第九讲 追击问题
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追及路程＝甲走的路程—乙走的路程
＝（甲的速度×追及时间）—（乙的速度×追及时间）
＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）
解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差306090=-（千米），所以追及时间830240=÷（小时）.
【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
解析：若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了200540=?（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？10)4060(540=-÷?（分），哥哥10分钟可以追上弟弟.
【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？
解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短51015=-（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：2)1015(10=-÷（小时），还需要2个小时.
【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？
解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。
1)678()126(=-÷?(小时)．
例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？
解析：如图：
当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270=?(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短21070280=-(米)，也就是爸爸与小明的速度差为21070280=-(米/分),爸爸追及的时间：
4210840=÷(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发16412=+(分钟)，此时离家的距离是：11201670=?(米)
【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
解析：哥哥出发的时候弟弟走了：200540=?（米），哥哥追弟弟的追及时间为：8)4065(200=-÷（分钟），所以家离学校的距离为：520658=?（米）.
【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.
解析：小强出发的时候小明走了6001250=?（米），被小强追上时小明又走了：850)6001000(=÷-（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：12581000=÷（米/分钟）.
例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
解析：小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：3903)7060(=?+(米)追及时间为：39)6070(390=-÷(分钟)
小强走的总路程为：2940)339(70=+? (米)
【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 解析：要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：40602400=÷(分钟)，小明所用的时间是：301040=-(分钟)，
小明每分钟走的米数是：80302400=÷(米)．
例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
解析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了12225=+?(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：8401270=?(米)，速度差为：4070110=-(米/秒)，王芳追上李华的时间是：2140840=÷(分钟)
【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？
解析：本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：126072=-（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是51260=÷（分钟）．共整理报纸：7202725=??（份）
【巩固2】甲、乙两车同时从A 地向B 地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A 地；到达A 地后又立即向B 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B 地，求A 、B 两地的路程．
解析：根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A 地到B 地所用的时间，由此可以求出A 、B 两地的路程,追及路程为：68234=?(千米);追及时间为：17)3438(68=-÷(小时).A 、B 两地的路程为：6461738=?(千米).
例5:甲、乙两辆汽车同时从A 地出发去B 地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B 地．A 、B 两地间的路程是多少？
解析：由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B 地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行
这段路程甲车比乙车少用的时间是：213=-(小时)，乙车2小时行的路程是：80240=?(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：104050=-(千米)，甲车所需的时间是：81080=÷(小时)，A 、B 两地间的路程是：400850=?(千米)．
【巩固1】甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在
后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A 、B 两地间的距离．
解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：415=-(小时),
追及路程为：644)8096(=?-(千米),A 、B 两地间的距离为：1606496=+(千米)
【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：1484)2865(=?- (千米).
例6：小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？
解析：小明比小芳提前3分钟出发，则多走210370=?（米）．两家之间的所剩路程是12002101410=-(米)，两人的速度和是1508070=+（米），所剩路程需：8)8070(1200=+÷（分）走完．小明家距离学校770)38(70=+?（米）．
【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
解析：追及时间：1)1215(3=-÷(小时)，
此时距部队驻地还有：11516=-(千米)．
例7：甲、乙两列火车同时从A 地开往B 地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达．求A 、B 两地间的距离．
解析：这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．
方法一：如图：
甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：
-(小时)，此时路程差为：120
8=
6
2
?(千米)，此时路程差就是甲车2小时
6
20=
的路程，所以甲车速度为：60
÷(千米/小时)，A、B两地间的距离：
120=
2
?(千米)
60=
8
480
方法二：如图：
假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：160
?(千米)，这段
20=
8
路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：80
÷(千米/小时)，乙车到达时
160=
2
用了：6
-(小时)，A、B两地间的距离：480
8=
2
80=
?(千米)
6
例8：龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？
解析：⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要
500=
100
÷(分40=
10
4
÷(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5
钟)才能到达，所以乌龟胜利了．
⑵乌龟跑到终点还要4
1000=
÷
÷(分
2
10
100
40=
÷(分钟)，而小兔跑到终点还要5钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100
100=
?(米)．
1
【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
解析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为50
?(米/分)，
5
10=
乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了500
?(米)，还剩
50=
10
50
÷(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终-(米)，需要10
500=
1000=
500
500
点需要的时间是：10
÷(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．
1000=
100
例9：军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
解析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间：
(=
-
-
?（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.
10
÷
1000
600
20
1000
)
)
(
1470
【巩固】(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
解析：这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间 路程差÷时间差．由题意知，追及时间为5秒钟，也就是)
÷小时，两车相距距离为路程
5?
(
60
60
差，速度差为18
90
-(千米/时)，也就是18000米/时，所以路程差为：108=
÷
?(米)，所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米．
18000=
3600
5
25
例10：小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
解析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为4
÷(米)；若小红让
20=
5
小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于24
?(米)，就是小蓝在4秒内跑了24米，所以
4=
6
可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．
综合列式计算如下：小蓝的速度为：6
?
÷
÷(米/秒)，
6
4
5
20=
小红的速度为：10
+(米/秒)
6=
4
【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若
甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为2
÷(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上
5
10=
乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于8
?(米)，即乙在2
4
2=
秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：4
5
10=
4
÷(米/秒)
+
÷（米）甲的速度为：6
2
4
10=
5
?
÷
例11：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
解析：先画图如下：
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程，用时间应为：20
-分.
26=
6
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为1600
50=
?（米）.
+
(
)6
26
所以，甲的速度为80
1600=
÷（米/分），
20
由此可求出A、B间的距离：80
-
÷
?（米/分），
50=
+
)6
(
)6
(
26
26
(=
?
+（米）
80
)
780
6
50
例12：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300米处遇到乙，此时他们离开学校已经 30分钟．问：甲、乙每分钟各走多少米？
解析：根据题意，画线段图如下：
方法一：30分钟内，二人的路程和：4800
?(米)，因此速度和为：
2
2400=
2400=
+(米)，所
300
4800=
160
30
÷(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：2700
以甲速度为：90
160=
90
-(米/分)．
÷(米/分)，则乙速度为：70
30
2700=
方法二：30分钟内，甲的路程为2700
2400=
+(米)，乙走的路程为：
300
2700=
÷(米/分)，-(米)，因此甲的速度为：90
30
300
2400=
2100
乙的速度为：70
2400
÷
-(米/分)
(=
300
30
)
课后练习
1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？
解析：平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走3
-(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也
17=
14
就是求6千米里包含着几个3千米，用2
3
÷(小时)．因为甲地和乙地相距40千
6=
米，兵兵每小时行17千米，2小时走了34
17=
?(千米)，所以兵兵追上平平时，距
2
乙地还有6
-(千米)
40=
34
2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时90 千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
解析：慢车先行的路程是：200
40=
?(千米)，快车每小时追上慢车的千米数
5
是：50
200=
50
÷(小时)，
40
90=
-(千米)，追及的时间是：4
快车行至中点所行的路程是：360
4
?(千米)，
90=
甲乙两地间的路程是：720
?(千米)．
360=
2
3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
解析：同学们15分钟走1080
72=
?（米），即路程差．然后根据
15
速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度．即192
+
÷（米）．
1080=
72
9
4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？
解析：小李2小时走：26
?（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米
13=
2
处出发，则知道两人的路程差是20
-（千米）．每小时小王追上小李
26=
6
-（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：15=
13
2
÷（小时）．
20=
2
10
5、自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
解析：在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18 +9 )千米，而自行车所走的路程为(18 -9 )千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍( = (18 + 9) ÷ (18 - 9) )；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12 ÷2 = 6 (分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：（18 + 9）÷（18 - 9）= 3倍，12 ÷（3 - 1）= 6 (分钟)，摩托车的速度为：9 ÷ 6 = 1.5 (千米/分钟)，自行车的速度为：1.5 ÷ 3 = 0.5 (千米/分钟)
6、在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？
解析：此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。解：2小时=120分甲第一次追上乙所用的时间：
400÷2÷（60-50）=20（分）
甲第二次开始每追乙一次所用的时间：
400÷（60-50）=40（分）
甲从第二次开始追上乙多少次：
（120-20）÷40=2次……20秒
甲共追上乙多少次：2+1=3（次）
答：甲共追上乙3次。
7、在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？
解析：同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多
少？
解：3分20秒=200秒
甲、乙的速度和：400÷40=10（米）
甲、乙的速度差：400÷200=2（米）
甲的速度为每秒多少米？（10+2）÷2=6（米）
乙的速度为每秒多少米？（10-2）÷2=4（米）
答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。
小学奥数行程问题 知识点一：相遇问题 1、两辆汽车同时从相距325 千米的两地相对开出，甲车的速度为35 千米/时，乙车的速度为30 千米/ 时。当甲、乙两车相遇时，它们各行驶了多少千米？ 2、高小帅家距离学校3000 米，小帅妈妈从家出发接小帅放学，而小帅也要从学校回家，他们恰巧同时出发。小帅妈妈每分钟比小帅多走24 米，30 分钟后两人相遇，那么小帅的速度是多少？ 3、甲、乙两辆汽车分别从A、B 两地相对而行，已知甲车的速度为38 千米/ 时，乙车的速度为40 千米/ 时。甲车先行2 小时后，乙车才开始出发，乙车行驶5 小时后两车相遇。求A、B 两地的距离。 4、两列城际列车从两城同时相对开出，其中一列车的速度为40 千米/ 时，另一列车的速度为45 千米/ 时。在行驶途中，两列车先后各停车4 次，每次停车15 分钟，这样经过7 小时后两车相遇。求两城的距离。
5、孙悟空住在水帘洞，铁扇公主住在火焰山，水帘洞和火焰山之间有条流沙河。一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200 千米/小时，铁扇公主的速度是150 千米/小时。他们同时出发，2 小时后还相距500 千米。求水帘洞和火焰山之间的距离。 6、两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲货车的速度为38 千米/时，乙货车的速度为40 千米/时。两车同时行驶4 小时后，还相距多少千米？ 知识点二：追及问题 7、甲、乙两地相距300 千米，一列慢车从甲地出发，速度为70 千米/时。同时一列快车从乙地出发，速度为100 千米/时。如果两车同向行驶，快车在后，慢车在前，经过多少小时快车可以追上慢车？ 8、艾小米步行上学，每分钟走70 米。艾小米从家出发10 分钟后，爸爸发现她将文具盒落在了家中。于是爸爸带着文具盒，以每分钟170 米的速度骑车追赶艾小米。请问：爸爸出发几分钟后可追上艾小米？当爸爸追上艾小米时他们离家多远？
第26讲追及问题 根据“路程和＝速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差 例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同 时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲 和v 乙 ，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米 例1、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 【解析】 典例分析 知识梳理 教学目标
小明12分钟走的路程 200米/分 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70×12=840(米)， 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米， 我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分， 他们之间的距离就缩短280-70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分), 爸爸追及的时间：840÷210=4 (分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16 (分钟)， 此时离家的距离是：70×16=1120(米) 例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）； 哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？ 40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟. 例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）． （2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：160÷2+340=420（千米）． 例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟， 在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟)． 李华在这段时间比王芳多走：70×12= 840(米)， 速度差为：110-70=40 (米/秒)，
十四、追及问题（A卷） 年级班姓名得分 一、填空题 1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙_______小时可追上甲. 2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有______米. 3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用______分钟可赶上父亲? 4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发 5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们.______小可以追上他们? 5.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙.问甲、乙两人每秒钟各跑____,____米. 6.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小明骑自行车的速度是______米/分. 7.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发,出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,_______秒两马相距70米? 8.上午8时8分,小明骑自行车从家里出发.8分后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上他的时候,离家恰是8千米,这时是______时______分. 9.从时针指向4点开始,再过______分,时针正好与分钟重合? 10.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距_______千米? 二、解答题 11.一只狗追赶一只野兔,狗跳5次的时间兔子能跳6次,狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子? 12.当甲在60米赛跑中冲过终点线时,比乙领先10米、比丙领先20,如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点,那么当乙到达终点时将比乙领先多少米? 13.一架敌机侵犯我领空,我机立即起飞迎击,在两机相距50千米时,敌机扭转机头以每分15千米的速度逃跑,我机以每分22千米的速度追击,当我机追至敌机1千米时与敌机激战,只用了半分就将敌机击落.敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分? 14.甲、乙两人环绕周长是400米的跑道跑步,如果两人从同一地点出发背向而行,那么经过2分钟相遇;如果两人从同一地点出发同向而行,那么经过20分钟两人相遇,已知甲的速度比乙快,求甲、乙两人跑步的速度各是多少? ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题 1. 2小时 4×4÷(12-4)=2(小时) 2. 1500米 追上时间是:50×10÷(75-50)=20(分钟) 因此,小张走的距离是:75×20=1500(米)
第03讲解决问题 教学目标 ①学习了解应用题的解决步骤； ①会解决常见的应用题； ③在解决问题的过程中培养学生的独立思考能力。 知识梳理 一、简单应用题 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 二、复合应用题 复合式应用题需要两步或两步以上计算才能求得答案的应用题。解题时后面的每一步得得用前一步。 解答复合应用题时一般有如下四个步骤： （1）弄清题意，找出已知条件和所求问题； （2）分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； （3）拟定解答计划，列出算式，算出得数； （4）检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 典例分析 考点一：简单的应用题 例1、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 【解析】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。例2、一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问：油和桶各重多少千克？
【解析】原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）。 例3、有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？ 【解析】由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。 例4、一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 【解析】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5、有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等？ 【解析】由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 考点二：复合应用题 例1、某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？ 【解析】条件摘录综合法思路： 前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数； 已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧； 根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路： 要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
第九讲追击问题 知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程×追及时间）＝（甲的速度×追及时间） —（乙的速度 ＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间 . ＝速度差×追及时间 千米．同时一列60甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行例1：千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小90快车从乙地出发，每小时行时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）30??6090（千米），所以追及时千米，速度差解析：追及路程即为两地距离2408??30240. 间（小时） 分钟后，哥哥以每分钟.540米的速度步行回家【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从60. 学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）2005?40?（米）；哥哥每地，此时弟弟已走了解析：若经过5分钟，弟弟已到了A10)?60?40?40?5(（分），200米呢？分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这. 10分钟可以追上弟弟哥哥 千米后乙才开始出发，甲每小时10】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶【巩固2 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？15千米，乙每小时行驶10行驶5?15?10（千千米，以后两人的距离每小时都缩短解析：出发时甲、乙二人相距10千米就是几小时能510千米里有几个米），即两人的速度的差（简称速度差），所以2?10)?(15?10. 2个小时追上：（小时），还需要 126千米的速度向某地前进，【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时千米的速度前去联络，问多少小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78 时间后，通讯员能赶上先遣队？小时行驶的路程。解析：追及路程就是先遣队121)?(78?6)(6?12?．(小时) 分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家12米．离家2例：小明步行上学，每分钟行70米的速度去追小明．问爸爸出发几280中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图： 70?12?840(米)，即爸爸要追及的路当爸爸开始追小明时，小明已经离家：程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，280?70?210(米)爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短，280?70?210(米/也就是爸爸与小明的速度差为分),爸爸追及的时间：840?210?412?4?16(分钟(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发)，此70?16?1120(米时离家的距离是：) 【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
追及问题 1、甲、乙两人分别从A村和B村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时走5千米，2小时后甲追上乙，求A、B两村的距离？ 2、甲、乙两人相距4千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，2小时后甲追上乙，乙 每小时行6千米，甲每小时行几千米？ 3、甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车工同一地点出发去追甲， 乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲？ 4、甲、乙二人由A地到B地，甲每分钟走50米，乙每分钟走45米，乙比甲早走4分钟，二人同时到达B地，问A地到B地的距离是多少米？ 5、两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟行660米，乙车追上甲车需要几分钟？ 6、哥哥和弟弟去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才从家里出发，哥哥每分钟走75米，弟弟每分钟走65米，两人同时朝学校前进，问哥哥要多少分钟才能追上弟弟？ 7、师徒二人做零件，徒弟每小时做10个，已经做了20个小时，师傅才开始工作，师傅每 小时做15个，问几小时后师徒二人做的个数相等？ 8、老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车每小时行15千米，先出发2小时后，老王才出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车的速度？
11、在400米环形跑道上，甲、乙二人同时从起跑线出发，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，他们同向而跑，出发后多少秒钟他们第一次相遇？ 12、甲、乙、丙三条小船同时、同地、同向出发，环形周长36千米的小岛巡逻，甲、乙、 丙三条船的速度分别为每小时14千米、10千米、8千米，出发后经过多少小时三条船再同 时相遇？ 13、甲、乙二人赛跑，甲跑200米时，乙落后20米，当乙跑540米时，甲在乙前多少米？ 14、我骑兵以每小时21千米的速度追击敌人，当到某地时，得知敌人已于2小时前逃跑，已知敌人逃跑的速度是每小时15千米，问我骑兵几小时可以追上逃敌？ 15、一辆汽车以每小时30千米的速度从甲地开往乙地，4小时后，一列火车也从甲地开往 乙地，火车的速度是汽车的3倍，问几小时后火车可以追上汽车？ 16、环形跑道长400米，甲、乙两人同时、同地按相同方向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑150米，问经过几分钟后两人再相遇？ 17、甲、乙二人同时骑自行车从东村出发去西村。甲每小时行9千米，乙每小时行12千米。乙到西村时，甲还距西村12千米。两村相距多少千米？ 18、东西两村相距35千米，甲从东村向西村出发5千米后，乙以每小时10千米的速度追甲，追上后立即以原速返回东村。乙到东村时，甲正好到达西村。问甲每小时行多少千米？
生活中的数学 生活中到处有数学，例如，人们经常要外出学习，工作或活动、买东西，就要走路、乘车、坐船。在在这些过程中，都会遇到许多数学问题。用数学知识来解决这些问题，这就是数学实际问题的应用。 学会解决生活中乘车、坐船、走路、买东西、切西瓜等常见的数学问题，可以提高我们动手、动脑的能力和巧妙解决问题的能力。 例1.有25人要到河的对岸去，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，小船至少要载几次，才能全部过河？、分析：如果直接用25÷5=5（次）来计算，那就错了。因为虽然船上每次能坐5个人，但在船返回的时候，必须有一个人跟着船一起返回。所以，每次只能有5-1=4（人）过河。只有在最后一次的时候由于不需要再返回，所以能运5人。那么，小船至少要载（25-5）÷4+1=6（次），才能全部过河。 解答：每次过河的人数：5-1=4（人） 小船至少要载的次数：（25-5）÷4+1=6（次） 答：小船至少要载6次，才能全部过河. 结论：划小船，要有人划，回来还要留1人在船上，划一次船载5人，只能把4人送到河对岸，有1人划回来，但是最后一趟就不需要再划回去。 练习1.有41人要过河，河边只有一条能坐6人的小船，至少要渡几次才能使大家全部过河？ 练习2.有34人要过河，一条只能坐4人的小船，至少要渡几次才能让大家全部过河？ 练习3.有21个小朋友要去小河对岸，只有一条小船，每次最多能坐6人。最少要几次，小朋友才能全部渡河？ 例2.旅游团有30人要去机场乘飞机，团里有两种车，一种是面包车，每辆可乘9人；另一种是小轿车，每辆可乘4人。应怎样派车把这30人送到机场？哪一种派车方案比较合理？ 分析:我们可以只派面包车，30÷9=3（辆）……3（人），3+1=4（辆），要派4辆面包车；也可以只派小轿车，30÷4=7（辆）……2（人），7+1=8（辆），要派8辆小轿车；还可以两种车同时派，根据面包车的数量从多到少考虑，派车的方案列表格如下： 3种方案，即派2辆面包车和3辆小轿车比较好，派出的这5辆车正好坐满，空座位数是0. 解答：最好派2辆面包车，3辆小轿车。 结论：乘车时如果是几种车辆的组合，就要用凑数的方法，看用几辆大车和几辆小车把人一起运走比较合适，可以用列表格的方法将所有方案列举出来，相互比较，得出最优方案。 练习1.一个旅游团20人要过河，河边有大、小两种船，大船每条可坐9人，小船每条可坐4人，应怎样租船把这20人送过河？哪一种租船方案比较好？
追及问题精讲 知识导航 追及路程＝甲走的路程—乙走的路程 ＝（甲的速度×追及时间）—（乙的速度×追及时间） ＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差90-60=30（千米），所以追及时间240÷30=8（小时）. 【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 解析：若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了40×5=300（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷(60-40)=10（分），哥哥10分钟可以追上弟弟. 【巩固2】甲、乙二人都要从去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：10÷(15-10)=2（小时），还需要2个小时. 【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 (6×12)÷(78-6)=1(小时)． 例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？ 解析：如图： 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270=?(米)，即爸爸要追及的路程为840
八中四年级追及问题： 1、（1）甲、乙两人分别从相距18千米的A 村和B村同时向东而行，甲骑车每小时行14千米，乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙？ （2）甲、乙两人分别从相距18千米的A村和B村同时向东而行，甲骑车，乙步行，2小时后甲追上乙。已知甲每小时行14千米，求乙每小时行几千米？ （3）甲、乙两人分别从A村和B村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时走5千米，2小时后甲追上乙，求A、B两村的距离？ 2、甲、乙两人相距4千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，2小时后甲追上乙，乙每小时行6千米，甲每小时行几千米？ 3、甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车工同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲？ 4、甲、乙二人由A地到B地，甲每分钟走50米，乙每分钟走45米，乙比甲早走4分钟，二人同时到达B地，问A地到B地的距离是多少米？ 5、两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟行660米，乙车追上甲车需要几分钟？ 6、哥哥和弟弟去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才从家里出发，哥哥每分钟走75米，弟弟每分钟走65米，两人同时朝学校前进，问哥哥要多少分钟才能追上弟弟？ 7、师徒二人做零件，徒弟每小时做10个，已经做了20个小时，师傅才开始工作，师傅每小时做15个，问几小时后师徒二人做的个数相等？ 8、老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车每小时行15千米，先出发2小时后，老王才出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车的速度？ 9、解放军执行行军任务，部队从某地出发。每小时行12千米，7小时后，通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度追赶部队传达命令，问几小时后可以追上部队？ 10、上午10点，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出12小时追上货船，客船每小时行20千米，问货船每小时行多少千米？
【最新整理，下载后即可编辑】 第12讲追及问题 知识要点 在上节课我们学习了行程问题中的相遇问题，今天我们要学习追及问题。追及问题是指两个物体同向运动后，后一个速度快的物体追前一个速度慢的物体的一种行程问题。它的基本特点是两个物体在相同时间内所走的路程一个比另一个多。其中运动时间相同是一个重要特征，一般我们从追及时间、速度差、路程差等入手。 通过本讲学习，我发现了追及问题的数量关系是：__________________________________. 精典例题 例1:一天，去上学的小明发现小红在他前面150米处，于是以每分钟80米的速度向他追去，已知小红每分钟走50米，问：小明多长时间追上小红？ 距离从150米变成追上时的0米，每分钟距离都在缩短，1分钟缩短30米。 模仿练习 1.甲在乙前面100米，于是乙以每分钟50米的速度向他追去，已知甲每分钟走40米，问：乙多长时间可以追上？ 2.甲乙两人同时从A、B两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行
多远？ 例2:小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米，3分钟后两人相距多少米？ 先求出两人的速度差，再求3分钟一共比小亮多走多少路程。 模仿练习 牛牛每小时行12千米，丁丁每小时行15千米，他俩同时同起点同向出发，5小时后他们之间的距离是多少千米？ 精典例题 例3:六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米。15分钟以后，学校有急事要通知大家，派李老师骑自行车从学校出发用9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 先求出相距路程，再根据速度差=相距路程÷追及时间，求出速度差。 模仿练习
智巧趣题 知识要点 数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。 本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。 翻硬币 【例 1】（2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级2试第6题）桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少_______次可使向上的一面都是“国徽”。 【分析】将4枚硬币都翻转成向上的一面都是“国徽”要翻转偶数次； 翻转2次后的情况为⑴“国徽”、“国徽”、“国徽”、“数字”⑵“数字”、“数字”、“国徽”、“国徽”； 所以翻转2次不能使向上的一面都是“国徽”； 通过如下操作，可使硬币只翻转4次后为向上的一面都是“国徽”； ①“数字”、“国徽”、“国徽”、“国徽”②“国徽”、“数字”、“数字”、“国徽”； ③“数字”、“国徽”、“数字”、“数字”；④“国徽”、“国徽”、“国徽”、“国徽”。 【例 2】桌上放有345枚正面朝下的硬币，第1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚，……，第345次翻动其中345枚。经过345次翻动后，能否使这345枚硬币都正面朝上？【分析】第1次与第344次合起来共翻动345枚硬币，可将所有硬币各翻动一次； 同理，第2次与第343次，第3次与第342次，……，第172次与第173次， 都可将所有硬币各翻动一次； 第345次也将所有硬币各翻动一次；
追及问题 1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出 发去追甲,乙每小时行12千米,乙_______小时可追上甲. 2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快, 每分钟走75米.小张家到公园有______米. 3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子 用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用______分钟可赶上父亲? 4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后 继续前进,在出发 5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们.______小可以追上他们? 5.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙.问甲、乙两人每秒钟各跑____,____米. 6.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小明骑自行车的速度是______米/分. 7.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发,出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,_______秒两马相距70米? 1、小王、小李同住一楼中，两人从家去上班，小王先走20分钟后小李才出发。已知小李的速度是小王速度的3倍，则小李出发后多少时间能追上小王？ 2、甲、乙两人同时从东村出发到西村，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米，甲中途有事休息了2小时，结果比乙迟到了1个小时，求两村相隔的距离？ 6、龟兔赛跑，同时出发，全程7000米。龟以每分钟30米的速度爬行，兔每分钟跑330
第八讲相遇问题 知识导航 相遇问题：速度和=总路程÷相遇时间 总路程=速度和×相遇时间 相遇时间=总路程÷速度和 例1：一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米？解析：本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）． 【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 解析:根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时）， 所以甲走的路程为：45×3=135（千米）， 乙走的路程为：40×3=120（千米）. 例2：小新的家距离学校3000米，小新爸爸从家去学校接小新放学，小新从学校 回家，他们同时出发，爸爸每分钟比儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么小新的速度是每分钟走多少米？ 解析：小新和爸爸的速度和：60 3000= ÷(米/分钟)， 50 爸爸的速度：42 ÷ (= +(米/分钟)， 60 2 ) 24 小新的速度：18 -(米/分钟)． 42 60= 【巩固】甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时,则在乙动身2.5小时后两人相遇;若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.甲每小时走______千米.乙每小时走_______千米. 解析： 36×2÷(2+3+2.5)=9.6(千米/小时) 甲速:(36-9.6×2.5)÷2=6(千米/小时) 乙速:(36-9.6×3)÷2=3.6(千米/小时) 例3：A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15
四年级追及问题 例1.乌龟与兔子进行200米赛跑，兔子每分钟跑35米，乌龟每分钟爬10米。如果兔子在途中睡了15分钟，那么谁先到达终点？ 例2.乌龟与兔子赛跑，兔子每分钟跑35米，乌龟每分钟爬10米，途中兔子睡了一觉，醒来时发现乌龟已经在自己的前面50米，问：兔子还需要几分钟才能追上乌龟？ 例3.一辆大卡车上午7时从甲地出发，以每小时40千米的速度向乙地驶去。2小时后，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲地向乙地驶去。当小轿车到达乙地时，大卡车距乙地还有100千米。问：小轿车是什么时候到达乙地的？ 例4.甲乙两人同时骑车从东城到西城，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米，甲在途中停留4小时，结果比乙迟到1小时。求东城、西城相距多少千米？ 例5.一辆摩托车追赶比它先出发的一辆汽车，汽车、摩托车的速度分别是28千米/时、40千米/时，摩托车出发7小时后追上了汽车。汽车比摩托车早出发几小时？ 例6.弟弟从家出发去学校上学，以50米/分的速度步行，6分钟后哥哥也从家出发去同一所学校，经过12分钟哥哥追上弟弟。哥哥每分钟走多少米？
例7.一支队伍长450米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？ 巩固练习 1.龟兔赛跑，全程2000米，乌龟每分钟爬25米，兔子每分钟跑320米。兔子自以为是，在途中睡了一觉，结果乌龟爬到终点时，兔子离终点还有400米。求兔子在途中睡了多少分钟？ 2.我骑兵以每小时22千米的速度追击敌兵，当到某地时，得知敌人已于5小时前逃跑，已知敌人逃跑速度是12千米/时，我骑兵几小时可以追上逃敌？ 3.甲乙两人同时从东城出发到西城，甲骑自行车每小时行24千米，乙乘拖拉机每小时行16千米。结果在甲到达西城时，乙还距西城72千米。求东城、西城相距多少千米？ 4.甲乙两人骑自行车同时从学校出发，向同一方向前进，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。出发1小时后，甲因事又返回学校，到学校后又耽搁了1小时，然后动身去追乙。求甲第二次出发几小时后可以追上乙？ 5.甲乙两人同时从东村到西村去，甲每分钟行76米，乙每分钟行68米。到达西村时，乙比甲多用了4分钟。求东村、西村相距多少米？ 6.一辆汽车以30千米/时的速度从甲地开往乙地，开出4小时后，一列火车也从甲地开往乙地，火车速度是汽车的3倍，在甲地到乙地距离一半的地方追上了汽车，问甲乙两地相距多少千米？
四年级奥数追及问题Prepared on 21 November 2021
追及问题 1、甲、乙两人分别从A村和B村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时走5千米，2小时后甲追上乙，求A、B两村的距离？ 2、甲、乙两人相距4千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，2小时后甲追上乙，乙每小时行6千米，甲每小时行几千米？ 3、甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车工同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲？ 4、甲、乙二人由A地到B地，甲每分钟走50米，乙每分钟走45米，乙比甲早走4分钟，二人同时到达B地，问A地到B地的距离是多少米？ 5、两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟行660米，乙车追上甲车需要几分钟？ 6、哥哥和弟弟去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才从家里出发，哥哥每分钟走75米，弟弟每分钟走65米，两人同时朝学校前进，问哥哥要多少分钟才能追上弟弟？ 7、师徒二人做零件，徒弟每小时做10个，已经做了20个小时，师傅才开始工作，师傅每小时做15个，问几小时后师徒二人做的个数相等？ 8、老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车每小时行15千米，先出发2小时后，老王才出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车的速度？ 11、在400米环形跑道上，甲、乙二人同时从起跑线出发，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，他们同向而跑，出发后多少秒钟他们第一次相遇？ 12、甲、乙、丙三条小船同时、同地、同向出发，环形周长36千米的小岛巡逻，甲、乙、丙三条船的速度分别为每小时14千米、10千米、8千米，出发后经过多少小时三条船再同时相遇？ 13、甲、乙二人赛跑，甲跑200米时，乙落后20米，当乙跑540米时，甲在乙前多少米？ 14、我骑兵以每小时21千米的速度追击敌人，当到某地时，得知敌人已于2小时前逃跑，已知敌人逃跑的速度是每小时15千米，问我骑兵几小时可以追上逃敌？ 15、一辆汽车以每小时30千米的速度从甲地开往乙地，4小时后，一列火车也从甲地开往乙地，火车的速度是汽车的3倍，问几小时后火车可以追上汽车？ 16、环形跑道长400米，甲、乙两人同时、同地按相同方向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑150米，问经过几分钟后两人再相遇？ 17、甲、乙二人同时骑自行车从东村出发去西村。甲每小时行9千米，乙每小时行12千米。乙到西村时，甲还距西村12千米。两村相距多少千米？ 18、东西两村相距35千米，甲从东村向西村出发5千米后，乙以每小时10千米的速度追甲，追上后立即以原速返回东村。乙到东村时，甲正好到达西村。问甲每小时行多少千米？
四年级奥数第13讲数数图形（教师版）x λ①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； λ②学会数基本图形的个数； λ③掌握数图形的规律。 一、学会数图形 同学们,你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。 二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。 考点一：基本图形
例1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以,图中共有线段3+2+1=6（条）。 方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以,图中一共有3+2+1=6（条）线段。 例2、数出图中有几个角？ 【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有： ∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以,图中共有角3+2+1=6（个）。 方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以,图中一
第三讲方阵问题 知识导航 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 核心公式： 1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。 【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可 以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子 14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就 可以求出各层总数。 解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
四年级奥数第18讲重叠问题（教师版） λ 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 λ掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数, 用式子可表示成：A B A B A B =+-,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步 进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元 素都“包含”进来,加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 教学目标 知识梳理 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．
二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 考点一：两量重叠问题 12 有,人29参加数学兴趣小组的有,人28参加语文兴趣小组的有,实验小学四年级二班、1例人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组? C B A 【解析】如图所示,A 圆表示参加语文兴趣小组的人,B 圆表示参加数学兴趣小组的人,A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加 典例分析 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大 圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．