容斥原理公式及运用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
微波技术与天线实验报
（1）负载开路，负载短路，与负载匹配 负载开路与短路即为令终端负载L Z 为∞或0，而对于功率输出，当负载匹配时会得到最大的功率输出；对于电源电压输出，指电源内阻越小在内阻上的压降越小，会得到最大的电压输出，就是说电源的效率最大，当内阻r=0,电源的效率等于1（100%）。 （1）传输线的工作状态 传输线的工作状态取决于传输线终端所接的负载，有三种状态。其中负载开路与短路即为令终端负载L Z 为∞或0导致传输线工作于驻波状态，Z L =Z 0时传输线工作于行波状态。 行波状态：传输线上无反射波出现，只有入射波的工作状态。 当传输线终端负载阻抗等于传输线的特性阻抗，即Z L =Z 0时，线上只有入射波（反射系数为零)。此时 z z e U e Z I U z U '' =+= 'γγ20222 )( z z e I e Z Z I U z I ' +'=+= 'γγ20 0222)( 对于无损耗线=γj β,则
本实验用微带传输线模块模拟测量线。利用驻波测量技术测量传输线上的波，可以粗略地观察波腹、波节和波长，进而测量反射系数|Γ|和驻波比ρ。若条件允许可以使用反射测量电桥以较精确地测量反射损耗。 （1）实验仪器 RZ9908综合实验箱频率合成信号发生器电场探头频谱分析仪反射测量电桥终端负载（2）实验思路 用驻波分布法测量微带传输线上电磁波的波长。观测微带传输线上驻波分布，测量驻波的波腹、波节、反射系数和驻波比。 （3）实验过程 实验装置大致如下，应用实验箱固定模块可简化操作。 原理如下： 实验连接图如下：
微带传输线模块测量端开路（不接负载)。 把频率合成信号发生器设置成为：CENTER FREQUENCY=1000MHz，SPAN=1MHz，参考电平-30dBm，在保证信号不超出屏幕顶端的情况下，参考电平越小越好，尽量使信号谱线的峰值显示在屏幕的第一格和第二格之间。 频率合成信号发生器设置为输出频率1000MHz和最小衰减量。 如图1连接，逐次移动探头。记录探头位置刻度读数和频谱分析仪读数，必要时可调节信号发生器的输出功率或频谱分析仪的参考电平。 改变频率合成信号发生器的输出频率为800MHz，再重复进行驻波分布测试。 用反射测量电桥来测量驻波损耗，按图2连接好实验装置
《化工原理》重要公式 第一章 流体流动 牛顿粘性定律 dy du μτ= 静力学方程 g z p g z p 2211 +=+ρ ρ 机械能守恒式 f e h u g z p h u g z p +++=+++2222222111 ρρ 动量守恒 )(12X X m X u u q F -=∑ 雷诺数 μμρ dG du ==Re 阻力损失 22 u d l h f λ= ????d q d u h V f ∞∞ 层流 Re 64=λ 或 2 32d ul h f ρμ= 局部阻力 2 2 u h f ζ= 当量直径 ∏ =A d e 4 孔板流量计 ρP ?=20 0A C q V ， g R i )(ρρ-=?P 第二章 流体输送机械 管路特性 242)(8V e q g d d l z g p H πζλ ρ+∑+?+?= 泵的有效功率 e V e H gq P ρ= 泵效率 a e P P =η
最大允许安装高度 100][-∑--=f V g H g p g p H ρρ]5.0)[(+-r NPSH 风机全压换算 ρ ρ''T T p p = 第四章 流体通过颗粒层的流动 物料衡算： 三个去向： 滤液V ，滤饼中固体） （饼ε-1V ，滤饼中液体ε饼V 过滤速率基本方程 )(22 e V V KA d dV +=τ ， 其中 φμ 012r K S -?=P 恒速过滤 τ22 2 KA VV V e =+ 恒压过滤 τ222KA VV V e =+ 生产能力 τ ∑=V Q 回转真空过滤 e e q q n K q -+=2? 板框压滤机洗涤时间(0=e q ,0=S ) τμμτV V W W W W 8P P ??= 第五章 颗粒的沉降和流态化 斯托克斯沉降公式 μρρ18)(2 g d u p p t -=， 2R e
容斥原理公式及运用 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩
B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
三集合容斥原理 华图教育梁维维 我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。 三集合容斥原理公式： 三者都不满足的个数。 总个数- = + - - - + + =| | | | | | | | | | | | | || |C B A C B C A B A C B A C B A 有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。 【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。 近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。 【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（） A. 148 B. 248
泡点（饱和液体）q=1 露点（饱和蒸汽）q=0气液混合0
分配系数选择性系数萃取因子 单级萃取操作线多级错流求理论板BS完全不溶图解解析部分互溶三角形图解 多级逆流解析图解操作线
传输线阻抗匹配方法 匹配阻抗的端接有多种方式，包括并联终端匹配、串联终端匹配、戴维南终端匹配、AC终端匹配、肖特基二极管终端匹配。 1.并联终端匹配 并联终端匹配是最简单的终端匹配技术，通过一个电阻R将传输线的末端接到地或者接到V CC上。电阻R的值必须同传输线的特征阻抗Z0匹配，以消除信号的反射。终端匹配到V CC可以提高驱动器的源的驱动能力，而终端匹配到地则可以提高电流的吸收能力。 并联终端匹配技术突出的优点就是这种类型终端匹配技术的设计和应用简便易行，在这种终端匹配技术中仅需要一个额外的元器件；这种技术的缺点在于终端匹配电阻会带来直流功率消耗。另外并联终端匹配技术也会使信号的逻辑高输出电平的情况退化。将TTL输出终端匹配到地会降低V OH的电平值，从而降低了接收器输入端对噪声的免疫能力。 对长走线进行并联终端匹配后仿真，波形如下： 2.串联终端匹配 串联终端匹配技术是在驱动器输出端和信号线之间串联一个电阻，是一种源
端的终端匹配技术。驱动器输出阻抗R0以及电阻R值的和必须同信号线的特征阻抗Z0匹配。对于这种类型的终端匹配技术，由于信号会在传输线、串联匹配电阻以及驱动器的阻抗之间实现信号电压的分配，因而加在信号线上的电压实际只有一半的信号电压。 而在接收端，由于信号线阻抗和接收器阻抗的不匹配，通常情况下，接收器的输入阻抗更高，因而会导致大约同样幅度值信号的反射，称之为附加的信号波形。因而接收器会马上看到全部的信号电压（附加信号和反射信号之和），而附加的信号电压会向驱动端传递。然而不会出现进一步的信号反射，这是因为串联的匹配电阻在接收器端实现了反射信号的终端匹配。 串联终端匹配技术的优点是这种匹配技术仅仅为系统中的每一个驱动器增加一个电阻元件，而且相对于其它的电阻类型终端匹配技术来说，串联终端匹配技术中匹配电阻的功耗是最小的，而且串联终端匹配技术不会给驱动器增加任何额外的直流负载，也不会在信号线与地之间引入额外的阻抗。 由于许多的驱动器都是非线性的驱动器，驱动器的输出阻抗随着器件逻辑状态的变化而变化，从而导致串联匹配电阻的合理选择更加复杂。所以，很难应用某一个简单的设计公式为串联匹配电阻来选择一个最合适的值。 对长走线进行串联终端匹配后仿真，波形如下： 3.戴维南终端匹配
《化工原理》重要概念 第一章流体流动 质点含有大量分子的流体微团，其尺寸远小于设备尺寸，但比起分子自由程却要大得多。 连续性假定假定流体是由大量质点组成的、彼此间没有间隙、完全充满所占空间的连续介质。 拉格朗日法选定一个流体质点 , 对其跟踪观察，描述其运动参数 ( 如位移、速度等 ) 与时间的关系。 欧拉法在固定空间位置上观察流体质点的运动情况，如空间各点的速度、压强、密度等，即直接描述各有关运动参数在空间各点的分布情况和随时间的变化。 轨线与流线轨线是同一流体质点在不同时间的位置连线，是拉格朗日法考察的结果。流线是同一瞬间不同质点在速度方向上的连线，是欧拉法考察的结果。 系统与控制体系统是采用拉格朗日法考察流体的。控制体是采用欧拉法考察流体的。 理想流体与实际流体的区别理想流体粘度为零，而实际流体粘度不为零。 粘性的物理本质分子间的引力和分子的热运动。通常液体的粘度随温度增加而减小，因为液体分子间距离较小，以分子间的引力为主。气体的粘度随温度上升而增大，因为气体分子间距离较大，以分子的热运动为主。 总势能流体的压强能与位能之和。 可压缩流体与不可压缩流体的区别流体的密度是否与压强有关。有关的称为可压缩流体，无关的称为不可压缩流体。 伯努利方程的物理意义流体流动中的位能、压强能、动能之和保持不变。 平均流速流体的平均流速是以体积流量相同为原则的。 动能校正因子实际动能之平均值与平均速度之动能的比值。 均匀分布同一横截面上流体速度相同。 均匀流段各流线都是平行的直线并与截面垂直 , 在定态流动条件下该截面上的流体没有加速度 , 故沿该截面势能分布应服从静力学原理。
层流与湍流的本质区别是否存在流体速度 u 、压强 p 的脉动性，即是否存在流体质点的脉动性。 第二章流体输送机械 管路特性方程管路对能量的需求，管路所需压头随流量的增加而增加。 输送机械的压头或扬程流体输送机械向单位重量流体所提供的能量 (J/N) 。 离心泵主要构件叶轮和蜗壳。 离心泵理论压头的影响因素离心泵的压头与流量，转速，叶片形状及直径大小有关。 叶片后弯原因使泵的效率高。 气缚现象因泵内流体密度小而产生的压差小，无法吸上液体的现象。 离心泵特性曲线离心泵的特性曲线指 H ｅ～ q V ，η～ q V ， P ａ～ q V 。 离心泵工作点管路特性方程和泵的特性方程的交点。 离心泵的调节手段调节出口阀，改变泵的转速。 汽蚀现象液体在泵的最低压强处 ( 叶轮入口 ) 汽化形成气泡，又在叶轮中因压强升高而溃灭，造成液体对泵设备的冲击，引起振动和侵蚀的现象。 必需汽蚀余量 (NPSH)r 泵入口处液体具有的动能和压强能之和必须超过饱和蒸汽压强能多少 离心泵的选型 ( 类型、型号 ) ①根据泵的工作条件，确定泵的类型；②根据管路所需的流量、压头，确定泵的型号。 正位移特性流量由泵决定，与管路特性无关。 往复泵的调节手段旁路阀、改变泵的转速、冲程。 离心泵与往复泵的比较 ( 流量、压头 ) 前者流量均匀，随管路特性而变，后者流量不均匀，不随管路特性而变。前者不易达到高压头，后者可达高压头。前者流量调节用泵出口阀，无自吸作用，启动时关出口阀；后者流量调节用旁路阀，有自吸作用，启动时开足管路阀门。 通风机的全压、动风压通风机给每立方米气体加入的能量为全压 (Pa=J/m 3 ) ，其中动能部分为动风压。
容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 公式 也可表示为 设S为有限集,,则 两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C 详细推理如下： 1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C 2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C 3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。 4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。 5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5， 则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。 2严格证明 对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明： 证明：当时，等式成立()。 假设时结论成立，则当时， 所以当时，结论仍成立。因此对任意，均可使所证等式成立。 3原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B) 例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 答案 15+12-4=23 试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-（62+34-11）=15 4原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A 类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C） 例1 某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个
化工原理公式总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第一章 流体流动与输送机械 1. 流体静力学基本方程：gh p p ρ+=02 2. 双液位U 型压差计的指示:)21(21ρρ-=-Rg p p ) 3. 伯努力方程：ρ ρ2 22212112121p u g z p u g z + +=++ 4. 实际流体机械能衡算方程：f W p u g z p u g z ∑+++=++ρ ρ2 22 212112121+ 5. 雷诺数：λ μ ρ64 Re = =du 6. 范宁公式：ρρμλf p d lu u d l Wf ?==??=2 2322 7. 哈根-泊谡叶方程：2 32d lu p f μ=? 8. 局部阻力计算：流道突然扩大：2211??? ??-=A A ξ流产突然缩小：??? ? ? -=2115.0A A ξ 9. 混合液体密度的计算：n wn B wB A wA m x x x ρρρρ+ ++=....1ρ液体混合物中个组分得密度， 10. Kg/m 3,x--液体混合物中各组分的质量分数。 10。表压强=绝对压强-大气压强真空度=大气压强-绝对压强 11. 体积流量和质量流量的关系：w s =v s ρm 3/skg/s 整个管横截面上的平均流速： A Vs = μA--与流动方向垂直管道的横截面积，m 2 流量与流速的关系： 质量流量：μρ ===A v A w G s s G 的单位为：kg/ 12. 一般圆形管道内径：πμs v d 4= 13. 管内定态流动的连续性方程： 常数 =====ρμρμρμA A A s w (222111) 表示在定态流动系统中，流体流经各截面的质量流量不变，而流速u 随管道截面积A 及流体的密度ρ而变化。 对于不可压缩流体的连续性方程： 常数=====A A A s v μμμ (2211) 体积流量一定时流速与管径的平方成反比：() 2 2 121d d = μμ 14.牛顿黏性定律表达式：dy du μ τ=μ为液体的黏度=1000cP 15平板上边界层的厚度可用下式进行评估：
容斥原理公式及运用 在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路就是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1:两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既就是A类又就是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都就是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都就是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2:三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩
A+A∩B∩C。即得到: 【示例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A,参加排球队→B,参加游泳队→C,足球、排球都参加的→A∩B,足球、游泳都参加的→C∩A,排球、游泳都参加的→B∩C,三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
化工原理化工计算所有公式总 结 第一章 流体流动与输送机械 1. 流体静力学基本方程：gh p p ρ+=02 2. 双液位U 型压差计的指示: )21(21ρρ-=-Rg p p ) 3. 伯努力方程：ρ ρ2 2221 211212 1 p u g z p u g z ++=+ + 4. 实际流体机械能衡算方程：f W p u g z p u g z ∑+++=+ +ρ ρ2 2221 211212 1 + 5. 雷诺数：μ ρ du = Re 6. 范宁公式：ρρμλf p d lu u d l Wf ?==??=2 2322 7. 哈根-泊谡叶方程：2 32d lu p f μ= ? 8. 局部阻力计算：流道突然扩大：2 211?? ? ?? -=A A ξ流产突然缩小：??? ??-=2115.0A A ξ 第二章 非均相物系分离 1. 恒压过滤方程：t KA V V V e 222=+
令A V q /=，A Ve q e /=则此方程为：kt q q q e =+22 第三章 传热 1. 傅立叶定律：n t dA dQ ??λ-=，dx dt A Q λ-= 2. 热导率与温度的线性关系：)1(0t αλλ+= 3. 单层壁的定态热导率：b t t A Q 21-=λ，或m A b t Q λ?= 4. 单层圆筒壁的定态热传导方程： )ln 1(21 2 21r r t t l Q λπ-= 或m A b t t Q λ21-= 5. 单层圆筒壁内的温度分布方程：C r l Q t +- =ln 2λ π（由公式4推导） 6. 三层圆筒壁定态热传导方程：3 4 12321214 1ln 1ln 1ln 1(2r r r r r r t t l Q λλλπ++-= 7. 牛顿冷却定律：)(t t A Q w -=α，)(T T A Q w -=α 8. 努塞尔数λαl Nu =普朗克数λ μ Cp =Pr 格拉晓夫数223μρβtl g Gr ?= 9. 流体在圆形管内做强制对流： 10000Re >，1600Pr 6.0<<，50/>d l k Nu Pr Re 023.08.0=，或k Cp du d ??? ? ????? ??=λμμρλα8 .0023.0，其中当加热时，k=0.4，冷却时
教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思; 符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思. ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理?图示 AI B ,即阴影面积?图示 第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B （意思是把A B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起）; 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B （意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）? 、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是A 类又是B 类 的元素个数 既是B 类又是C 类的元素个数 既是A 类又是C 类的元素个数 同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .图示如下： 如下:A 表示小圆部分, B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分，记为: 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 的并集AU B 的元素的个数，可分以下两步进行:
例题精讲 【例1】 “走美”主试委员会为三?八年级准备决赛试题。 每 个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年 级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3次。本届活动至少要准备 道决赛 试题。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用 4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有 8 6 4 2 56 （道）题目。 【答案】56题 【例2】 将1?13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为: 13 X 4+ (12+11 + 10+9 ) X 3+ 8+7+6+5 ) X 2+ 4+3+2+1 ) =240. 【答案】240 【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星?如果每条线段上恰有 这个五角星上红色点最少有多少个 ？ 目 tMlF 13个区域中，然后把每 1994个点被染成红色，那么在
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题 一、介绍三集合整体重复型核心公式 在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 二、典型的三集合整体重复型的题目讲解 例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题) A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出： 解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。 解二：套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 35=x+y+5 17+30+13=x×1+y×2+5×3 解得：x= 15，y=15
例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题) A. 69 B.65 C.57 D.46 【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 这里需要注意的是W=105，而非125， 105=x+y+24 89+47+63=x×1+y×2+24×3 两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。 例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试?准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?(2010年国家公务员考试行测第47题) A. 120 B.144 C.177 D.192 【答案】A 解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人， W=x+46+24 63+89+47=x×1+46×2+24×3 通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。 例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(2011 年国家公务员考试行测试卷第74题) A. 37 B.36 C.35 D.34
第一章流体流动 1.牛顿粘性定律： 2.静力学基本方程： 3. 4.流速与流量的关系： 5.连续性方程：对于不可压缩流体： 6.伯努力方程： 7.雷诺数平板：直圆管： 8.圆管层流的速度分布 9.圆管湍流的速度分布 (n通常取1/7) 10.动能校正系数注： 层流时：湍流时： 11.圆管湍流时的平均速度： 12.哈根—泊谡叶方程： 13.阻力损失其中层流时：湍流时：查图
14.非圆形直管的当量直径 16.局部阻力损失 17.伯努力方程（机械能衡算） 18.流速和流量的测定 皮托管：孔板流量计：文丘里流量计： 转子流量计： 转子流量计的刻度换算： 第二章流体流动机械 1.离心泵的功率
2.离心泵的轴功率 3.影响因素：密度： 粘度： 转速： 叶轮直径： 4.汽蚀余量： 5.最大安装高度： 第三章液体的搅拌 1.功率特征常数： 2.搅拌雷诺数： 3. 4.搅拌器的放大 原则：几何相似（Re）、运动相似（Fr）、动力相似（We）、热相似 ○1.○2. ○3. ○4.○5.○6. 第四章流体通过颗粒层的流动 1.床层空隙率：
2.床层比表面积： 3.床层当量直径： 4.床层压降： 5.床层雷诺数： 6. 7.(Re’=0.17~420)欧根方程： 当Re’<3时，等式右方第二项可以略去 当Re’>100时，右方第一项可以略去 8.过滤速度： 9.滤饼厚度：其中体积分数 10.过滤速度：令 11.过滤基本方程：，其中 12.恒速过滤： 13.恒压过滤： 14.先恒速后恒压： 15.洗涤时间： 16.板框压滤机的洗涤时间：
17.间歇式过滤机的生产能力： 18.回转真空过滤机： 第五章颗粒的沉降与流态化 1. 2. 3. 4. 5.当颗粒直径较小时，位于Stocks区 当颗粒直径较大时，位于Newton区 6.K判值法： Stocks区：K<2.62(3.3) Newton区:K<4.36(69.12) 7.降尘室的生产能力： 8.离心沉降：将重力沉降中的g改为 第六章传热 一、热传导（无内热源）
阻抗匹配定义 阻抗匹配是指负载阻抗与激励源内部阻抗互相适配，得到最大功率输出的一种工作状态。对于不同特性的电路，匹配条件是不一样的。 在纯电阻电路中，当负载电阻等于激励源内阻时，则输出功率为最大，这种工作状态称为匹配，否则称为失配。 当激励源内阻抗和负载阻抗含有电抗成份时，为使负载得到最大功率，负载阻抗与内阻必须满足共扼关系，即电阻成份相等，电抗成份只数值相等而符号相反。这种匹配条件称为共扼匹配。 阻抗匹配（Impedance matching）是微波电子学里的一部分，主要用于传输线上，来达至所有高频的微波信号皆能传至负载点的目的，不会有信号反射回来源点，从而提升能源效益。史密夫图表上。电容或电感与负载串联起来，即可增加或减少负载的阻抗值，在图表上的点会沿著代表实数电阻的圆圈走动。如果把电容或电感接地，首先图表上的点会以图中心旋转180度，然后才沿电阻圈走动，再沿中心旋转180度。重覆以上方法直至电阻值变成1，即可直接把阻抗力变为零完成匹配。 大体上，阻抗匹配有两种，一种是透过改变阻抗力（lumped-circuit matching），另一种则是调整传输线的波长（transmission line matching）。 要匹配一组线路，首先把负载点的阻抗值，除以传输线的特性阻抗值来归一化，然后把数值划在史密夫图表上。 1. 改变阻抗力 把电容或电感与负载串联起来，即可增加或减少负载的阻抗值，在图表上的点会沿著代表实数电阻的圆圈走动。如果把电容或电感接地，首先图表上的点会以图中心旋转180度，然后才沿电阻圈走动，再沿中心旋转180度。重覆以上方法直至电阻值变成1，即可直接把阻抗力变为零完成匹配。 2. 调整传输线 由负载点至来源点加长传输线，在图表上的圆点会沿著图中心以逆时针方向走动，直至走到电阻值为1的圆圈上，即可加电容或电感把阻抗力调整为零，完成匹配。 阻抗匹配则传输功率大，对于一个电源来讲，单它的内阻等于负载时，输出功率最大，此时阻抗匹配。最大功率传输定理，如果是高频的话，就是无反射波。对于普通的宽频放大器，输出阻抗50Ω，功率传输电路中需要考虑阻抗匹配，可是如果信号波长远远大于电缆长度，即缆长可以忽略的话，就无须考虑阻抗匹配了。阻抗匹配是指在能量传输时,要求负载阻抗要和传输线的特征阻抗相等,此时的传输不会产生反射,这表明所有能量都被负载吸收了.反之则在传输中有能量损失。高速PCB布线时，为了防止信号的反射，要求是线路的阻抗为50欧姆。这是个大约的数字,一般规定同轴电缆基带50欧姆,频带75欧姆,对绞线则为 100欧姆,只是取个整而已,为了匹配方便。 阻抗从字面上看就与电阻不一样，其中只有一个阻字是相同的，而另一个抗字呢？简单地说，阻抗就是电阻加电抗，所以才叫阻抗；周延一点地说，阻抗就是电阻、电容抗及电感抗在向量上的和。在直流电的世界中，物体对电流阻碍的作用叫做电阻，世界上所有的物质都有电阻，只是电阻值的大小差异而已。电阻小的物质称作良导体，电阻很大的物质称作非导体，而最近在高科技领域中称的超导体，则是一种电阻值几近于零的东西。但是在交流电的领域中则除了电阻会阻碍电流以外，电容及电感也会阻碍电流的流动，这种作用就称之为电抗，意即抵抗电流的作用。电容及电感的电抗分别称作电容抗及电感抗，简称容抗及感抗。它们的计量单位与电阻一样是奥姆，而其值的大小则和交流电的频率有关系，频率愈高则容抗愈小感抗愈大，频率愈低则容抗愈大而感抗愈小。此外电容抗和电感抗还有相位角度的问题，具有向量上的关系式，因此才会说：阻抗是电阻与电抗在向量上的和。 阻抗匹配是指负载阻抗与激励源内部阻抗互相适配，得到最大功率输出的一种工作状态。对于不同特性的电路，匹配条件是不一样的。 在纯电阻电路中，当负载电阻等于激励源内阻时，则输出功率为最大，这种工作状态称为匹配，否则称为失配。 当激励源内阻抗和负载阻抗含有电抗成份时，为使负载得到最大功率，负载阻抗与内阻必须满足共扼关系，即电阻成份相等，电抗成份只数值相等而符号相反。这种匹配条件称为共扼匹配。 第 1 页