二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法
一 公式解法
目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:
'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本
身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐
次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系
数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程
通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为
'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程
20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成
'''1212()()y k k y k k y f x --+=
即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=
记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程
'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公
()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -?
?=+?[5] (3) 知其通解为
1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x
h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx
--==+? 解得
12212()()340012
[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为
1212212()()3400121212
1[()()]k k x
k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200
121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为
'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=
由公式(3) 得到
'10[()]x
kx kt y ky e e f t dt c --=+?
再改写为
'10()x
kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x
kx kt d
e y e
f t dt c dx --=+?
故120()()x
kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++?
(5)
例1 求解方程'''256x y y y xe -+=
解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3
2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是
332222321200x x x t t x t t x
x
y e e te dt e e te dt c e c e --=-++??
32321200x x
x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++??
2
232132x x x
x x e c e c e ??=--++????
这里321c c =-.
例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=
解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y e
x t e e tdt c xe c e -=-++?
120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++? 1200[ln ln ]x x
x
x x e x tdt t tdt c xe c e =-++?? 21213ln 2
4x x x x e x c xe c e ??=-++???? 二 常数变易法
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。特征方程的特征根有三种情况。
1. 当特征方程有两个不相同的实根12λλ、时,方程(7) 的两个线性无关的解为12x x e e λλ、从而得方程(7) 的通解1212x x c e c e λλ+.
2. 当特征方程有二重实根λ时,可得方程(7) 的两个线性无关的解x x e xe λλ、,从而得到方程(7)的通解12()x c c x e λ+。
3. 当特征方程有一对共轭复根i αβ±时,可得方程(7) 的两个线性无关的解e cos sin x x x e x ααββ、。从而得方程(7) 的通解12cos sin x x c e x c e x ααββ+。 综上所述可知,方程(7) 总有形如cos x e x αβ、sin x e x x αββ的解,其中i αβ±为方程
(7) 所对应的特征方程的特征根。关于方程(6) 的求解,我们就()f x 为x e α或[]2()cos sin n p x x p x ??+时进行了讨论,给出了这两种情况下的解法。 我们将由方程(7) 的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6) 的通解。 首先求出方程(7) 的一个特解,不妨将此解记为11()cos x y y x e x αβ==。