高一数学一次函数和二次函数知识点

1 第5讲 一次函数和二次函数

教学内容

一、知识梳理

1.函数)0(kbkxy叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ；

（1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；

（2）一次函数)0(kbkxy中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距； 0k时，函数是增函数，0k时，函数是减函数；

（3）0b时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0b时，它既不是奇函数，也不是偶函数；

4.函数)0(2acbxaxy叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；

（1）当b0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；

（2）当0a时，抛物线cbxaxy2开口向上，二次函数的单调减区间为ab2,，单调增区间为,2ab，值域为,442abac； 课时数量 2课时（120分钟）

适用的学生水平 ☐优秀 ☐中等 ☐基础较差

教学目标（考试要求） 掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征；

学会用配方法研究二次函数的性质；

会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数a、b、c及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题．

教学重点、难点 重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征．

难点：二次函数的性质运用．

建议教学方法 寓教于练，重在点拨 √

2 （3）当0a时，抛物线cbxaxy2开口向下，二次函数的单调增区间为ab2,，单调减区间为,2ab，值域为abac44,2；

5.一次函数的图像与性质

二、方法归纳

1.二次函数的三种表示形式

（1）一般式：)0(2acbxaxy．

（2）顶点式：)0()(2ahmxay，其中 ),(hm为抛物线的顶点坐标．

（3）两根式：)0())((21axxxxay，其中1x、2x是抛物线与x轴交点的横坐标．

2.利用配方法求二次函数)0(2acbxaxy的对称轴方程为：

x＝－ab2．

3.若二次函数)0()(2acbxaxxf对应方程)(xf＝0的两根为1x、2x，那么函数)0()(2acbxaxxf图象的对称轴方程为：  提 示

二次函数图象的对称轴与x轴的交点是函数单调区间的界，在x轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等．

3 x＝221xx＝－ab2．

4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．

三、典型例题精讲

［例1］二次函数bxaxy2和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是（ ）

解析：由题义0a，方程bxax2＝0的两根为01x、abx2．

观察备选答案ABC中反比例函数byx的图象，知b＞0，

答案A中0a，abx2＞0，矛盾；答案B中0a，abx2＞0，正好，故选B．

【技巧提示】 根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．

又例：已知二次函数babxaxxf3)(2为偶函数，其定义域为aa2,1 ，则函数的值域为 ．

解析：由题意，a≠0，b＝0，且)1(2aa，∴ a＝31，

函数131)(2xxf的值域为,1．

［例2］对于每一个x，设)(xf取14xy，2xy，42xy三个函数中的最小值，用分段函数写出)(xf的解析式，并求)(xf的最大值．

解析： 这是教材中的一道练习题．)(xf取14xy，2xy，42xy三个函数中的最小值．于是)(xf的解析式为 Ａ． x y

O

Ｂ． x y

O

Ｃ． x y

O

Ｄ． x y

O

4 32,423231,231,14)(xxxxxxxf，

)(xf的最大值为)32(f＝38．

【技巧提示】 理解)(xf取14xy，2xy，42xy

三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出)(xf的解析式是关键．

又例：对于任意Rx，函数xf表示3x，2123x，342xx中的较大者，则xf的最小值是_ _（答案：2）

［例3］二次函数xf满足22xfxf，又30f，12f，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是( )

A. ,0 B. ,2 C. 2,0 D. [2,4]

解析：由22xfxf 知函数)(xfy的图象关于直线 x＝2对称，

又30f，12f，图象如下，

由m,0上有最大值3，最小值1，

可知m的取值范围是4,2，故选D．

【技巧提示】 函数xf满足

xafxaf，则)(xfy的

图象关于直线 x＝a对称，

其中xafxaf也可用xfxaf2代替；数形结合可以使解法更加便捷．

又例：已知二次函数)(xfy满足)()6(xfxf (x∈R)，且)(xf＝0O x y 14xy

2xy

42xy

O x y

3

2 1

5 有两个实根1x、2x，则1x＋2x等于( )

A．0 B．3 C．6 D．不能确定

解析：由)6()(xfxf (x∈R) 知函数)(xfy的图象关于直线 x＝3对称，应有3221xx， 1x＋2x＝6. 答案：C

再例：函数432xxy的定义域为m,0，值域为4,425，则实数m的取值范围是

解析：函数425)23(43)(22xxxxf，

又4)3()0(ff，)(xf的最小值为 425，

∴ 实数m的取值范围是3,32．

［例4］抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于点)0,(),0,(两点且1722.求k的值.

解析： 由题意 , 是方程023)1(2kxkx的两根，

∵ ,1k23k，又1722

即172)(2，

∴ 17)23(2)1(2kk ， 解得21k，62k．

当21k时△＞0，当62k时△＜0（舍去） ∴2k．

【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数)(xf所对应的方程)(xf＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基础知识．

又例： 如果二次函数772xkxy的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )

A．k＞－47 B．k≥－47 且k≠0

C．k≥－47 D．k＞－47 且k≠0

6 解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“k≠0”；“图象和x轴有交点”等价于△≥0．

答案：B

［例5］已知函数)(xf＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且)1(xf＝)1(xf对任意实数都成立，函数y＝)(xg与y＝)(xf的图象关于原点对称．求)(xf与)(xg的解析式．

解析：由)1(f＝3，且函数)(xf的图象关于直线x＝－1对称，先求)(xf，再由对称性求)(xg．

由题意知：1231mnm ，解得2m ，0n

∴ xxxf2)(2．

设函数y＝)(xf图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，

则x0＝－x，y0＝－y.

∵ 点Q(x0，y0)在y＝)(xf的图象上，∴－y＝xx22，

∴ y＝xx22，

∴ )(xg＝xx22．

又例：已知二次函数)(xf满足)2(f＝－1，)1(f＝－1，且)(xf的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解析：用待定系数法

解法一：利用二次函数一般式 ，设)0()(2acbxaxxf，

由题意得

84411242abaccbacba 解之得

744cba

∴ 所求二次函数为744)(2xxxf．

解法二：利用二次函数顶点式，设nmxaxf2)()(，

7 ∵ )2(f＝)1(f＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为x＝m21.

∴ 21m，又根据题意函数有最大值为8n，

∴ 8)21()(2xaxf

∵ )1(f＝－1，∴ 4a

∴ 8)21(4)(2xxf7442xx.

解法三：利用两根式 由已知，)(xf＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设)(xf＋1＝a(x－2)(x＋1)，即)(xf＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即aaaa4)12(42 ＝8，

解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为)(xf＝7442xx.

［例6］已知二次函数)(xf满足1)0(f和)1(xfxxf2)(.

（1）求)(xf的解析式； （2）求)(xf在1,1上的最大值和最小值．

解析：（1）用待定系数法

∵ 1)0(f，设所求二次函数为 )(xf)0(12abxax，

 提 示

在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法．透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不