求数列通项公式的常用方法
一、运用等差数列和等比数列知识
若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。 例1：若等差数列{a n }满足b n =(21)n a ，且b 1+b 2+b 3=821,b 1·b 2·b 3=8
1
，求通顶公式a n . 解析：由b 1·b 2·b 3=
81?a 1+a 2+a 3=3?a 2=1，
根据题设可设等差数列{a n }的公差为d ，则由b 1+b 2+b 3=8
21
，∴(
21)1-d +(21)1+(21)1+d =8
21
?d=2或d=-2，∴a n =a 2+(n-2)d=2n-1或a n =5-2n 。 1. （20XX 年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则
n a =______________.
2.已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列.求数列}{n a 的通项公式;
3.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，
，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．
4.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
2..解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，
由6711a a q ==，得6
1a q -=，从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==．
因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+， 即3
122(1)q
q q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．
所解：（1）由已知得12313
27:(3)(4)3.2
a a a a a a ++=??
?+++=??， 解得22a =．
3.设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q ==，．又37S =，可知2
227q q
++=，即
22520q q -+=，解得121
22
q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为
12n n a -=．
4.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4
2
12211413d q d q ?++=??++=??，
，
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，11
2n n n b q --==．
12q =．故1
16111642n n n n a a q q q ----??=== ?
??．
二、运用S n 与a n 的关系
当n=1时，S 1=a 1，当n ≥2时，11,(1),(2)n n
n S n a S S n -=?=?-≥?
例1：已知数列{a n }的前n 项和S n =10n
+1，求通项公式a n .
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1=10n +1-(10n-1+1)=9·10n-1
，又当n=1时，a 1=S 1=11不适合上式，∴通项公式a n =??
?≥?=-)
2(10
9)1(111
n n n 。
例2：正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若2n S =a n +1(n ∈N *
)，求通项公式a n .
解析：根据题设2n S =a n +1得4S n =a n 2
+2a n +1，当n ≥2时，有4S n-1=a n-12
+2a n-1+1，二式相减，得4a n =a n 2
-a n-12
+2(a n -a n-1)，即a n 2
-a n-12
-2(a n +a n-1)=0，由a n >0知a n -a n-1=2，所以{a n }是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S 1=a 12
+2a 1+1?a 1=1，故a n =2n-1.
1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，32+=n
n S ;求n a .
2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2log (1)1n S n +=+，求通项n a ；
3.设数列{}n a 满足首项11a =，前n 项和n S 与通项n a 满足：22(2)21
n
n n S a n S =≥-，求通项n a .
4. 已知数列{}n a 满足：12323(1)(2)n a a a na n n n ++++=++，求通项n a .
5.已知数列{2n -1a n }的前n 项和96n S n =-．⑴求数列{a n }的通项公式； ⑵设2||3log 3n n a b n ?
?=- ???，求数列1n b ??????
的前n 项和．
6. 设﹛a n ﹜的前n 项和为S n ,且满足s n =n 2+2n -1, 求﹛a n ﹜的通项公式
答案：5.1) 162
n n a -=- (2)1n
n +
三、累加法和累乘法
若已知数列的递推公式为a n+1=a n +f(n)可采用累加法，数列的递推公式 为a n+1=a n ·f(n)则采用累乘法。
1、累加法 递推式为：a n+1=a n +f(n ) (f(n)可求和)
可能要用到的一些公式：2
2
2
2(1)(21)
123
6n n n n +++++=
3
3
3
32
(1)123
[]2
n n n ++++= (1)
123
2
n n n ++++=
例1、已知数列{a}中,a 1=1,a n+1=a n +n
2,求a n 解： 令n=1,2,…,n-1可得
a 2-a 1=2 a 3-a 2=22
a 4-a 3=23
……
a n -a n-1=2n-1
将这个式子累加起来可得
a n -a 1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和 ∴a n =a 1+f(1)+f(2)+…+f(n -1) 当n=1时,a 1适合上式 故a n =2n -1 2、累乘法
递推式为：a n+1=f(n)a n （f(n)要可求积） 例1、在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=(n+1)a n /n,求a n
解： 令n=1,2, …,n-1可得 a 2/a 1=f(1)
a 3/a 2=f(2) a 4/a 3=f(3)
……
a n /a n-1=f(n-1)
将这个式子相乘后可得a n /a 1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即a n =2n 当n=1时，a n 也适合上式∴a n =2n
1.1n n a a n -=+ *
(n N ∈，且2)n ≥；
2.数列{}n a 满足首项13a =，1(1)n n na n a +=+，求通项n a
3. 已知数列{}n a 满足11a =，(1)2
n
n n a S +=(1)n ≥，求{}n a 的通项公式. 4、设数列{}n a 满足首项11
2
a =
，2123n n a a a a n a ++++=，求通项n a .
5.设{a n }是首项为1的正项数列且(n+1)·a n+12
-na n 2
+a n+1·a n =0(n=1,2, 3……)，求它的通项公式a n .
6. 在数列{n a }中，31=a ,)
1(1
1++
=+n n a a n n ，求通项公式n
a 7.
设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12
2
1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公
式是n a =▁▁▁（
答案 5.解析：由(n+1)·a n+12
-na n 2
+a n+1·a n =0得(a n+1+a n )[(n+1)a n+1-na n ]=0,又a n ,a n+1>0,∴a n+1=
1
+n n
a n ，则a 2=
21a 1, a 3=32a 2……a n =n n 1-a n-1，把n 个式子累乘得: a n =(21)·(32)……(n n 1-)·a 1，又a 1=1故得a n =n
1。 四、待定系数法
（1）对于形如a n+1=pa n +q(p,q 为常数)的递推公式都可以采用此法，即可设a n+1-t=p(a n -t)再设法求出参数t.
例1在数列{a n }中a 1=1，当n ≥2时，有a n =3a n-1+2，求其通项a n .
解析：由题设知a n+1=3a n +2，可化为a n+1-t=3(a n -t)，即a n+1=3a n -2t ，比较系数得-2t=2，即t ＝－1，于是a n+1+1=3(a n +1)，故数列{a n +1}是公比为3的等比数列，首项为a 1+1=2，则a n +1=2·3n-1
，即a n =2·3n-1
-1。
1.11a =，112
n
n a a +=+
； 2. 11a =，181n n a a +=+. 3. （2）、递推式为a n+1=pa n +q n (p,q 为常数)
思路：1）当p=q 时，在a n+1=pa n +q n 两边同时除以q n+1得 a n+1/q n+1=p/qa n /q n +i/q
构造数列{b n },b n =a n /q n 可得b n+1=p/qb n +1/q 故可利用上类型的解法得到b n =f(n)再将代入上式即可得a n 2）当p ≠q 时，构造等比数列a n+1-t q n =p(a n -t q n-1)，在求数列a n 例2、数列{a n }中,a 1=5/6,a n+1=(1/3)a n +(1/2)n ,求a n 解： 在a n+1=(1/3)a n +(1/2)n 两边同时除以(1/2)n+1得 2n+1a n+1=(2/3)×2n a n +1
构造数列{b n },b n =2n a n 可得b n+1=(2/3)b n +1 故可利用上类型解法解得b n =3-2×(2/3)n 2n a n =3-2×(2/3)n a n =3×(1/2)n -2×(1/3)n
1.114a =
，1122
n
n n a a --=+(2)n ≥ 2. 数列{a n }中,a 1=1,a n+1=3a n +3n ,求a n
（3）、递推式为：a n+2=pa n+1+qa n （p,q 为常数） 思路：设a n+2=pa n+1+qa n 变形为a n+2-xa n+1=y(a n+1-xa n ) 也就是a n+2=(x+y)a n+1-(xy)a n ，则可得到x+y=p,xy= -q
解得x,y ，于是｛b n ｝就是公比为y 的等比数列（其中b n =a n+1-xa n ） 这样就转化为前面讲过的类型了．
例3、已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n+2=(2/3)·a n+1+(1/3)·a n ,求a n 解：设a n+2=(2/3)a n+1+(1/3)a n 可以变形为a n+2-xa n+1=y(a n+1-xa n )
也就是a n+2=(x+y)a n+1-(xy)a n ，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3 可取x=1,y= -1/3
构造数列｛b n ｝，b n =a n+1-a n
故数列｛b n ｝是公比为-1/3的等比数列 即b n =b 1(-1/3)n-1 b 1=a 2-a 1=2-1=1 b n =(-1/3)n-1 a n+1-a n =(-1/3)n-1
故我们可以利用上一类型的解法求得a n =1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n €N *
)
1.11a =，22a =，1232n n n a a a --=-(3)n ≥；
2. 11a =，22a =，1232--=+n n n a a a (3)n ≥；
（4）递推式为：a n+1=pa n +q n +k (p,q 为常数)
1. 已知数列{}n a 中，13a =，满足)2(1221≥-+=-n a a n
n n ；
五、 猜证法 (观察法+数学归纳法)
根据给出的公式，先求出数列的前n 项，从中观察出规律，猜出通项公式， 再用数学归纳法证明。
即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论。 例1、数列{}n a 的前四项为：11、102、1003、10004、……，则n a =_____。
分析：234
11101,102102,1003103,10004104=+=+=+=+即10n n a n =+
例2：已知数列{a n }满足a 1=1，S n =
n a n ?+21
，求通项a n . 解析：由a 1=1，当n=2时，a 1+a 2=2
3
a 2?a 2=2a 1=2，当n=3时，a 1+a 2+a 3=2a 3
?a 3=3，同理可得a 4=4，……猜想得a n =n ，下面用数学归纳法证明。
1°当n=1，2，3时，已验算成立，2°假设n=k 时，猜想成立，即a k =k ，当n=k+1时，S k+1=
2
2
+k a k+1，又S k =21+k a k =22k k +，二式相减，得a K+1=22+k a k+1-22k k +?2k a k+1=2
)
1(+k k ?a k+1=k+1，即n=k+1时
猜想也成立，由1°2°知对于一切自然数n 都有a n =n.
六、不动点法 (对于分式不等式) 形如 的递推式 例1： 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1
211
+=--n n n a a a ，求通项公式n a 。
解： 将1211+=
--n n n a a a 两边取倒数得：
2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是11
1=a ，公差为2，所以122)1(11-=?-+=n n a n ，即1
21-=n a n .
1. 若a 1=1，
n a 1-1
1
-n a =2，求通项a n .
2.若a 1=1，a n-1-a n =2a n-1a n ，求通项a n .
3. 若a 1=1，a n =
1
211
+--n n a a ，求通项a n .
七、取对数法
例11： 若数列{n a }中，1a =3且2
1n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁（20XX 年上海高考题）.
解 由题意知n a ＞0，将2
1n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即
2lg lg 1
=+n
n a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，1
2113lg 2lg lg -=?=-n n n a a ，即1
23-=n n a .
八、 恒等变形法
将给出式恒等变形，使之转化为与a n 或S n 有关的等差和等比数列，此法有一定的技巧性。
1
n
n n pa a qa p
+=+
例1：在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =1
222-n n
S S (n ≥2)，求通项a n .
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1=1
222-n n S S ,则2 S n S n-1 =- S n + S n-1 ,两边同除以S n S n-1 得n S 1 -11
-n S =2 (n
≥2)，又a 1=S 1=1，则11S =1，∴数列{n S 1}是以1
1S =1为首项，2为公差的等差数列，∴n S 1
=1+(n-1)·2=2n-1，
∴S n =121-n ，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -3
21
-n = - )32)(12(2--n n ，而n=1时，a 1=S 1=1不适合上
式，∴a n =??
?
??≥---=)2()32)(12(2
)1(1n n n n 。 例2：已知通项数列{a n }的前n 项S m 满足S n =2
1
(a n +n a 1)，求通项a n 。
解析：由S n =21(a n +n a 1)，当n=1时，S 1=a 1=2
1
(a 1+11a )?a 1=1,当n ≥2时，a n =S n -S n-1，则
2S n =S n -S n-1+11--n n S S ,∴S n +S n-1=1
1--n n S S ，即S n 2-S n-12=1，∴数列{S n 2
}是公差为1的等差数列，且首项
S 12=a 12=1，∴S n 2
=1+(n-1)，又S n >0，∴S n =n ，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=1--
n n ,又当n=1时也适合上
式，故a n =n-1-n .
1. 若数列{n a }中，1a =2且2
13-+=n n a a （n 2≥），求它的通项公式是n a
答案：将2
13-+=
n n a a 两边平方整理得3212=--n n a a 。数列{2n a }是以21a =4为首项，3为公差的等差数
列。133)1(2
12+=?-+=n n a a n 。因为n a ＞0，所以13+=n a n 。
求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函
数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。
数列通项公式的常见求法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式 例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。 解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式 若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。 解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式； 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式； 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项 和的最小值
求数列通项公式的方法 教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能 合写时一定要合并． 练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；
三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】
几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．
2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P
㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。
常见数列通项公式的求 法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。 答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。 （2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，
数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9， 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法 1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n (2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4] 求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解常见数列通项公式的求法
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