4.1.2 相交直线所成的角
教学目标：
1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。能准确地找出三条直线相交所构成的八个角的关系。
2．理解对顶角相等的性质。
3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。
教学难点：
准确找出三条直线相交所构成的八个角的关系，对顶角的性质及等量代换得到他们之间的等量关系。
教学重点：
三条直线所构成的八个角的关系、对顶角的性质。
教学内容：
一、对顶角
概念：有公共顶点，两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
1、你能举出生活中包含对顶角的例子吗？
2、判断下列图形中哪对1，2是对顶角？
二、探究
问题1：∠1与∠3有怎样的数量关系？比较它们的大小。
你能说出∠1=∠3的道理吗？∠1=∠3
因为∠1与∠2互补，
∠3与∠2互补（补角的定义），
所以∠1=∠3（同角的补角相等）
同理∠2=∠4 ．
对顶角的性质：对顶角相等．
问题2：三条直线相交会形成什么样的角呢？
三条直线相交于一点时，所形成的角之间的关系有：对顶角和邻补角两种主要关系
想一想；
和三条直线相交于一点的位置关系相比较，三条直线之间，还有怎样的位置关系？两条直线被第三条直线所截
我们来探究：两条直线被第三条直线所截，构成的角的关系。
问题一：观察∠1和∠5，它们的位置有什么共同特点？
问题三：看图四，观察∠3与∠6这对角的位置，
看看它们又有什么特点？
总结:
两条直线被第三条直线所截，构成的八个
角的关系有：对顶角、同位角、内错角、
同旁内角（三线八角）
对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线。
同位角：都在被截直线的同一方（上方）。
在截线的同旁（右侧）。
内错角：都在被截直线之间（之内）。
在截线的两侧（一左、一右）。
同旁内角：都在两条被截直线之间（之内）。
在截线的同一旁（同侧）。
三、合作学习
如图：两只手的食子和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成是什么角?
类似地，你还能用两只手的手指构成同位角和同旁内角吗?
四、动脑筋：考考你的眼力
问题3：如图三条直线有怎样的位置关系？
问题4：三条直线两两相交所形成的12个角之间有哪些位置关系？
五、例题讲解
例1：如图，直线EF与AB，CD相交，构成8个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角。
解：对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4，∠5和∠7，∠6和∠8；
同位角有∠2和∠5，∠1和∠8，∠3和∠6，∠4和∠7；
内错角有∠1和∠6，∠4和∠5；
同旁内角有∠1和∠5，∠4和∠6.
六、巩固新知
1. 请举出生活中对顶角的例子.
答：钳子、剪子、推拉式防盗门、伸缩式衣架等.
2. 如图，工人师傅用对顶角量角器量工件a，b边所夹的角，其中∠1的度数可以从仪器上读出.试说明∠1就是所求的角的原理．
答：利用“对顶角相等”的原理.
3. 如图，直线a，b被直线c所截，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角. 若∠1=∠5=108°，求其他角的度数.
答：∠1与∠5，∠2与∠6是同位角；
∠3与∠5是内错角；
∠2与∠5是同旁内角.
∠3=∠1=108°，
∠4= 180°-∠1=180°-108°=72°；
∠2 = ∠4 = 72°；
∠6 = 180°-∠5=72
六、课堂小结
1. 你能总结一下对顶角、同位角、内错角、同旁内角分别具有哪些特征吗？
2. 你认为在图形中识别对顶角、同位角、内错角、同旁内角的关键是什么？
3. 对顶角一定相等；同位角、内错角、同旁内角之间一定具有什么数量关系吗？
七、布置作业
课本78页第4,5题
八、课后反思
这节课内容是这单元中比较重要的学习内容，它是后面平行线的识别、性质、判定学习的基础。教学设计是在“两线四角”的基础上添加一条线变成“三线八角”，让学生根据课件的演示，结合图形理解同位角、内错角、同旁内角的概念，正确地识别这些角。为了加深学生的识记，特别地将各角特征用字母“FZU”归纳出来。这是这一堂课的
重点要达到的目标。但由于学生存在不同的差异，有些学生还是不能快速找出同位角、内错角及同旁内角。要变换不同的图形加强这个内容的练习。
相交线与平行线拔高训练【难题巧解点拨】 例1求证三角形的内角和为１８０度。 例2如图，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对? 例3 例３已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF. 例4如图，∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB∥D E。 【典型热点考题】 例１如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB∥CD吗? AC∥BD吗?为什么? ＡＢ ＥＤＡ Ｃ A B C
例２平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点．怎样安排才能办到? 例３已知直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交．请说明理由． 一、选择题 1．图2—17中，同旁内角共有 ( ) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 ２、光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之 间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，则∠2= （） A．50° B．55° C．66°D．65° ３、如图为中华人民共和国国旗上的一个五角星，同学们再熟悉不过了，那么它的每个角的度数为（） A 45 B 0 30 C 0 360 40 ４、如图3，把长方形纸片沿EF折叠，使D，C分别落在D'，C'的位置，若65 EFB=o ∠，则AED' ∠等于（） Ａ．50oＢ．55oＣ．60oＤ．65o 5．两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么 ( ) A．8角均相等 B．只有这一对内错角相等
C. 凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角都不相等 6、如图，在ABC V 中，已知AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BD=BC ，AD=DE=EB ，那么A ∠的度数是（ B ） A 、30° B 、45° C 、35° D 、60° 7、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来 的方向上 平行前进，则这两次拐弯的角度可以是 ( ) A.第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 8、已知：如图，AB//CD ，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（ ）. A 、α+β+γ=360? B 、α+β+γ=180? C 、α+β-γ=180? D 、α-β-γ=90? 9、如图，把三角形纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时， 则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个 规律，你发现的规律是( )． (A)∠A ＝∠1+∠2 (B)2∠A ＝∠1+∠2 (C)3∠A ＝2∠1+∠2 (D)3∠A=2(∠1十∠2) 二、填空题 １、用等腰直角三角板画45AOB =o ∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22o ，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______o C A B D E O B A 22o α
8765432 1a b c b c a 1234567822211121 D. C.B.A.相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边,另一边互为反向延长线,具有这样关系的两个角互为邻补角; 有公共顶点,另两条边互为反向延长线,具有这样位置关系的两个角互为对顶角; 与为90度的两个角互为余角,与为180度的两个角互为补角; 余角与补角都就是大小角、同位角、内错角、同旁内角就是位置角、 2． 定理①对顶角相等;②同角或等角的余角相等;③同角或等角的补角相等、 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行; ② 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行、 简记为:如果b //a ,c //a ,那么b //c 、 4． 垂直的两个定理 ① 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短、 5． 认识同位角、内错角、同旁内角、 二、精讲精练 1. 如图,∠1与∠2就是对顶角的就是( ) 2. 下列说法正确的个数就是( ) ①若∠1与∠2就是对顶角,则∠1＝∠2; ②若∠1与∠2就是邻补角,则∠1＝∠2; ③若∠1与∠2不就是对顶角,则∠1≠∠2; ④若∠1与∠2不就是邻补角,则∠1＋∠2≠180°、 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3. 下列说法中正确的个数为( ) ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 下列推理正确的就是( ) A .因a ⊥b ,b ⊥c ,故a //c B .因a ⊥b ,b //c ,故a //c C .因a //b ,b ⊥c ,故a //c
1 2 3 4 5 6 7 8 （第4题） a b c A B C D （第7题） 第五章《相交线与平行线》测试卷 姓名 _______ 成绩 _______ 一、选择题（每小题4分，共 40 分） 1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A B C D 1 2 1 2 1 2 1 2 2、如图，在正方体中和AB 垂直的边有（ ）条. A.1 B.2 C.3 D.4 3、如图AB ∥CD,∠ABE=120°,∠ECD=25°,则∠E=（ ） A.75° B.80° C.85° D.95° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠ 3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、③④ 5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ） B D
A B C D E (第10题) 水面 运动员 (第14题) A B C D E F G H 第13题 7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 8、下列现象属于平移的是（ ） ① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走 A 、③ B 、②③ C 、①②④ D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ） A 、有且只有一条直线与已知直线平行 B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。 D 、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 10、直线AB ∥CD ，∠B ＝23°，∠D ＝42°，则∠ E ＝（ ） A 、23° B 、42° C 、65° D 、19° 二、填空题（本大题共40分） 11、直线AB 、CD 相交于点O ，若∠AOC ＝100°，则∠AOD ＝___________。 12、若AB ∥CD ，AB ∥EF ，则CD _______EF ，其理由 是_______________________。 13、如图，在正方体中，与线段AB 平行的线段有______ ____________________。 14、如图，奥运会上，跳水运动员入水时，形成的水花是评委 评分的一个标准，如图所示为一跳水运动员的入水前的 路线示意图。按这样的路线入水时，形成的水花很大， 请你画图示意运动员如何入水才能减小水花？ 15、把命题“等角的补角相等”写成“如果……那么……” 的形式是：_________________________。 16、如图，当剪子口∠AOB 增大15°时，∠COD 增大 ． 17、如果两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的 度数之比是2：7，那么这两个角分别是_______。 第18题
相交线与平行线典型例 题及拔高训练 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第五章相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求 ①了解对顶角，知道对项角相等。 ②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 ③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质 ⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 ⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1.判定与性质 例1判断题： 1)不相交的两条直线叫做平行线。() 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。() 3)两直线平行，同旁内角相等。() 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。() 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引一条直线EF ∥AB ，则有∠B =∠1，再设法 证明∠D =∠2，需证 EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。 证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B =∠1（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作）， ∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D =∠2（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠BED =∠1+∠2， ∴∠BED =∠B +∠D （等量代换）。 变式1已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED =360°－（∠B +∠D ）。 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的∠BED 都是指小于平角的角，如果把∠BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。 证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B +∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作）， ∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D +∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B +∠1+∠D +∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED =∠1+∠2， A B E D F
第16课时线段、角、相交线与平 行线（含命题） 知识点： 两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理 教学目标： 1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形； 2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概 念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂 线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角， 会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互 补判定两条直线平行 教学重难点： 1、了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念。 2、会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 教学过程：
2. 线段中点(2011版新课标新增内容) （1）定义：若点B在线段AC上，且把线段AC分 成相等的两条线段AB与BC，点B叫做线段AC的中点. 如图 （2）线段中点的几何表示：AB=②_____= AC, 或AC=2AB＝2BC. 3. 两点之间的距离: 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 考点2 角及角平分线 1.角：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.如图（2），记作∠AOB. 2. 角平分线的概念及其定理 （1）定义：以一个角的顶点为端点的一条射线， 如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做该角的角平分线. 如图（3），若OC平分∠AOB，则∠AOC=③______= ∠ AOB. 2）定理：角平分线上的点到角两边的距离 ④_____.如图（3），若OC平分∠AOB,点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB,则PM=⑤_____. （3）逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在⑥________上. 1周角＝2平角＝4直角＝④_____; 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°； 1°＝60′,1′=60″,1′= ,1″= . 5. 余角和补角 (1）余角的定义:如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角（简称互余)，也说其中一个角是另一个角的1余角. （2）补角的定义：如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角（简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. （3）余角与补角的性质：同角（或等角)的余角相等，同角（或等角)的补角相等. 考点3 相交线 1. 两相交直线所成的角 (1)对顶角和邻补角 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 如图(4)，∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角.对顶角的性质： 对顶角?_____. 邻补角：两个角有一个公共顶点和一
相交线与平行线全章复习 （答题时间：60分钟） 一、选择题 1. 如图所示，不能通过基本图形平移得到的是（ ） 2. 如图所示，是同位角关系的是（ ） A. ∠3和∠4 B. ∠1和∠4 C. ∠2和∠4 D. 不存在 1234 3. 一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 等于（ ） A. 75° B. 105° C. 45° D. 135° 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 过点P 画线段AB 的垂线 B. P 是直线AB 外一点，Q 是直线AB 上一点，连接PQ ，使PQ ⊥AB C. 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D. 过一点有且只有一条直线平行于已知直线 5. 将已知点P 平移5cm 后得到点P’，满足条件的点P’构成的图形是（ ） A. 一个点 B. 两个点 C. 一条5cm 长的线段 D. 一个半径为5cm 的圆 6. 如图所示，∠AOB ＝180°，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设∠DOB ＝α，则与α的余角相等的角是（ ） A. ∠COD B. ∠COE C. ∠DOA D. ∠COA A B C D E α 7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于（ ） A. 23° B. 16° C. 20° D. 26° A B C D E F 46° 154° *8. 如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起（不论甲和乙的初始位置如何），则甲和乙是（ ） A. 两个点 B. 两个半径相等的圆 C. 两个点或两个半径相等的圆 D. 两个能够完全重合的多边形 *9. 有一条直的等宽纸带，按下图折叠时，纸带重叠部分中的∠α＝（ ） A. 60° B. 75° C. 50° D. 85° **10. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（ ） A. 43° B. 47° C. 30° D. 60°
北师大数学七年级下第二章拔高题 一．选择题（共7小题） 1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（） A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90° C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D 2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（） A．55°B．60°C．65°D．70° 3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（） A．60°B．65°C．72°D．75° 5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（） A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有 一条直线垂直于已知直线 B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短 6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（） A．30°B．40°C．50°D．60° 7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）
A．120°B．108°C．126°D．114° 二．填空题（共8小题） 8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝°． 9．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为． 10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝度． 11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为． 12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝度． 第9题第10题第11题第12题13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：． 14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是． 15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是． 第13题第14题第15 题 三．解答题（共11小题） 16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN 平分∠CHE，求∠NHD的度数．
相交线与平行线知识点 1.相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4； 邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角 相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 例题： 1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。 2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD ⊥， FOB__________。 2_______，∠= ∠=? 127，则∠= C E A 2 O B 1 F D 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中AB⊥CD，垂足 为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90?。 例题： 如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26?，求∠EOD，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？) 垂线相关的基本性质：
（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？ *线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？ 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 如上图，直线a与直线b平行，记作a//b 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一 个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 （1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如 图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关 知识解决； 例题： 如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。 （2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如 图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系： *同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
第27课时线段、角、相交线与平行线 ◆考点聚焦 1．运用两点确定一条直线解决实际问题． 2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算． 3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，?会进行有关线段的计算． 4．掌握角平分线的定义及性质． 5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念． 7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法 1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、?外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题． 2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用． ◆识记巩固 1．直线公理是指____________． 2．在田径比赛中，裁判测量跳远成绩的依据是______，?测量铅球成绩的依据是______________________． 3．两点之间_______最短，_________叫做两点间的距离． 4．线段的中点：由点M是线段AB的中点可得到__________． 5．角是___________________． 6．角平分线及性质：（1）如图1，OC平分∠AOB,可推出___________．
图1 图2 （2）如图2，由OC 平分∠AOB ，PM OA PN OB ⊥??⊥? 可得___________． 7．两直线相交，________相等；同角（或等角）的余角_______；同角（或等角）的补角________．两个角的和为90°，称这两个角_________；两个角的和为180°，称这两个角________． 8．点到直线的距离是_____________． 9．线段的垂直平分线的性质是_________． 10．两直线平行，同位角_______；两直线平行，内错角______；两直线平行，?同旁内角_______． 识记巩固参考答案: 1．两点确定一条直线 2．垂线段最短 两点之间，线段最短 3．线段 ?连结两点之间线段的长度 4．AM=BM=AB 5．由有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 6．（1）∠AOC=∠BOC=∠AOB （2）PM=PN 7．对顶角 相等 相等 互余 互补 8．从直线外一点向已知直线作垂线，?这一点和垂足之间线段的长度 9．?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ? 10．相等 相等 互补
第七章相交线与平行线单元教学计划 一、教材分析： 平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，本章是在学生已有知识和经验的基础上，对平面内两条直线的位置关系的进一步探索。本章首先研究了相交的情形，探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角概念，得出了“对顶角相等”的结论；垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础．命题是以后研究形式逻辑概念和术语的基础。 二、学习目标： (1)结合具体情境，理解邻补角、对顶角的概念，探索并掌握对顶角相等；理解垂线、垂线段等概念，掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解垂线段最短的性质，了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离。 （2）理解平行线的概念，了解平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；会识别同位角、内错角、同旁内角；探索并掌握平行线的性质和判定方法，会度量两条平行线之间的距离。 （3）通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求做出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。 （4）了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论；理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句，会用这些语句画出图形；能结合一些具体内容进行说理和简单推理，初步养成言之有据的习惯。 （5）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、想象、推理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习图形与几何的兴趣。
第4题 同学你好，网校试题均为高清大图，如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。 第1题 L 如图,某市二环路＜到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过.如果第一次拐的 角A 是130° ,第二次拐的角B 是150。，而第三次拐的角是C ,这时的道路恰好 A . 130° B . 140° C . 150° D . 160° 第2题 2?如图,为了加固房屋,要在屋架上加一根横梁DE ，使得DEIIBC ,如果 zABC=30° , ^[JzADE 的度数是（ ） 第3题 105 3将一副直角三角尺如图放置，已知AEllBC, m^AFE 的度数为（ A . B . C . 。
4.如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，点A、B分别落在A\ B r的位置上，EA与BC相交于点F ,已知力二130。，则￡2的度数是（） 第5题 5.如图，将一长方形纸条沿EF折叠，若N AFD=47°顼［UCEB等于（） A . 47° 第6题 6 一如图,已知AB SIDE , zl=z2，则AE与DC的位置关系是（） 第7题
7一已知直线a、b、c互相平行，直线a与b的距离是3厘米，宜线b与c的距离是5厘米，那么直线a与c的距离是（） A . 8厘米 B . 2厘米 C . 8厘米或2厘米 D.不能确定 第8题 &如图，已知ABll CD , OA、0C分别平分KAC和MCD , OE±AC于点E , 且0E=2 ,则AB、CD之间的距离为（ A . 2 B . C . 6 D . 8 第9题 9?如图,A、P是直线m上的任意两个点,B、C是直线n上的两个定点『且直线mlln .则下列说法正确的是（） 第10题
相交线与平行线知识点整理 摘要：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一 定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角，⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=?；反之如果180αβ∠+∠=?，则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 A B C D O
角、相交线与平行 1.平行线的性质. 【例1】如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(). A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【例2】如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是(). A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【例3】如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(). A. 46° B. 44° C. 36° D. 22° 2.平行线的判定. 【例4】(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行. 名师点拨 1.能记住点、线、面的概念. 2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.
3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质. 4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用. 5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别. 6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断. 7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离. 【例1】如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为. 2.平行线的性质和判定的应用. 主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定. 【例2】如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明. 专项训练 一、选择题 1. (2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是(). A. 45° B. 70° C. 55° D. 110° (第1题)
相交线与平行线章节复习（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( ) A.130° B.140° C.150° D.160° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：补角的定义 2.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，EF过点O，则图中∠FOB与∠EOD的关系正确的是( ) A.∠FOB+∠EOD=180° B.∠FOB+∠EOD=90° C.∠FOB=∠EOD D.无法确定 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余角、补角的定义 3.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是( )
A.25° B.35° C.45° D.55° 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对顶角相等 4.如图所示，OM⊥a，ON⊥a，所以OM，ON重合，其理由是( ) A.两点确定一条直线 B.经过一点只能作一条直线 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.垂线段最短 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：垂直相关定理 5.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．若道路的宽为2米，则草坪的面积为( )平方米 A.576 B.540 C.536 D.600 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平移的性质 6.下列选项中，可以用来证明命题“若＞1，则a＞1”是假命题的反例是( ) A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：反证法 7.如图，两直线a，b被直线c所截，形成八个角，可以判断a∥b的是( )
相交线与平行线 基础知识盘点 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种 关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边 的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角 分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系 只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________. 9.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 10.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成：＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：____________________________________ .
相交线与平行线 一．选择题（共3小题） 1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（） A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．如图所示，同位角共有（） A．6对 B．8对 C．10对D．12对
二．填空题（共4小题） 4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块． 5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为． 6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=． 7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是． 评卷人得分 三．解答题（共43小题） 8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点． （1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数． （2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB 上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数． （2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数． 11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF， （1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示） （3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？ 12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数； （2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）． 13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数 （2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．
七年级数学(下)第五章单元检测 时间120分钟，总分100分 姓名： 得分： 本单元须掌握的知识概要 1、理解邻补角、对顶角的概念，掌握对顶角相等的性质； 2、理解垂直的概念，理解垂直的性质，知道什么是点到直线的距离，能够过一点画已知直线(射线、线段的垂线)； 3、理解平行的概念，掌握两条直线在平面内的两种位置关系，了解平行公理； 4、认识两条直线被第三条直线所截所形成的同位角、内错角、同旁内角，会从图形中找出这些角； 5、掌握平行线判定的三种方法，并能运用这三种方法说明两条直线平行； 6、掌握平行线的性质，并能运用平行线的性质说明两角之间的关系； 7、了解什么是平行线间的距离，知道平行线间的距离处处相等； 8、了解命题的概念以及命题的结构，能够把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式。 9、了解平移的概念及平移的特征，能够画出一个图形平移后的图形，并能够组合出一些简单的图案。 一、填空题：(每题3分，共30分) 1、如图1，计划把河水引到水池A 中，可以先引AB ⊥CD ，垂足为B ，然后沿AB 开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是________________。 2、如图2，AB ∥CD ，∠1=39°，∠C 和∠D 互余，则∠D=________，∠B=________。 图1 图2 图3 3、如图3，直线b a ,与直线c 相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠3=180°，其中能判断a ∥b 的是_______________(填序号)。 4、设c b a ,,为平面内三条不同的直线，①若a ∥b ，l ⊥a ，则l 与b 的位置关系是______； ②若l ⊥a ，l ⊥b ，则a 与b 的位置关系是___________；③若a ∥b ，l ∥a ，则l 与b 的位置关系是____________。 5、把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_________________。 6、如图4，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=50°，则∠2的度数为_______________。 A B D C A B C D 1 1 6 5 4 2 7 3 8 b c A E B C F G D 1 2
相交线与平行线-提高练习题++
① 2 1 2 1 ②1 2 ③1 2 ④ 《相交线与平行线》提高练习题 一、选择题： 1．下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 2．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判．．断．CD AB //（ ） A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. 180=∠+∠ACD D 3．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐 30，第二次向右拐 30 B. 第 一次向右拐 50，第二次向左拐 130 C. 第一次向右拐 50，第二次向右拐 130 D. 第 一次向左拐 50，第二次向左拐 130 4．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．．的是（ ） A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位 E D C B A 4 3 2 1
角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 5．下列说法中错误．． 的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．下列说法中，正确．． 的是（ ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动。 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变。 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题。 D. “直角都相等”是一个假命题。 7．如右图，CD AB //，且 25=∠A ， 45=∠C ，则 E ∠的度数是（ ） A. 60 B. 70 C. 110 D. 80 E D C B A