+25*x1.^2);
x2=[-1:0.5:1];y2=1./(1+25*x2.^2);
x3=[-1:0.4:1];y3=1./(1+25*x3.^2);
x4=[-1:0.25:1];y4=1./(1+25*x4.^2);
x5=[-1:0.2:1];y5=1./(1+25*x5.^2);
x6=[-1:0.1:1];y6=1./(1+25*x6.^2);
x0=[-1:0.01:1];
subplot(4,2,1)
y7=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y7,'-b')
y0=spline(x1,y1,x0);
y1=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,2)
plot(x0,y0,'--b')
y0=spline(x2,y2,x0);
y2=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,3)
plot(x0,y0,'-g')
y0=spline(x3,y3,x0);
y3=1./(1+25*x0.^2);
subplot(4,2,4)
plot(x0,y0,'--g')
y0=spline(x4,y4,x0);
y4=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'-r') y0=spline(x5,y5,x0); y5=1./(1+25*x0.^2); subplot(4,2,6) plot(x0,y0,'--r') y0=spline(x6,y6,x0); y6=1./(1+25*x0.^2); subplot(4,2,7) plot(x0,y0,'-y')
数值实验结果
应用matlab 函数库中提供的spline 函数以及原函数表达式函数，分别就
2
1
125y x
=
+ 在[1,1]-区间上做出了原函数图像，如下图的图一。然后图二至图七为插值点分别为2个、4个、5个、8个、10个、20个时的函数图像。
-1-0.5
0.5
1
00.5
1-1-0.5
0.5
1
00.5
1-1-0.5
0.5
1
-10
1-1-0.5
0.5
1
-10
1-1-0.5
0.5
1
00.5
1-1
-0.5
0.5
1
00.5
1-1
-0.5
0.5
1
00.5
1
实验分析
在此看到，当采用五个插值函数的节点时和采用更多节点的三次样条函数对原函数进行插值拟合的时候，得到的函数都是光滑的。并且随着插值节点的增多，也没有出现如实验2·1所示的随着点的增多而出现龙格现象。并且可以看出，随着三次样条函数的分段的增多，插值函数的图像与原函数的图像越来越相似。
实验要求（二）：
程序：test2p2.m
clear
clc
X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29];
dy0=0.8;
dyn=0.2;
n=length(X)-1;
d=zeros(n+1,1);
h=zeros(1,n-1);
f1=zeros(1,n-1);
f2=zeros(1,n-2);
for i=1:n;h(i)=X(i+1)-X(i);
f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);
end
for i=2:n;f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));
d(i)=6*f2(i);
end
d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);
d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1); A=zeros(n+1,n+1);
B=zeros(1,n-1);
C=zeros(1,n-1);
B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
C(i)=1-B(i);
end
A(1,2)=1;
A(n+1,n)=1;
for i=1:n+1
A(i,i)=2;
end
for i=2:n
A(i,i-1)=B(i-1);
A(i,i+1)=C(i-1);
end
M=A\d;
x=zeros(1,n);
S=zeros(1,n);
for i=1:n
x(i)=X(i)+0.5;
S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i))^2+(M( i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3;
end
plot(X,Y,'k'); hold on;
plot(x,S,'o');
title('三次样条插值效果图');
legend('已知插值节点','三次样条插值');
hold off
返回插值函数：
S(x)=0.8*x - 0.001486*x^2 - 0.008514*x^3 (0,1)
S(x)=0.8122*x - 0.01365*x^2 - 0.004458*x^3 - 0.004055 (1,2)
S(x)=0.8218*x - 0.01849*x^2 - 0.003652*x^3 - 0.01051 (2,3)
S(x)=0.317*x^2 - 0.1847*x - 0.04093*x^3 + 0.9961 (3,4)
S(x)=6.934*x - 1.463*x^2 + 0.1074*x^3 - 8.496 (4,5)
S(x)=4.177*x^2 - 21.26*x - 0.2686*x^3 + 38.5 (5,6)
S(x)=53.86*x - 8.344*x^2 + 0.427*x^3 - 111.7 (6,7)
S(x)=14.88*x - 1.643*x^2 + 0.06076*x^3 - 41.93 (8,9)
S(x)=8.966*x - 0.986*x^2 + 0.03641*x^3 - 24.18 (9,10)
图像：
三次样条插值效果图
012345678910
实验总结：
插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。而这个误差就是由于计算机计算里面的舍入误差和截断误差。所以我们在进行多项式插值的时候，必须考虑这个函数的在插值区间的高阶导数的值是否是存在极大值的。
但是可以考虑的就是，在针对某些函数的时候，可以采用用切比雪夫插值的形式来对原函数进行插值拟合。这样，随着插值点的增多，插值函数越来越接近于原函数。
在实际的插值过程中，我们不需要一定就用高阶的多项式函数进行插值。在一些函数中，我们可以采用一次函数分段插值，只要取足够多的点，那么也可以达到很高的拟合程度。理论上也已经证明，当取点数区域无穷时，得到的函数就等于原函数。另外我们还可以考虑Hermite插值,三次样条插值等等其他一系列可以考虑的插值函数。
断误差和舍入误差，而且在针对不同形式的函数，我们可以采用不同的插值方式来对原函数进行插值。实验2.3
程序：
M文件名：test3.m
figure('position',get(0,'screensize'))
axes('position',[0 0 1 1])
[x,y]=ginput
n=length(x);
s=(1:n)';t=(1:0.05:n)';
u=interp1(s,x,t,'spline');
v=interp1(s,y,t,'spline');
clf reset,
plot(x,y,'.',u,v,'-'),
%xlabel('X'),ylabel('Y')
运行结果：
x =
0.2017
0.2332
0.2786
0.3122
0.3613
0.3949
0.4059
0.4242
数值分析实习报告 姓名：gestepoA 学号：201******* 班级：***班
序言 随着计算机技术的迅速发展，数值分析在工程技术领域中的应用越来越广泛，并且成为数学与计算机之间的桥梁。要解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，不仅要研究各种数学问题的数值解法，同时也要分析所用的数值解法在理论上的合理性，如解法所产生的误差能否满足精度要求：解法是否稳定、是否收敛及熟练的速度等。而且还能减少大量的人工计算。 由于工程实际中所遇到的数学模型求解过程迭代次数很多，计算量很大，所以需要借助如MATLAB，C++，VB，JAVA的辅助软件来解决，得到一个满足误差限的解。本文所计算题目，均采用MATLAB进行编程，MATLAB被称为第四代计算机语言，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来MATLAB最突出的特点就是简洁，它用更直观的、符合人们思维习惯的代码。它具有以下优点： 1友好的工作平台和编程环境。MATLAB界面精致，人机交互性强，操作简单。 2简单易用的程序语言。MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，包含控制语言、函数、数据结构，具有输入、输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编好一个较大的复杂的应用程序（M 文件）后再一起运行。 3强大的科学计算机数据处理能力。包含大量计算算法的集合，拥有600多个工程中要用到的数学运算函数。 4出色的图像处理功能，可以方便地输出二维图像，便于我们绘制函数图像。
目录 1 第一题 (4) 1.1 实验目的 (4) 1.2 实验原理和方法 (4) 1.3 实验结果 (5) 1.3.1 最佳平方逼近法 (5) 1.3.2 拉格朗日插值法 (7) 1.3.3 对比 (8) 2 第二题 (9) 2.1实验目的 (9) 2.2 实验原理和方法 (10) 2.3 实验结果 (10) 2.3.1 第一问 (10) 2.3.2 第二问 (11) 2.3.3 第三问 (11) 3 第三题 (12) 3.1实验目的 (12) 3.2 实验原理和方法 (12) 3.3 实验结果 (12) 4 MATLAB程序 (14)
Several Typical Interpolation in Matlab Lagrange Interpolation Supposing： If x=175, while y=? Solution： Lagrange Interpolation in Matlab: function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end input： x0=[144 169 225] y0=[12 13 15] y=lagrange(x0,y0,175) obtain the answer： x0 = 144 169 225 y0 = 12 13 15 y = 13.2302
Spline Interpolation Solution ： Input x=[ 1 4 9 6]；y=[ 1 4 9 6]；x=[ 1 4 9 6]；pp=spline(x,y) pp = form: 'pp' breaks: [1 4 6 9] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 output : pp.coefs ans = -0.0500 0.5333 -0.8167 1.0000 -0.0500 0.0833 1.0333 2.0000 -0.0500 -0.2167 0.7667 4.0000 It shows the coefficients of cubic spline polynomial , so: S （x ）=, 169,3)9(1484.0)9(0063.0)9(0008.0,94,2)4(2714.0)4(0183.0)4(0008 .0, 41,1)1(4024.0)1(0254.0)1(0008.0232 3 23≥≤+-+---≥≤+-+---≥≤+-+---x x x x x x x x x x x x Newton’s Interpolation Resolve 65 Solution: Newton’s Interpolation in matlab ： function yi=newint(x,y,xi); n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error end Y=zeros(n);Y(:,1)=y';
电子科技大学电子工程学院标准实验报告（实验）课程名称MATLAB与数值分析 学生姓名：李培睿 学号：2013020904026 指导教师：程建
一、实验名称 《MATLAB与数值分析》第一次上机实验 二、实验目的 1. 熟练掌握矩阵的生成、加、减、乘、除、转置、行列式、逆、范数等运算 操作。（用.m文件和Matlab函数编写一个对给定矩阵进行运算操作的程序） 2. 熟练掌握算术符号操作和基本运算操作，包括矩阵合并、向量合并、符号 转换、展开符号表达式、符号因式分解、符号表达式的化简、代数方程的符号解析解、特征多项式、函数的反函数、函数计算器、微积分、常微分方程的符号解、符号函数的画图等。（用.m文件编写进行符号因式分解和函数求反的程序） 3. 掌握Matlab函数的编写规范。 4、掌握Matlab常用的绘图处理操作，包括：基本平面图、图形注释命令、 三维曲线和面的填充、三维等高线等。（用.m文件编写在一个图形窗口上绘制正弦和余弦函数的图形，并给出充分的图形注释） 5. 熟练操作MATLAB软件平台，能利用M文件完成MATLAB的程序设计。 三、实验内容 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以x， y为坐标显示图像 x(n+1) = a*x(n)-b*(y(n)-x(n)^2); y(n+1) = b*x(n)+a*(y(n)-x(n)^2) 2. 编程实现奥运5环图，允许用户输入环的直径。 3. 实现对输入任意长度向量元素的冒泡排序的升序排列。不允许使用sort 函数。 四、实验数据及结果分析 题目一： ①在Editor窗口编写函数代码如下：
MATLAB中的插值函数 命令1：interp1 功能：一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1) yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2) yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。 (3) yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。 (5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。
第2章牛顿插值法实现 参考文献：[1]岑宝俊. 牛顿插值法在凸轮曲线修正设计中的应用[J]. 机械工程师,2009,10:54-55. 求牛顿插值多项式和差商的MA TLAB 主程序： function[A,C,L,wcgs,Cw]=newpoly(X,Y) n=length(X);A=zeros(n,n);A(:,1) =Y'; s=0.0;p=1.0;q=1.0;c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end b=poly(X(j-1));q1=conv(q,b);c1=c1*j;q=q1; end C=A(n,n);b=poly(X(n));q1=conv(q1,b); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end L(k,:)=poly2sym(C);Q=poly2sym(q1); syms M wcgs=M*Q/c1;Cw=q1/c1; （1）保存名为newpoly.m 的M 文件 （2）输入MA TLAB 程序 >> X=[242,243,249,250]; >> Y=[13.681,13.526,13.098,13.095]; >> [A,C,L,wcgs,Cw]=newpoly(X,Y) 输出3阶牛顿插值多项式L 及其系数向量C 差商的矩阵A ，插值余项wcgs 及其 ) ()()1(ξ+n n f x R 的系数向量Cw 。 A = 13.6810 0 0 0 13.5260 -0.1550 0 0 13.0980 -0.0713 0.0120 0 13.0950 -0.0030 0.0098 -0.0003 C = 1.0e+003 *
拉格朗日插值的调用函数 function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); L=0.0; for j=1:n T=1.0; for k=1:n if k~=j T=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k)); end end L=T*y0(j)+L; end y(i)=L; end 四个图在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.4:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagrange(x0,y0,x); x0=[-1:0.2:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y2=lagrange(x0,y0,x); x0=[-1:0.1:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y3= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y1,'-b',x,y2,'-r',x,y3,'-r')
l5和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.4:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y1,'-b') l10和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.2:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y2= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y2,'-b') l20和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.1:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y3= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y3,'-b')
Matlab中插值函数汇总和使用说明 MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式 为： yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例如：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13， 推测中午12点（即13点）时的温度． x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]; a=13; y1=interp1(x,y,a,'spline') 结果为： 27.8725 若要得到一天24小时的温度曲线，则： xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y,'o' ,xi,yi)
命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。(2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。 (3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对
MATLAB 实验一 MATLAB 数值计算 试验报告说明： 1 做试验前请先预习，并独立完成试验和试验报告。 2 报告解答方式：将MATLAB 执行命令和最后运行结果从命令窗口拷贝到每题的题目下面，请将报告解答部分的底纹设置为灰色，以便于批阅。 3 在页眉上写清报告名称，学生姓名，学号，专业以及班级。 3 报告以Word 文档书写。 文档命名方式: 学号+姓名+_（下划线）+试验几.doc 如：110400220张三_试验1.doc 4 试验报告doc 文档以附件形式发送到maya_email@https://www.doczj.com/doc/db7072693.html, 。凡文档命名不符合规范，或者发送方式不正确，不予登记。 5 每次试验报告的最后提交期限：下次试验课之前。 一 目的和要求 1 熟练掌握MATLAB 变量的使用 2 熟练掌握矩阵的创建 3 熟练掌握MATLAB 的矩阵和数组的运算 4 使用元胞数组和结构数组 二 试验内容 1 创建矩阵（必做） 1.1使用直接输入，from:step:to ，linspace ，logspace 等方式创建矩阵。 1.2 输入矩阵12342 46836 9 12a ?? ?= ? ?? ? 1.2-1）分别使用全下标和单下标达方式取出元素“8” >>a=[1 2 3 4;2 4 6 8;3 6 9 12] >> a(2,4) %全下标方式 >> a(11) % 单下标方式 1.2-2）分别用不同的方式从矩阵a 中取出子矩阵?? ??? ?1286 4 3 2 %方法一：全下标方式 a([2,3],[1 2 4]) %方法二：单下标方式 a([2 5 11;3 6 12]) % 方法三：利用逻辑向量 l1=logical([0 1 1])
列主元法 function lianzhuyuan(A,b) n=input('请输入n:') %选择阶数A=zeros(n,n); %系数矩阵A b=zeros(n,1); %矩阵b X=zeros(n,1); %解X for i=1:n for j=1:n A(i,j)=(1/(i+j-1)); %生成hilbert矩阵A end b(i,1)=sum(A(i,:)); %生成矩阵b end for i=1:n-1 j=i; top=max(abs(A(i:n,j))); %列主元 k=j; while abs(A(k,j))~=top %列主元所在行 k=k+1; end for z=1:n %交换主元所在行a1=A(i,z); A(i,z)=A(k,z); A(k,z)=a1; end a2=b(i,1); b(i,1)=b(k,1); b(k,1)=a2; for s=i+1:n %消去算法开始m=A(s,j)/A(i,j); %化简为上三角矩阵 A(s,j)=0; for p=i+1:n A(s,p)=A(s,p)-m*A(i,p); end b(s,1)=b(s,1)-m*b(i,1); end end X(n,1)=b(n,1)/A(n,n); %回代开始 for i=n-1:-1:1 s=0; %初始化s for j=i+1:n s=s+A(i,j)*X(j,1);
end X(i,1)=(b(i,1)-s)/A(i,i); end X 欧拉法 clc clear % 欧拉法 p=10; %贝塔的取值 T=10; %t取值的上限 y1=1; %y1的初值 r1=1; %y2的初值 %输入步长h的值 h=input('欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0 break end S1=0:T/h; S2=0:T/h; S3=0:T/h; S4=0:T/h; i=1; % 迭代过程 for t=0:h:T Y=(exp(-t)); R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t); y=y1+h*(-y1); y1=y; r=r1+h*(y1-p*r1); r1=r; S1(i)=Y; S2(i)=R; S3(i)=y; S4(i)=r; i=i+1; end t=[0:h:T]; % 红线为解析解，'x'为数值解 plot(t,S1,'r',t,S3,'x')
Matlab作业3（数值分析） 机电工程学院（院、系）专业班组 学号姓名实验日期教师评定 1.计算多项式乘法(x2+2x+2)(x2+5x+4)。 答： 2. （1）将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。（2）求解在x=8时多项 式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。 答：（1） （2）
3. y=sin(x)，x从0到2π，?x=0.02π，求y的最大值、最小值、均值和标准差。 4.设ｘ＝[0.00.30.8 1.1 1.6 2.3]'，y=[0.500.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'，试求二次多项式拟合系数，并据此计算x1=[0.9 1.2]时对应的y1。解：x=[0.0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; %输入变量数据x y=[0.50 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'; %输入变量数据y p=polyfit(x,y,2) %对x,y用二次多项式拟合,得到系数p x1=[0.9 1.2]; %输入点x1 y1=polyval(p,x1) %估计x1处对应的y1 p = -0.2387 0.9191 0.5318 y1 = a) 1.2909
5.实验数据处理：已知某压力传感器的测试数据如下表 p为压力值，u为电压值，试用多项式 d cp bp ap p u+ + + =2 3 ) ( 来拟 合其特性函数，求出a,b,c,d，并把拟合曲线和各个测试数据点画在同一幅图上。解： >> p=[0.0,1.1,2.1,2.8,4.2,5.0,6.1,6.9,8.1,9.0,9.9]; u=[10,11,13,14,17,18,22,24,29,34,39]; x=polyfit(p,u,3) %得多项式系数 t=linspace(0,10,100); y=polyval(x,t); %求多项式得值 plot(p,u,'*',t,y,'r') %画拟和曲线 x = 0.0195 -0.0412 1.4469 9.8267
非常类似前面的三弯矩法，这里的sanzhj函数和intersanzhj作用相当于前面的sanwanj和intersanwj，追赶法程序通用，代码如下。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [newu,w,newv,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 % 将插值点分两次输入，x0 y0 单独输入 % 边值条件a的一阶导数 y1a 和b的一阶导数 y1b n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误，再来'); end v=ones(n-1,1); u=ones(n-1,1); d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n-1,1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1)); end d(1)=d(1)-u(1)*y1a; d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b; newv=v(1:n-2,:); newu=u(2:n-1,:); %%%%%%%%%%%% function intersanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值
MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数2 1cx b ax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像. 625 .0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995 .0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i i y x ---- 解： x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y; a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1; yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*')
2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数 10 的近似根，并写出调用方式： 精度为10 解： >> edit gexianfa.m function [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol) iter=0; while(norm(x1-x0)>tol) iter=iter+1; x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0)); x0=x1;x1=x; end >> edit f.m function v=f(x) v=x.*log(x)-1; >> edit g.m function z=g(y) z=y.^5+y-1; >> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10) x1 = 1.7632 iter1 = 6 >> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10) x2 = 0.7549 iter2 = 8
Tutorial 6 实验报告 实验名称：Matlab数值计算 实验目的： 1、掌握数据统计与分析的方法； 2、掌握数据插值和曲线拟合的方法及其应用； 3、掌握多项式的常用运算。 实验内容： 1.利用randn函数生成符合正态分布的10×5随机矩阵A，进行如下操作： （1）求A的最大元素和最小元素； （2）求A的每行元素的和以及全部元素的和； （3）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排列。 2.用3次多项式方法插值计算1-100之间整数的平方根。 3.某气象观测站测得某日6：00-18：00之间每隔2h的室内外温度（°C）如下表所示。 使用三次样条插值分别求出该日室内外6：30-17：30之间每隔2h各点的近似温度，并绘制插值后的温度曲线。 4.已知lgx在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如下表所示，
试求lgx 的5次拟合多项式p(x)，并绘制lgx 和p(x)在[1,101]区间的函数曲线。 5. 有3个多项式(),(),()P x x x x P x x P x x x =+++=+=++4322 123 24522 3，试进行下列操作： （1） 求()()()()P x P x P x P x =+123。 （2） 求()P x 的根。 （3） 当x 取矩阵A 的每一元素时，求()P x 的值。其中： .....A --?? ??=?? ???? 112140752350525 6. 求函数在指定点的数值导数。 (),,f x x ==123 7. 用数值方法求定积分。 （1）I π =? 210的近似值。 （2）ln() x I dx x += +?1 22011 实验结果： 1.
1、%用牛顿法求f(x)=x-sin x 的零点，e=10^(-6) disp('牛顿法'); i=1; n0=180; p0=pi/3; tol=10^(-6); for i=1:n0 p=p0-(p0-sin(p0))/(1-cos(p0)); if abs(p-p0)<=10^(-6) disp('用牛顿法求得方程的根为') disp(p); disp('迭代次数为：') disp(i) break; end p0=p; end if i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6)) disp(n0) disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解') end 2、disp('Steffensen加速'); p0=pi/3; for i=1:n0 p1=0.5*p0+0.5*cos(p0); p2=0.5*p1+0.5*cos(p1); p=p0-((p1-p0).^2)./(p2-2.*p1+p0); if abs(p-p0)<=10^(-6) disp('用Steffensen加速求得方程的根为') disp(p); disp('迭代次数为：') disp(i) break; end p0=p; end if i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6)) disp(n0) disp('次Steffensen加速后无法求出方程的解') end 1、%使用二分法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根， %误差限为 e=10^-4 disp('二分法')
a=0.2;b=0.26; tol=0.0001; n0=10; fa=600*(a.^4)-550*(a.^3)+200*(a.^2)-20*a-1; for i=1:n0 p=(a+b)/2; fp=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1; if fp==0||(abs((b-a)/2) 佛山科学技术学院 实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目 数值积分 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 2111505010 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日 一、实验目的 1、 掌握程序的录入和matlab 的使用和操作； 2、 了解影响线性方程组解的精度的因素——方法与问题的性态。 3、 学会Matlab 提供的“\”的求解线性方程组。 二、实验要求 1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的Matlab 程序； 3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三、实验步骤 1、用LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组 a)??????? ??=??????? ????????? ??----15900001.582012151526099999.2310 7104321x x x x ， 输出b Ax =中系数LU A =分解的矩阵L 和U ，解向量x 和)det(A ;用列主元法的行交换次序解向量x 和求)det(A ；比较两种方法所得结果。 2、用列主高斯消元法解线性方程组b Ax =。 （1）、???? ? ??=????? ??????? ??--11134.981.4987.023.116.427 .199.103.601.3321x x x （2）、???? ? ??=????? ??????? ??--11134.981.4990.023.116.427 .199.103.600.3321x x x 分别输出)det(,,A b A ，解向量x ，（1）中A 的条件数。分析比较（1）、（2）的计算结果 3、线性方程组b Ax =的A 和b 分别为 ??????? ??=1095791068565778710A ,?????? ? ??=31332332b 则解T x ),1,1,1,1(=. 用MATLAB 内部函数求)det(A 和A 的所有特征值和2)(A cond . 若令 ?????? ? ??=+98.99599.6989.998.585604.508.72.71.8710A A δ, 求解b x x A A =++))((δδ，输出向量x δ和2x δ，从理论结果和实际计算两方面分析线性 方程组b Ax =解的相对误差22/x x δ以及A 的相对误差 /A A δ的关系。 四、实验结果 1： %run311.m clc,clear; A = [10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]; b = [8;5.90001;5;1]; %L U 分解 format short %小数点后四位，不然会受到后面的影响 [L U] = lu(A) %解方程组，输出A ，det(A) y = L\b; format long %小数点后15位显示 x = U\y Matlab求解插值问题 在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。 实例：海底探测问题 某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。 1、一元插值 一元插值是对一元数据点(x i,y i)进行插值。 线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。 调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值 zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值 wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。 例：已知数据： 求当x i=0.25时的y i的值。 程序： x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2]; yi0=interp1(x,y,0.025,'linear') xi=0:.02:1; yi=interp1(x,y,xi,'linear'); zi=interp1(x,y,xi,'spline'); wi=interp1(x,y,xi,'cubic'); plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-') legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式') 结果：yi0 = 0.3500 实验6 Matlab数值计算 实验目的： 1、掌握数据统计与分析的方法； 2、掌握数据插值和曲线拟合的方法及其应用； 3、掌握多项式的常用运算。 实验内容： 1.利用randn函数生成符合正态分布的10×5随机矩阵A，进行如下操作： （1）求A的最大元素和最小元素； （2）求A的每行元素的和以及全部元素的和； （3）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排列。 a = randn(10,5)+10; ma = max(max(a)) mi = min(min(a)) s = sum(a,2) sa = sum(sum(a)) p = sort(a) p1 = -sort(-a,2) 2.用3次多项式方法插值计算1-100之间整数的平方根。 f = sqrt(n); interp1(n,f,(1:100),'cubic') 3.某气象观测站测得某日6：00-18：00之间每隔2h的室内外温度（°C）如下表所示。 使用三次样条插值分别求出该日室内外6：30-17：30之间每隔2h 各点的近似温度，并绘制插值后的温度曲线。 n= 6:2:18; f1 = [18 20 22 25 30 28 24]; f2 = [15 19 24 28 34 32 30]; r = 6.5:2:17.5; w = interp1(n,f1,r,'spline'); w1 = interp1(n,f2,r,'spline'); subplot(211),plot(r,w) subplot(212),plot(r,w1) 4. 已知lgx 在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如下表所示， 试求lgx 的5次拟合多项式p(x)，并绘制lgx 和p(x)在[1,101]区间的函数曲线。 x = linspace(1,101,10); y = log(x) /log(10); p = polyfit(x,y,5) y1 = polyval(p,x) plot(x,y,':o',x,y1,'-*') legend('sin(x)','fit') 5. 有3个多项式(),(),()P x x x x P x x P x x x =+++=+=++4 3 2 2 123245223，试进 行下列操作： （1） 求()()()()P x P x P x P x =+123。 （2） 求()P x 的根。 （3） 当x 取矩阵A 的每一元素时，求()P x 的值。其中： .....A --?? ? ?=?????? 11214075 2350 5 25 p1 = [1 2 4 0 5]; p2 = [0 0 0 1 2]; 6.1 插值问题及其误差 6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数 (一) POLY2SYM函数 调用格式一：poly2sym (C) 调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ), (二) POLYVAL函数 调用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY函数 调用格式：Y = poly (V) (四) CONV函数 调用格式：C =conv (A, B) 例 6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2. 解我们可以用两种MATLAB程序求之. 方法1如输入MATLAB程序 >> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1) 运行后输出结果为 l1 = 1.0000 - 2.4000 1.7600 -0.3840 L1 = x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125 方法2如输入MATLAB程序 >> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2); C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同. (五) DECONV 函数 调用格式：[Q,R] =deconv (B,A) (六) roots(poly(1:n))命令 调用格式：roots(poly(1:n)) (七) det(a*eye(size (A)) - A)命令 调用格式：b=det(a*ey e(size (A)) - A) 6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序 6.2.1 线性插值及其MATLAB程序 例 6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，，且满足条件 .求线性插值多项式和函数值，并估计其误差. 解输入程序 >> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x) 运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多项式L和插值Y为l0 = l1 = L = Y = -1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500 输入程序 >> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2 数值分析幂法与反幂法 matlab程序 随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量。 要求 1）比较不同的原点位移和初值说明收敛性 2）给出迭代结果，生成DOC文件。 3）程序清单，生成M文件。 解答： >> A=rand(5) %随机产生5*5矩阵求随机矩阵 A = 0.7094 0.1626 0.5853 0.6991 0.1493 0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575 0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407 0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543 0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143 >> B=A+A' %A矩阵和A的转置相加，得到随机对称矩阵B B = 1.4187 0.9173 0.8613 1.3788 0.8044 0.9173 0.2380 0.7222 1.8506 0.5979 0.8613 0.7222 1.5025 1.2144 1.3467 1.3788 1.8506 1.2144 1.0944 0.3929 0.8044 0.5979 1.3467 0.3929 1.6286 B=?? ????? ???? ?? ???6286.13929.03467.15979.08044 .03929.00944 .12144.18506 .13788.13467.12144.15025.17222.08613.05979.08506.17222.02380.09173.08044.03788.18613 .09173 .04187.1 编写幂法、反幂法程序： function [m,u,index,k]=pow(A,u,ep,it_max) % 求矩阵最大特征值的幂法，其中 % A 为矩阵； % ep 为精度要求，缺省为1e-5； % it_max 为最大迭代次数，缺省为100； % m 为绝对值最大的特征值； % u 为对应最大特征值的特征向量； % index ，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败 if nargin<4 it_max=100; end if nargin<3 ep=1e-5; end n=length(A); index=0; k=0; m1=0; m0=0.01; % 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为幂法 I=eye(n) T=A-m0*I while k<=it_max v=T*u; [vmax,i]=max(abs(v)); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)MATLAB数值分析实验三(线性方程求解及精度分析)
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