导数在实际生活中的应用一次函数的生活实例
1.4课题：导数在实际生活中的应用
教学目的：
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．授课类型：新授课课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪教学过程：
一、复习引入：
1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0) ，就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0) ，x 0是极大值点
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0). 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x0) ，x 0是极小值点
3. 极大值与极小值统称为极值
4. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f "(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极值，并且如果f "(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”
如果f "(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值点，f (x 0) f (x 0) 是极大值；
是极小值
5. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值．⑴在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7. 利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、
f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值
二、讲解范例：
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图) ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为
x cm ，则箱高
_60
h =
60-x
cm ，得箱子2
容积
60x 2-x 3
V (x ) =x h = (0 2
2
3x 2
V "(x ) =60x - (0
2
3x 2
令 V "(x ) =60x -＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
（后面同解法V (x ) =(60-2x ) 2x (0
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
3
60x 2-x 32
事实上，可导函数V (x ) =x h =、V (x ) =(60-2x ) x 在各自的定义域中
2
2
都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
，则πR 2V 22V 2
S(R)= 2πR + 2πR =+2πR 2 πR R 2V
令 s "(R ) =-2+4πR=0
R
由V=πR h ，得h =
2
解得，
导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多
自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('
a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________． 解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值 点， 则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒 为单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间 是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减． 答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益R 与年产量x 的关系是
导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。 高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用 一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 二、导数的综合应用 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1 C ． D ． ， 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线() y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1, x x x x -<?图象上点1P ，2P 处的切 线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3 y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足 2 3()e x y x x =+(0)0， e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =- 答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。它有着及其丰富的背景和广泛的应用。我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下 1．研究函数性质 导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 2．证明不等式成立 证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想 的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式. 3．求解参数范围 给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 4．研究曲线的切线问题 导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解. 5．解决实践问题 一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导， 课时作业(十四) 1.D [解析] 依题意有f'(x )= 1x ·√2x -2×1 2 ×(2x )-12·lnx 2x ,故f' 1 2 = 2+ln2 1 =2+ln 2,故选D . 2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x ,所以f'(1)=-2+11 =-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A . 3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A . 4.B [解析] f'(x )=-sin x-f' π2 ,令x=π2,得f' π2 =-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12 ,所以l 的方程为 y=12 x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32 [解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1 2 ,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1 2 (x-1),将点(0,a )代入, 解得a=12 +1=32 . 6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D . 7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A . 8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A . 9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x =2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2 ,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三 角形面积S=12×e 2 ×2e =e 22 .故选B . 10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k= y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1 =x 02 +x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0 =3x 02,∴2x 02 -x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12 ,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0.故选C . 11.C [解析] y'=1+1x ,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C . 12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+ x 2-a x ,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3. 考点06 函数与导数的综合应用（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值 范围为________． 【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需1 导数的实际应用 命题：王长德 审核：朱效利 2012.2.17 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题， 1、在生活中经常会遇到求利润________、用料_________、效率_______等问题，这些问题通常称为_______________。 2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的_________，根据实际意义确定定义域。 (2)求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0在定义域内的根，确定_______. (3)比较函数在区间短点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值。 (4)还原到原实际问题中作答。 小结：解应用题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答） 3、常见的函数模型是： (1)二次函数型__________________ (2)三次函数型___________________ (3)分式型函数型c x b ax y ++= (4)指数函数型____________________ (5)对数函数型____________________ 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>? ，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。 例1、有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 例2、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？ 函数与导数的综合应用 命题动向：函数与导数的解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合进行深入考查，体现了能力立意的命题原则． 这几年，函数与导数的解答题一直作为“把关题”出现，是每年高考的必考内容，虽然是“把关题”，但是同其他解答题一样，一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难．从近几年的高考情况看，命题的方向主要集中在导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合应用． 题型1利用导数研究函数性质综合问题 例1 [2016·山东高考]设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ), 求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 解题视点 (1)求出g (x )的导数，就a 的不同取值，讨论导数的符号；(2)f ′(x )＝ln x －2a (x －1)，使用数形结合方法确定a 的取值，使得在x <1附近f ′(x )>0，即ln x >2a (x －1)，在x >1附近ln x <2a (x －1)． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1 x －2a ＝1－2ax x . 当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x ) 单调递增； 当a >0时，x ∈??? ?0，1 2a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈????12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为????0，12a ，单调减区间为??? ?1 2a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当01，由(1) 知f ′(x )在????0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈????1，1 2a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在??? ?1，1 2a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1 2a <1，当x ∈????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为????12，＋∞. 冲关策略 函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 题型2利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解题视点 (1)先求函数f (x )的定义域，再求f ′(x )，对参数a 进行分类讨论，由f ′(x )>0(f ′(x )<0)，得函数f (x )的单调递增(减)区间，从而判断f (x )的单调性；(2)利用(1)的结论，并利用函数的零点去分类讨论，即可求出参数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 导数在解决实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -= cm ，得箱子容积 2 60)(32 2x x h x x V -== )600(< x x x V 2)260()(-=)300(<一元函数微分学知识点
导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)
导数在实际生活中的应用1教案
高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用
导数在实际中的应用的简单举例【最新】
一元函数的导数公式和微分
一元函数的导数及其应用作业手册答案
考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)
导数在实际问题中的应用
函数与导数的综合应用
导数在解决实际问题中的应用
相关主题
文本预览