数学在自然科学中不可思议的有效性
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the
Natural Sciences
Eugene Wigner
数学，正确的观之，不但拥有真理，而且是至高的冷峻之美，就像雕塑那样，并不吸引我们较
弱本性的任何部分，并不是绘画或音乐的璀璨外饰，然而是高山仰止般的纯粹，而且就好似最
伟大艺术作品可以显示的那样有一种坚毅的完美。高兴、升华的灵魂在比人更多的意义上是最高美德的试金石，就像肯定在诗中那样，要在数学中追寻。
--罗素《数学研究》( Study of Mathematics )
有一个故事关于两个朋友，他们是高中时的同班同学，在谈论其工作。其中一个人是一位统计学家并致力于人口趋势。他给老同学显示了一个重印本。这本重印本就像通常那样以高斯分布开始，而且这位统计学家给他的老同学解释用于当前人口、平均人口的那些符号之意义，诸如此类。他的同学有一点不相信而且不是很肯定这位统计学家是否在和他开玩笑。“你怎样才能知道它呢？”，他问到。“还有这里的符号是什么意思？”，“哦”，这位统计学家说“这是 pi”。“那是什么？”“圆周长和它直径的比”。“好吧，现在你把你的笑话搞得太过了”，老同学说，“人
口肯定和圆周长没什么关系”。
自然地，我们都倾向于嘲笑这位同学天真的方式。话虽如此，当我听到这故事时，我不得不承认一种怪异的感觉，因为这位同学的反应肯定只是违背了平白的常识。不是很多天以后，当有人来找我并表达他关于“当我们对我们的理论选取基于其上进行测试的那种数据时，我们作出的是一种相当狭窄的选择”这种事实的迷惑时【1．这个评论是 F.Werner 在他还是Princeton里的一个学生时提出来的】，我甚至更加困惑了。“如果我们作出了一种理论其聚焦所关注的现象是我们忽视的，并且忽视一些现在统摄了我们所关注的现象，那么我们就不能构造和目前所关注下没有多少共通处的另外一种理论，但虽然如此，这种理论却能解释像目前理论一样多的现象，我们是怎么知道的？”
前面两个故事解释了两个要点，其是这次谈论的主题。第一点是，数学概念出现在完全不曾预料的连接中(mathematical concepts turn up in entirely unexpected connections)。还有，它们常常允许对这些连接中的现象有一个不曾预料的紧密且精确的描述。第二，正是因为这种上下文，而且因为我们不理解它们有用性的原因，我们不能知道是否以数学概念术语来形式化的一种理论是独特合适的(uniquely appropriate)。我们现处在类似于这样的的一个位置——一个有一大串钥
匙的人，他已经成功打开了若干扇门并总是在头两次试验时撞上正确的钥匙。他变成了关于“钥匙和门之间独特的对号入座”的怀疑论者。
关于这些问题绝大多数将要说的不是新东西；可能以这种或那种形式发生在大多数科学家那里。我的首要目标是从若干方面来揭示它。第一点在于，数学在自然科学中的巨大有用性是某种处于神秘边缘的东西(is something bordering on)，而且对之没有什么合理解释。第二，正是数学概
念的这种神奇有用性对我们物理理论的唯一性 (the uniqueness of our physical theories) 提出了问题。为了确立起第一点，就是数学在物理学中扮演了一个不可思议的重要角色，在以下问题上稍微说一下说是有用的，“什么是数学？”，然后“什么是物理？”，然后，数学是如何进入物理理论的，最后，为何数学在物理学中所扮演角色的成功却表现的如此令人困惑 (why the success of mathematics in its role in physics appears so baffling )。关于第二点要说就少很多了：物理理论的唯一性。对这个问题的一个合适答案需要目前尚未着手开始的精致实验和理论工作。
什么是数学？
有人曾说，哲学是一种术语的误用，其被发明出来这是为了这个目的【2．这里的这个评论摘
自W. Dubislav的《目前的数学哲学》( Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart ) 】。在同一种精神下，我要说数学是对“发明出来用于这个目的的那些概念和规则”熟练操作的科学。首要强调的是基于概念的发明 (the invention of concepts)。如果这些概念通过已经出现在公设中的概念术语来形式化，那么数学很快就会超过有趣的定理。还有，虽然毫无疑问下面是真的，初等数学和特定初等几何的那些概念被形式化从而对实际世界直接显示的实体进行描述，但特别地对在物理学中扮演如此重要角色的更高概念来说，这同一种东西看来对这些概念并不为真。因此，数字对操作的规则明显是设计用来给出和我们在不参考“数字对”下第一次学习时的同样一种结果。用序列来操作的规则，就是，用仍属于“其被决定了，从而再生出用于‘带我们已经知道的量下那些操作’的规则”规则范畴的无理数。大多更高级的数学概念，比如复数，代数，线性操作，Borel集合而且这个列表在这里几乎可以持续到无穷，它们适和这样的的主题——数学家在其上可以展示他的天才和形式美的意义。实际上，伴有“可以对它们应用有趣且有独创性的考虑”的一种认识下对这些概念的定义，是对定义了它们的数学家之独创性的第一个展示。进入到对数学概念作出形式化中的思想深度后来是通过这些概念所使用的技巧来作出辩护的。大数学家，几乎是充分而无情的，探索了允许推理 (permissible reasoning)的领域并回避了不允许的。“他那种并没将他领入矛盾沼泽的鲁莽”本身是一个奇迹：肯定难以相信，我们的推理能力是通过达尔文的自然选择过程而有看上去所拥有的那种完美。然而，这不是我们现在的主题。后面会记起的那种主旨就是，数学家仅可形式化少数有趣的定理而不定义越过公理中有涵盖的那些概念，而且正是这些位于公理涵盖之外的概念是通过允许有独创性逻辑操作的一种观点来定义的，这种独创性的逻辑操作既是作为操作又是作为它们结果的巨大一般性和简洁性而对了我们审美感觉的胃
口【3．M. Polanyi，在他的《个人知识》(Chicago: Chicago大学出版社，1958 ) 中说：“所
有这些困难都只是我们拒绝了解数学不能在没有承认其明显下定义之后结果，就是，它的最明显特征就是有趣” (p.188)】。
复数对前述提供了一种特别震撼的例子。肯定的，在我们的经验中没有什么显示要引入这些量。实际上，如果要求一位数学家为他在复数中的利益辩护，那么他就会带有一些义愤的指出在“方程式理论，幂级数以及一般的分析函数”中的许多美丽定理，它们的源出都有赖于引入了复数。数学家不愿意放弃在他天才的这些最美丽技艺里的利益【4．读者可能对这样一种联系感兴趣，希尔伯特相当易怒
的评论直觉说“看上去撕裂并丑化数学” Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922) 或 Gesammelte Werke (Berlin: Springer, 1935), p. 188 】。
什么是物理学？
物理学家对发现无生命自然界中的定律有兴趣。为了理解这种表述，就需要来分析“自然定律”这个概念。
环绕我们的世界有令人困惑的复杂性，而且最明显的事实就是我们不能预测未来。虽然笑话仅将乐观主义视角归为“未来是不确定性的”，但乐观主义者在以下这种情形中是正确的：未来不可预测 ( the future is unpredictable)。正如Schrodinger 曾作出的评论，虽然世界有令人困惑的复杂性这样一个奇迹，事件中的特定规则性还是可以发现的。这般规则性的一个示例 ( 伽利略发现) 就是，两颗石头在同一时间从相同高度下落，将在同时达到地面。自然定律关注这种规则性。伽利略的规则性是一大类规则性的一种原型。其是一个叫人吃惊的规则性有三个原因。
它叫人吃惊的第一个原因在于，它不仅仅在Pisa 和伽利略的时代才是真的，它在地球上到处都是真的，一直都是真的，而且以后也总是真的。规则性的这个属性是一种已识别的不变性属性，而且我曾有机会指出，如果没有类似“为伽利略作出观察之前的先辈所作的那些暗示”的不变性原理，物理学是不可能的。第二个叫人吃惊的特性就是我们在讨论的这种规则性独立于对其有作用的如此之多的条件。无论是否在下雨，无论这个实验是在一个房间里进行的还是在斜塔上进行的，无论那个丢下石块的人是男是女，它都是有效的。即便如果两块同时从同样高度下落的石头是两个不同的人所为，它还是有效的。从伽利略规则性之有效的观点看，有无数其它条件都不重要是很明显的。和如此多的“可能在观察的这种现象中所扮演角色”的那种不相关被称为不变性。然而，这种不变性和前面的那个有一种不同特征，因为它不能作为一种一般原理来公式化。对何种条件确实影响了一个现象何种条件没有影响一个现象的探索是一个领域的早期试验探索的一部分。正是实验的技巧和独创性对他显示了“一个依赖于相对易实现和可再产生之诸条件的相对狭窄集合”的现象。【5．见这种关系中，M. Deutsch, Daedalus 87, 86 (1958) 的绘图散文。A. Shimony 唤起我对 C. S. Peirce 《科学哲学》( Philosophy of Science ) 随笔中一段类似段落的注意】在目前的案例中，伽利略将他的观察限制在相对重的物体上，这是他考虑的最重要步骤。还有，这样说是真的“如果没有现象独立于所有只是一个易于控制小集合的条件，那么物理学是不可能的 ( if there were no phenomena which are independent of all but a manageably small set of conditions, physics would be impossible)”。
前面的两个点，虽然从哲学家的观点看是高度有意义的，但不是最令伽利略感到惊讶的地方，它们也没有包含一种特定的自然定律。“对一个重物从一给定高度下落而言，它所耗费的时间长度独立于大小、材质以及该落体形状”这种表述中就涵盖了自然定律。在牛顿第二“定律”的框架中，这等于说作用在落体上的重力和其质量成正比，但独立于该物体的大小、材质以及其形状。
前面讨论的意图是要提醒我们，首先，“自然定律” 的存在完全是不自然的，对它们，人所
能够发现的要少得多 (first, that it is not at all natural that "laws of nature" exist, much less that man is able to discover them )。【6．E Schrodinger，在他的《什么是生命?》( What Is Life? ) (剑桥：剑桥大学出版社，1945年)， p31中说，这第二种神秘可能是人类不能理解的。】目前的作者曾经有机会关注“自然定律”的连续层，每个层都包含了较前一层更一般及更统摄的定律，而且其发现将一个较之先前识别的层是更深刻的洞察构成到宇宙结构中。然而，在目前上下文中最有意义的点是，所有这些自然定律(甚至它们最遥远的那些结果)都只是包含了我们关于非生命世界的知识的一小部分。所有这些自然定律都是条件陈述，其允许基于当前知识而对某些未来事件有一种预测，除了世界目前状态的某些方面外，这在实践上是世界当前状态的决定因素中统摄性的大多数，这和预测的观点是没什么关系的。这种不相关的意思是就讨论伽利略定理的第二点意义上而言的。【7．作者确信没必要提及伽利略定理，因为课文中已有的，并没有充分挖掘和自由落体定律相关的伽利略观察的内容】
当考虑世界的当前状态时，诸如我们生活其上的和伽利略在其上施行实验的这个地球之存在，太阳和我们周边所有环绕的存在，自然定律完全是寂然的。首先，这和“当世界目前状态的
所有这些相对决定因素知道时，自然定律只是在异常环境下可以用来预测未来事件”是一致的。这同样和“组成了物理学家最壮观成就的那种他可以预见其功能的机器构造”是一致的。在这些机器中，物理学家创造了这样一种情形，在其中知道所有相关坐标，从而机器的行为是可以预测的。雷达和核反应堆(nuclear reactors)就是这种机器的例子。
前面讨论的主旨意图指出，自然定律都是条件陈述而且它们只和我们对于世界的知识中非常小部分有关联。因此，作为对一种物理理论众所周知原型，经典力学对所有物体的位置坐标基于有关这些物体位置的知识给出二次微分。对这些物体当前位置的存在或它们的速度没有给出什么信息。为了精确起见，要提到的就是我们在三十年前发现，即便条件陈述也不能完全精确：条件陈述是概率法则，其使得我们只能基于知识的当前状态将智力赌注下在非生命世界的未来属性上 ( the conditional statements are probability laws which enable us only
to place intelligent bets on future properties of the inanimate world, based on the knowledge of the present state )。它们不允许我们作范畴性陈述 (categorical statements )，甚至不允许基于世界目前状态下条件的范畴性陈述。“自然定理”的概率性质同样在机器中
强调其自身，而且可以验证，至少在核反应堆的例子中是可以的，如果你以非常低的功力运行那些反应堆。然而，对自然定律范围的那些遵循其来自概率性质的附加限制，在接下来的讨论中将不会有其角色。
数学在物理学中的角色
在提醒了数学和物理学本质后，我们应当处于一个更好的位置来回顾数学在物理理论中之角色。
自然的，我们确实在日常物理现象中使用数学来评估自然定律的结果，将条件陈述应用到特定“恰巧流行的或恰巧引起我们兴趣的”条件中去。为了让这成为可能，自然定律必须已经用数学语言作出了形式化。然而，对已经确立起来的理论之结果的评估，在物理学内的数学中，这种评估的角色并非是最重要角色。数学，或更确切的说，应用数学，在“它只是作为一种
工具”这种功能上不是如此擅长。
数学确实扮演了而且还是物理学中一个更主要的角色。这已经在“当讨论应用数学的角色时作出的”陈述中有所暗示，为了成为应用数学所使用的一个对象，自然定律必须以数学的语言来形式化 (the laws of nature must have been formulated in the language of mathematics to be an object for the use of applied mathematics )。自然定律是用数学语言书写的这种陈述大概是三百年前作出的【8．这要归功伽利略】；现在更是如此了。为了证明数学概念在物理定理的形式化中的重要性，让我们回忆一下，作为一个例子，大物理学家Dirac作出明确公式化的量子力学公理。在量子力学中有两种基础概念：状态和可观察量。状态是希尔伯特空间(Hilbert space)中的向量，可观察量是这些向量上的自轭算子
(self-adjoint operators )。可观察量的可能值是操作子的特征值，但是我们最好停在这里以免我们涉及在线性操作理论中得到发展的那些数学概念的一张列表。
当然，物理学选择了某种数学概念用于自然定律的形式化，这是真的，而且肯定只是所有数学概念的一部分在物理学中有所使用。同样是真的还有，那些受选的概念并非来自一张数学术语列表中的任意选取，而是由物理学家独立发展出来(在许多如果不是所有案例中)，然后意识到其之前已为数学家所构思过。然而虽是经常说起——就是因为数学使用最简单的可能概念而且这些肯定会在任何形式体系中出现，所以这必须要发生——但这并不是真的。就像我们前面看到的，数学概念并非由于它们的概念简洁性而被选取，即便数字序列远非“用它们来帮助技巧操作及显著辉煌论证”的最简单概念。让我们不要忘了量子力学的希尔伯特空间是带一个Hermitean标量乘积 (scalar product)的复杂希尔伯特空间。当然对于还没有成见的头脑来说，复数远非自然的或简单的，而且通过物理观察并不能对它们有所提升。还有，这种案例中所使用的复数不是应用数学的一种运算性技巧，而是在形式化量子力学定律中接近一种必须。最后，现在开始显示说，不仅仅复数而且所谓的解析函数 (analytic functions)都注定要在形式化量子理论中扮演一种决定性角色。我要参考快速发展的色散关系理论 ( theory of dispersion relations)。
很难避开这样一种印象说，我们在这里遭遇到的一种神秘很可以和“人脑可以串起来一千个论据而不会自身涉足矛盾”这种神秘令人震撼的性质有一比，或者和“存在的自然定律和人脑对其进行预言的能力这两种神秘”这种令人震撼的性质有一比较。我所知道的最接近“对数学概念突然出现在物理学的一种解释”的观察是爱因斯坦的表述，我们乐于接受的唯一物理理论是那种美丽的理论 (the only physical theories which we are willing to accept are the beautiful ones)。坚持争辩说，数学概念 (受到如此多的智性砺练) 有美的品质。然而，爱因斯坦的观察最多解释了那些我们愿意相信的理论之属性，而且并没有提到该理论的内在精确性。因此，我们应当转到这后一个问题。
物理理论的成功真的令人惊讶么？
对物理学家使用数学来形式化他的自然定律的一种可能解释就是，在某种程度上他是不负责的人。作为一个结果，当他发现介于两个量之间的一种联系类似来自数学家众所周知的一种联系时，他就会跳跃到这样一种结论：之所以这是在数学中得到了讨论的联系，仅仅是以因为他不知道任何其它类似联系。驳斥物理学家是一个在某种程度上不负责的人的控告不是目
前讨论的意图。可能他是的。然而，重要的是要指出，物理学家常在粗粗经历下的数学公式将离奇数量的例子领入对一大类现象令人惊讶的精确描述之中。这表明，数学语言要比我们说它是唯一的语言值得更多褒扬；在一个非常实际的感觉中可以说，它是一种正确的语言。让我们考虑一些例子。
第一个例子是经常提到的行星运动例子。作为主要在意大利做出的一种实验之结果，落体定律相当好的确立起来。在我们今天的精确意义上这些实验无需非常精确，部分是因为空气阻力影响，部分是因为在那个时候对短时间间隔进行测度是不可能的。然而作为他们研究的一种结果，“意大利自然科学家对物体通过空气的方式取得了一种熟悉”这样说并不奇怪。正是牛顿将自由落体定律和月球运动关联起来，他注意到“仍出石块在地球上的抛物线路径以及月球在天空中的圆周路径”是一个椭圆这同一种数学对象的特定例子，而且假定引力的宇宙定律是基于一个单一的东西，并且在那时非常接近，遇到数值。哲学上来说，牛顿作出形式化的引力定律对他的时代以及对他自己都是矛盾的(repugnant)。经验而论，其基于非常稀少的观测。于其中它被形式化的数学语言涵有一个二阶导数( second derivative) 概念，而且我们中试图描出一个到曲线的密切圆的那些人都知道，二阶导数不是一种非常直接的概念。牛顿勉强确立起来以及他可以用4%的精确度来检验的引力定律被证明在精确性小于一万
分之一，而且变为何绝对精确观念如此紧密相连，只是在最近物理学家才再次足够勇敢去探究它精确性的极限所在。【9，比如见，R. H. Dicke Am. Sci., 25 (1959) 】。肯定反反复复的再三引证的牛顿定律例子必须首先作为一个不朽的定律之例子来提，这种定律以对数学家表现出简单的术语作出形式化，它被证明其精确性超越了所有的合理期望。让我们仅概括一下我们关于这个例子的论点：首先，这个定律，特别自从在它中出现一个二次微分以后，并不对常识或对非数学思考的新人而言，只是对数学家来说才是简单的；第二，它是范围非常有限的一种条件定律。关于吸引伽利略石头的土地(earth)，或关于月球轨道的圆周形状，或关于太阳这颗星球，它什么都没有解释。对这些初始条的解释留待地质学家和天文学家去解决，而且他们有一个艰难岁月来伴随它们。
第二个例子就是普通的，基本量子力学。这出现在“当Max Born注意到Heisenberg给出的某些计算规则在形式上和带矩阵的计算规则是一致”的时候，这是由数学家在很久以前就确立起来的。Born，Jordan以及 Heisenberg然后提议用矩阵替换经典力学等式的位置和动量变量。他们将矩阵力学 (matrix mechanics) 应用到少数高度理想化问题中，而且其结果相当令人满意。然而在那时，还没有理性证据说，在更实际的条件下他们的矩阵力学会证明是正确的。实际上，他们说“如果力学如这里提出的一般，在其本质特性中就应当已经正确了(if the mechanics as here proposed should already be correct in its essential traits)”。作为一种事实，他们的力学在一种实际问题中的第一个应用，就是Pauli 在数月以后给出的氢原子。这个应用的结果和实验是一致的。这令人满意但仍可以理解，因为Heisenberg的运算规则是从涵盖了氢原子旧有理论的问题中抽取出来的。只是当矩阵力学或一种数学等式理论应用到对 Heisenberg 运算规则是没有意义的那些问题时，这种神秘才会发生。Heisenberg 规则预设说，经典运动公式有带频率属性的解决方案；而且氦原子两个电子的运动方程式甚或重原子的更多个电子，就是没有这些属性，所以Heisenberg规则不可以在这些情形中应用。毫无疑问，没几个月之前由Cornell 的Kinoshita 和标准局的Bazley对氢最低能级作出的那种计算，和在观测精度内的实验数据是一致的，是一千万分之一。在这个例子中我们肯定从方程式中“获得了什么”我们没有放入的东西。
“复杂谱线(complex spectra)”，就是说重原子谱线的量子特征同样是真的。我愿意回忆起有Jordan 的因此对话，他告诉我，当导出了谱线的定性特征时，从量子力学理论规则中会衍
生出一种不一致，而且经验搜索所确立的这些规则对矩阵力学框架中作出一个改变提供了最后机会。换句话说，Jordan感到，在氦原子理论中我们将会(至少是暂时的)无望的出现一个未曾预料的不一致。在那时，这是由Kellner 和Hilleraas 发展的。数学形式体系太美了而
且不可改变，因此才有了“之前提到但没有出现的氢”的神话，一场真正的危机很快就会浮现。肯定的，物理学将会以这种或那种方式克服这个危机。在另一方面，这是真的：如我们今日所知道的物理学没有一个类似于氦原子的那种恒长再现的奇迹将是不可能的，这可能是发生在“初级量子力学发展过程”中最令人震撼的奇迹，但迄今不是唯一的一个。实际上，类似奇迹的数量是有限的，在我们的观点中，只是由我们的意愿才去追寻更多类似奇迹 (only by our willingness to go after more similar ones)。毫无疑问，量子力学已有许多几乎同等令人震
撼的成功，其给了我们坚定的信心说它是，我们叫做，正确的。
最后一个例子是量子电动力学(quantum electrodynamics)，或兰姆位移理论 (theory of the Lamb shift)。虽然牛顿重力定律仍和经验有明显联系，但进入矩阵力学形式化中的经验只是Heisenberg 处方的精炼或升华的形式。由Bethe 构思以及由Schwinger 建立的兰姆位移量子理论是一种纯数学理论，而且实验的唯一方向就是要显示存在某种测度效应(measurable effect )。和运算的一致要好于一千分之一。
前面三个几乎可以无穷相乘的例子，应当以“为了它们的操作性而选出的术语”来揭示自然定律的数学形式化之恰到好处及精确，“自然定律”只是在严格有限范围内才有最不可思议的精确性。我提议将这些实验所揭示的观察作为认识论的经验法则来参考。和物理理论的不变
性定律一起，这将是这些理论一种绝对必要的基础。没有不变性定律，物理理论对事实将给不出基础；如果认识论的经验法则是不正确的，我们就将缺乏为情感所需要的勇气和保证，没有它“自然定律”就不可能得到成功的探索。R. G. Sachs博士(我和他讨论过认识论的经验法则) 称之为理论物理学家信仰中的一个条款 (an article of faith of the theoretical physicist)，而且那是肯定的。然而，他所谓的我们信仰的条款可以很好的由在实际例子(任何例子外加
提到的三个例子)来支持。
理论物理的唯一性
前述观察的经验性质在我看来是自明的。它肯定不是一个“必要思维 (necessity of thought)”，而且对为了证明这个(译注：应指自明的经验性质不是必要思维)而指出“它仅仅应用在我们
关于无生命世界知识的一个非常小的部分”这样的事实无需是必要的。绝对要相信的是：当对位置自身或速率存在没有类似的表达式时，数学上简单刻画的这种存在对二阶导数是自明的。因此叫人吃惊的是，包含在认识论经验法则之中的完美礼物是多么容易的理所当
然( how readily the wonderful gift contained in the empirical law of epistemology was taken for granted ) 。人脑形成一串1000个推论的能力而且仍旧“正确的”(前面提到过)是一个类似的礼物。
每一种经验法则都有令人不安的特质，就是你不知道它的限制在哪里。我们已经看到，在环绕我们世界里的事件中存在规则性，其可以用数学概念术语以一种神奇的精确性作出公式化。另一方面，就世界里存在一些方面而言，我们不相信存在任何特定规则性。我们将这些成为
初始条件。自我呈现的问题就是，是否不同的规则性 (就是说，将会发现的各异的自然定律) 会拒绝融入一个单独的一贯单元，或至少非对称的接近这样一种融合。换言之，“将总会有某些自然定律各个毫无共通之处”就是可能的。目前这是真的，比方说，遗传定律和物理定律。更加可能的是，某些自然规律在它们的蕴含中会互相冲突，但各自在自己的领域内都足够令人信服，从而我们可能不愿意放弃它们中任何一个。我们可能让自己听从这样的一个事务状态，或这我们在清除介于各异理论之间冲突的兴趣可能会消退。我们可能对在“一贯融入小图景的一个单一单元”这样一副图景中基于自然各异方面所形成的“终极真
理 (ultimate truth)”，对之失去兴趣。
可能通过例子来说明其替代会有帮助。我们现在在物理学中有两个拥有巨大能力和兴趣的理论：量子现象理论 (theory of quantum phenomena)，还有相对论 (theory of relativity)。这
两个理论都根源于互斥的现象组。相对论应用到诸如星体这样的宏观体。一致事件(event of coincidence) (就是说，对冲突的终极分析) 在相对论中是原始事件并定义了空间-时间中的
一个点，或如果对撞例子是无穷小那么至少定义一个点。量子理论根植于微观世界，而且形成了它对一致事件的观点或者对“即便出现在没有空间内容的粒子之间”冲突的观点，并不
原始而且完全不是在空间-时间中剧烈隔离。这两种理论分别用四维黎曼空间( Riemann space ) 和无穷维希尔伯特空间这些不同数学概念来操作。迄今，这两种理论还不能联合起来，就是说，不存在让这两个理论都接近的形式化数学。所有物理学家都相信，这两种理论的一个联合内在上是可能的而且我们希望找到它。毫无疑问，同样可以想象的是，没有这两种理论的联合是可以被找到的。这个例子说明上面提到的联合的以及冲突的两种可能性，这两种可能性都是想象。
为了获得一种关于对终极性期待替换的暗示，我们可以装作较之我们所是的那种无知更多一点点无知，并将我们自己放在较之我们所实际拥有的知识是一个更低级别知识上。如果我们在这种更低级别的智力上可以找到对我们理论的一种融合，我们就可以有信心的期待说，我们也可以在自己的实际智力级别上对我们的理论找到一种融合。另一方面，如果我们在某种更低级别的知识上所达到的将会是互斥理论，那么对我们自己而言，冲突理论永久的可能性就不能排除。知识和独创性的级别是一个持续变量而且不似“将世界的可达图景从不一致变换到一致的这种持续变量”中的一个相对小的变量。【10. 这一段是在犹豫再三后写下的。作者相信这在“为放弃人的智力水平在一种绝对的尺度上有一个非凡所在这种意识形态”认识论性质的讨论中是有用的。在某些情形中这甚至是有用的，比如在考虑其它某些物种智力水平可能的成就时。然而，作者同样意识到他在本文中显示的思维路径过于草率，并和使充分批评性评估成为可靠无涉】。从这种角度看，我们已知的某些理论是错误的这种事实却给出如此令人惊叹的结果是一种反向因素。如果我们在某种程度上知道的更少，那么对这个现象组而言的这些“错误的”理论解释就会对我们“证明”这些理论表现出足够大。然而，仅仅因为它们(在终极分析中)不相容于有更多包含的图景，这些理论就被我们认为是“错误的”，而且如果发现了足够多的此类错误理论，那么它们注定也将证明各自互相冲突。类似的，通过“对我们表现出足够大的若干数值一致让我们视其为‘作出了证明’的一种理论”却因为它们和“一种超过了我们发现手段的可能有更多包含性的理论”相冲突而是错误的，这是可能的。如果这是真的，我们就要望见在“一旦理论数量增长越过一个特定点以及一旦它们覆盖足够大量的现象群”时我们理论之间的冲突了。在和之前提到的理论物理学家的信仰条款的对比中，这是理论家的噩梦。
让我们考虑少数给出的“错误”理论，查看一下它们的错误性质，查看一下它们在描述现象
组时候的惊异准确性。带有一些好意，某人可以放弃一些这些例子提供的证据。Bohr在原
子上早期而前卫的观念之成功几乎是一个相当狭窄的成功，可比之于托勒密(Ptolemy) 的本轮(epicycles)。当下我们的有利点就是，对这些更原始的理论可以描述的所有现象给出了一个精确描述。就所谓的自由电子理论(free-electron theory)而言这个就不再是真的了，其对
许多 (如果不是大多数，金属的性质，半导体以及绝缘体) 都给出了令人浩叹的一个精确图景。特别的，它解释了这样的事实，基于“实际理论”永远不会得到恰当理解的事实——绝缘体对电流显示一种特定的其要比金属大1026 倍的抗拒。实际上，没有试验证据会证明，这种抗拒在“自由电子理论将引领我们期待一种无穷的抗拒”的条件下是非无穷的。毫无疑问，我们信服说，在描述所有和固体相关的现象时，自由电子理论是一种应当被某种更精确图景替换掉的粗糙近似。
如果从我们的实际优势点来看，自由电子提出的情形是气人的，但不像是预示任何我们所不可逾越的不一致性。关于我们应当在多大程度上相信介于理论和实验之间的数值一致性作为调整理论之证据，自由电子理论浮现出来疑惑。我们已经习惯了这种疑惑。
如果我们可以在某一天建立一种有关意识现象或生物学的理论，其和我们目前关于无生命世界的理论是一致且令人信服的，那么一个困难得多并困惑的情形就会浮现上来。孟德尔
( Mendel )不变性定律以及后续关于基因的工作可以很好的形成这样一种就所关注的生物学而言的理论之起始。还有，相当有可能的就是，可以找到一种抽象论证来证明介于这样一种理论和为物理学所接受的原理之间存在一个冲突。论据可以有如此这般的抽象性质说，为了合这种理论或那种理论的口味，通过实验来解决冲突可能是不行的。这样的一种情形将会对我们在自己理论中的信仰加上重压，而且对我们关于自己所形成的实际概念的信仰加上重压。这会在搜寻我们所称之的“终极真理”时给我们一种深刻意义的挫折。可以构想这样一种理
论的原因在于，本质上，我们不知道为何我们的理论运行如此良好。因此，它们的精确性并不能证明它们的真实性和一致性。实际上，“如果目前的遗传定律和物理定律是冲突的，就
会有和类似于上面所描述情形的某些非常类似情形存在了”这是作者的信念。数学语言对物
理定律的公式化之适用性神秘是我们既不会理解也不值得去理解的一种完美礼物。我们应
当感谢它，并希望在未来的研究中它还是有效的，而且即便同样可能使我们在学习的广大分支上感到困惑，它会为了我们所愿而作更好或更差的扩展。
（完）
Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beautya beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest
art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.
--BERTRAND RUSSELL, Study of Mathematics
THERE IS A story about two friends, who were classmates in high school, talking about their jobs. One of them became a statistician and was working on population trends. He showed a reprint to his former classmate. The reprint started, as usual, with the Gaussian distribution and the statistician explained to his former classmate the meaning of the symbols for the actual population, for the average population, and so on. His classmate was a bit incredulous and was not quite sure whether the statistician was pulling his leg. "How can you know that?" was his query. "And what is this symbol here?" "Oh," said the statistician, "this is pi." "What is that?" "The ratio of the circumference of the circle to its diameter." "Well, now you are pushing your joke too far," said the classmate, "surely the population has nothing to do with the circumference of the circle."
Naturally, we are inclined to smile about the simplicity of the classmate's approach. Nevertheless, when I heard this story, I had to admit to an eerie feeling because, surely, the reaction of the classmate betrayed only plain common sense. I was even more confused when, not many days later, someone came to me and expressed his bewilderment [1 The remark to be quoted was made by F. Werner when he was a student in Princeton.] with the fact that we make a rather narrow selection when choosing the data on which we test our theories. "How do we know that, if we made a theory which focuses its attention on phenomena we disregard and disregards some of the phenomena now commanding our attention, that we could not build another theory which has little in common with the present one but which, nevertheless, explains just as many phenomena as the present theory?" It has to be admitted that we have no definite evidence that there is no such theory.
The preceding two stories illustrate the two main points which are the subjects of the present discourse. The first point is that mathematical concepts turn up in entirely unexpected connections. Moreover, they often permit an unexpectedly close and accurate description of the phenomena in these connections. Secondly, just because of this circumstance, and because we do not understand the reasons of their usefulness, we cannot know whether a theory formulated in terms of mathematical concepts is uniquely appropriate. We are in a position similar to that of a man who was provided with a bunch of keys and who, having to open several doors in succession, always hit on the right key on the first or second trial. He became skeptical concerning the uniqueness of the coordination between keys and doors.
Most of what will be said on these questions will not be new; it has probably occurred to most scientists in one form or another. My
principal aim is to illuminate it from several sides. The first point is that the enormous usefulness of mathematics in the natural sciences is something bordering on the mysterious and that there is no rational explanation for it. Second, it is just this uncanny usefulness of mathematical concepts that raises the question of the uniqueness of our physical theories. In order to establish the first point, that mathematics plays an unreasonably important role in physics, it will be useful to say a few words on the question, "What is mathematics?", then, "What is physics?", then, how mathematics enters physical theories, and last, why the success of mathematics in its role in physics appears so baffling. Much less will be said on the second point: the uniqueness of the theories of physics. A proper answer to this question would require elaborate experimental and theoretical work which has not been undertaken to date.
WHAT IS MATHEMATICS?
Somebody once said that philosophy is the misuse of a terminology which was invented just for this purpose. [2 This statement is quoted here from W. Dubislav's Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart (Berlin: Junker and Dunnhaupt Verlag, 1932), p. 1.] In the same vein, I would say that mathematics is the science of skillful operations with concepts and rules invented just for this purpose. The principal emphasis is on the invention of concepts. Mathematics would soon run out of interesting theorems if these had to be formulated in terms of the concepts which already appear in the axioms. Furthermore, whereas it is unquestionably true that the concepts of elementary mathematics and particularly elementary geometry were formulated
to describe entities which are directly suggested by the actual world, the same does not seem to be true of the more advanced concepts, in particular the concepts which play such an important role in physics. Thus, the rules for operations with pairs of numbers are obviously designed to give the same results as the operations with fractions which we first learned without reference to "pairs of numbers." The rules for the operations with sequences, that is, with irrational numbers, still belong to the category of rules which were determined so as to reproduce rules for the operations with quantities which were already known to us. Most more advanced mathematical concepts, such as complex numbers, algebras, linear operators, Borel sets鉧nd this list could be continued almost indefinitely鉾ere so devised that they are apt subjects on which the mathematician can demonstrate his ingenuity and sense of formal beauty. In fact, the definition of
these concepts, with a realization that interesting and ingenious considerations could be applied to them, is the first demonstration of the ingeniousness of the mathematician who defines them. The depth of thought which goes into the formulation of the mathematical concepts is later justified by the skill with which these concepts are used. The great mathematician fully, almost ruthlessly, exploits the domain of permissible reasoning and skirts the impermissible. That his recklessness does not lead him into a morass of contradictions is a miracle in itself: certainly it is hard to believe that our reasoning power was brought, by Darwin's process of natural selection, to the perfection which it seems to possess. However, this is not our present subject. The principal point which will have to be recalled later is that the mathematician could formulate only a handful of interesting theorems without defining concepts beyond those contained in the axioms and that the concepts outside those contained in the axioms are defined with a view of permitting ingenious logical operations which appeal to our aesthetic sense both as operations and also in their results of great generality and simplicity. [3 M. Polanyi, in his Personal Knowledge (Chicago: University of Chicago Press, 1958), says: "All these difficulties are but consequences of our refusal to see that mathematics cannot be defined without acknowledging its most obvious feature: namely, that it is interesting" (p 188).]
The complex numbers provide a particularly striking example for the foregoing. Certainly, nothing in our experience suggests the introduction of these quantities. Indeed, if a mathematician is asked to justify his interest in complex numbers, he will point, with some indignation, to the many beautiful theorems in the theory of equations, of power series, and of analytic functions in general, which owe their origin to the introduction of complex numbers. The mathematician is not willing to give up his interest in these most beautiful accomplishments of his genius. [4 The reader may be interested, in this connection, in Hilbert's rather testy remarks about intuitionism which "seeks to break up and to disfigure mathematics," Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922), or Gesammelte Werke (Berlin: Springer, 1935), p. 188.]
WHAT IS PHYSICS?
The physicist is interested in discovering the laws of inanimate nature. In order to understand this statement, it is necessary to analyze the concept, "law of nature."
The world around us is of baffling complexity and the most obvious fact about it is that we cannot predict the future. Although the joke
attributes only to the optimist the view that the future is uncertain, the optimist is right in this case: the future is unpredictable. It is, as Schrodinger has remarked, a miracle that in spite of the baffling complexity of the world, certain regularities in the events could be discovered. One such regularity, discovered by Galileo, is that two rocks, dropped at the same time from the same height, reach the ground at the same time. The laws of nature are concerned with such regularities. Galileo's regularity is a prototype of a large class of regularities. It is a surprising regularity for three reasons.
The first reason that it is surprising is that it is true not only in Pisa, and in Galileo's time, it is true everywhere on the Earth, was always true, and will always be true. This property of the regularity is a recognized invariance property and, as I had occasion to point out some time ago, without invariance principles similar to those implied in the preceding generalization of Galileo's observation, physics would not be possible. The second surprising feature is that the regularity which we are discussing is independent of so many conditions which could have an effect on it. It is valid no matter whether it rains or not, whether the experiment is carried out in a room or from the Leaning Tower, no matter whether the person who drops the rocks is a man or a woman. It is valid even if the two rocks are dropped, simultaneously and from the same height, by two different people. There are, obviously, innumerable other conditions which are all immaterial from the point of view of the validity of Galileo's regularity. The irrelevancy of so many circumstances which could play a role in the phenomenon observed has also been called an invariance. However, this invariance is of a different character from the preceding one since it cannot be formulated as a general principle. The exploration of the conditions which do, and which do not, influence a phenomenon is part of the early experimental exploration of a field. It is the skill and ingenuity of the experimenter which show him phenomena which depend on a relatively narrow set of relatively easily realizable and reproducible conditions. [5 See, in this connection, the graphic essay of M. Deutsch, Daedalus 87, 86 (1958). A. Shimony has called my attention to a similar passage in C. S. Peirce's Essays in the Philosophy of Science (New York: The Liberal Arts Press, 1957), p. 237.] In the present case, Galileo's restriction of his observations to relatively heavy bodies was the most important step in this regard. Again, it is true that if there were no phenomena which are independent of all but a manageably small set of conditions, physics would be impossible.
The preceding two points, though highly significant from the point of view of the philosopher, are not the ones which surprised Galileo most, nor do they contain a specific law of nature. The law of nature is contained in the statement that the length of time which it takes for a heavy object to fall from a given height is independent of the size, material, and shape of the body which drops. In the framework of Newton's second "law," this amounts to the statement that the gravitational force which acts on the falling body is proportional to its mass but independent of the size, material, and shape of the body which falls.
The preceding discussion is intended to remind us, first, that it is not at all natural that "laws of nature" exist, much less that man is able to discover them. [6 E. Schrodinger, in his What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, 1945), p. 31, says that this second miracle may well be beyond human understanding.] The present writer had occasion, some time ago, to call attention to the succession of layers of "laws of nature," each layer containing more general and more encompassing laws than the previous one and its discovery constituting a deeper penetration into the structure of the universe than the layers recognized before. However, the point which is most significant in the present context is that all these laws of nature contain, in even their remotest consequences, only a small part of our knowledge of the inanimate world. All the laws of nature are conditional statements which permit a prediction of some future events on the basis of the knowledge of the present, except that some aspects of the present state of the world, in practice the overwhelming majority of the determinants of the present state of the world, are irrelevant from the point of view of the prediction. The irrelevancy is meant in the sense of the second point in the discussion of Galileo's theorem. [7 The writer feels sure that it is unnecessary to mention that Galileo's theorem, as given in the text, does not exhaust the content of Galileo's observations in connection with the laws of freely falling bodies.]
As regards the present state of the world, such as the existence of the earth on which we live and on which Galileo's experiments were performed, the existence of the sun and of all our surroundings, the laws of nature are entirely silent. It is in consonance with this, first, that the laws of nature can be used to predict future events only under exceptional circumstances鉾hen all the relevant determinants of the present state of the world are known. It is also in consonance with this that the construction of machines, the functioning of which he can foresee, constitutes the most spectacular accomplishment of the
physicist. In these machines, the physicist creates a situation in which all the relevant coordinates are known so that the behavior of the machine can be predicted. Radars and nuclear reactors are examples of such machines.
The principal purpose of the preceding discussion is to point out that the laws of nature are all conditional statements and they relate only to a very small part of our knowledge of the world. Thus, classical mechanics, which is the best known prototype of a physical theory, gives the second derivatives of the positional coordinates of all bodies, on the basis of the knowledge of the positions, etc., of these bodies. It gives no information on the existence, the present positions, or velocities of these bodies. It should be mentioned, for the sake of accuracy, that we discovered about thirty years ago that even the conditional statements cannot be entirely precise: that the conditional statements are probability laws which enable us only to place intelligent bets on future properties of the inanimate world, based on the knowledge of the present state. They do not allow us to make categorical statements, not even categorical statements conditional on the present state of the world. The probabilistic nature of the "laws of nature" manifests itself in the case of machines also, and can be verified, at least in the case of nuclear reactors, if one runs them at very low power. However, the additional limitation of the scope of the laws of nature which follows from their probabilistic nature will play no role in the rest of the discussion.
THE ROLE OF MATHEMATICS IN PHYSICAL THEORIES
Having refreshed our minds as to the essence of mathematics and physics, we should be in a better position to review the role of mathematics in physical theories.
Naturally, we do use mathematics in everyday physics to evaluate the results of the laws of nature, to apply the conditional statements to the particular conditions which happen to prevail or happen to interest us. In order that this be possible, the laws of nature must already be formulated in mathematical language. However, the role of evaluating the consequences of already established theories is not the most important role of mathematics in physics. Mathematics, or, rather, applied mathematics, is not so much the master of the situation in this function: it is merely serving as a tool.
Mathematics does play, however, also a more sovereign role in physics. This was already implied in the statement, made when discussing the role of applied mathematics, that the laws of nature
must have been formulated in the language of mathematics to be an object for the use of applied mathematics. The statement that the laws of nature are written in the language of mathematics was properly made three hundred years ago;[8 It is attributed to Galileo] it is now more true than ever before. In order to show the importance which mathematical concepts possess in the formulation of the laws of physics, let us recall, as an example, the axioms of quantum mechanics as formulated, explicitly, by the great physicist, Dirac. There are two basic concepts in quantum mechanics: states and observables. The states are vectors in Hilbert space, the observables self-adjoint operators on these vectors. The possible values of the observations are the characteristic values of the operators鉨ut we had better stop here lest we engage in a listing of the mathematical concepts developed in the theory of linear operators.
It is true, of course, that physics chooses certain mathematical concepts for the formulation of the laws of nature, and surely only a fraction of all mathematical concepts is used in physics. It is true also that the concepts which were chosen were not selected arbitrarily from a listing of mathematical terms but were developed, in many if not most cases, independently by the physicist and recognized then as having been conceived before by the mathematician. It is not true, however, as is so often stated, that this had to happen because mathematics uses the simplest possible concepts and these were bound to occur in any formalism. As we saw before, the concepts of mathematics are not chosen for their conceptual simplicityeven sequences of pairs of numbers are far from being the simplest conceptsbut for their amenability to clever manipulations and to striking, brilliant arguments. Let us not forget that the Hilbert space of quantum mechanics is the complex Hilbert space, with a Hermitean scalar product. Surely to the unpreoccupied mind, complex numbers are far from natural or simple and they cannot be suggested by physical observations. Furthermore, the use of complex numbers is in this case not a calculational trick of applied mathematics but comes close to being a necessity in the formulation of the laws of quantum mechanics. Finally, it now begins to appear that not only complex numbers but so-called analytic functions are destined to play a decisive role in the formulation of quantum theory. I am referring to the rapidly developing theory of dispersion relations.
It is difficult to avoid the impression that a miracle confronts us here, quite comparable in its striking nature to the miracle that the human mind can string a thousand arguments together without getting itself
into contradictions, or to the two miracles of the existence of laws of nature and of the human mind's capacity to divine them. The observation which comes closest to an explanation for the mathematical concepts' cropping up in physics which I know is Einstein's statement that the only physical theories which we are willing to accept are the beautiful ones. It stands to argue that the concepts of mathematics, which invite the exercise of so much wit, have the quality of beauty. However, Einstein's observation can at best explain properties of theories which we are willing to believe and has no reference to the intrinsic accuracy of the theory. We shall, therefore, turn to this latter question.
IS THE SUCCESS OF PHYSICAL THEORIES TRULY SURPRISING?
A possible explanation of the physicist's use of mathematics to formulate his laws of nature is that he is a somewhat irresponsible person. As a result, when he finds a connection between two quantities which resembles a connection well-known from mathematics, he will jump at the conclusion that the connection is that discussed in mathematics simply because he does not know of any other similar connection. It is not the intention of the present discussion to refute the charge that the physicist is a somewhat irresponsible person. Perhaps he is. However, it is important to point out that the mathematical formulation of the physicist's often crude experience leads in an uncanny number of cases to an amazingly accurate description of a large class of phenomena. This shows that the mathematical language has more to commend it than being the only language which we can speak; it shows that it is, in a very real sense, the correct language. Let us consider a few examples.
The first example is the oft-quoted one of planetary motion. The laws of falling bodies became rather well established as a result of experiments carried out principally in Italy. These experiments could not be very accurate in the sense in which we understand accuracy today partly because of the effect of air resistance and partly because of the impossibility, at that time, to measure short time intervals. Nevertheless, it is not surprising that, as a result of their studies, the Italian natural scientists acquired a familiarity with the ways in which objects travel through the atmosphere. It was Newton who then brought the law of freely falling objects into relation with the motion of the moon, noted that the parabola of the thrown rock's path on the earth and the circle of the moon's path in the sky are particular cases of the same mathematical object of an ellipse, and postulated the universal law of gravitation on the basis of a single, and at that time
very approximate, numerical coincidence. Philosophically, the law of gravitation as formulated by Newton was repugnant to his time and to himself. Empirically, it was based on very scanty observations. The mathematical language in which it was formulated contained the concept of a second derivative and those of us who have tried to draw an osculating circle to a curve know that the second derivative is not a very immediate concept. The law of gravity which Newton reluctantly established and which he could verify with an accuracy of about 4% has proved to be accurate to less than a ten thousandth of a per cent and became so closely associated with the idea of absolute accuracy that only recently did physicists become again bold enough to inquire into the limitations of its accuracy. [9 See, for instance, R. H. Dicke, Am. Sci., 25 (1959).] Certainly, the example of Newton's law, quoted over and over again, must be mentioned first as a monumental example of a law, formulated in terms which appear simple to the mathematician, which has proved accurate beyond all reasonable expectations. Let us just recapitulate our thesis on this example: first, the law, particularly since a second derivative appears in it, is simple only to the mathematician, not to common sense or to
non-mathematically-minded freshmen; second, it is a conditional law of very limited scope. It explains nothing about the earth which attracts Galileo's rocks, or about the circular form of the moon's orbit, or about the planets of the sun. The explanation of these initial conditions is left to the geologist and the astronomer, and they have a hard time with them.
The second example is that of ordinary, elementary quantum mechanics. This originated when Max Born noticed that some rules of computation, given by Heisenberg, were formally identical with the rules of computation with matrices, established a long time before by mathematicians. Born, Jordan, and Heisenberg then proposed to replace by matrices the position and momentum variables of the equations of classical mechanics. They applied the rules of matrix mechanics to a few highly idealized problems and the results were quite satisfactory. However, there was, at that time, no rational evidence that their matrix mechanics would prove correct under more realistic conditions. Indeed, they say "if the mechanics as here proposed should already be correct in its essential traits." As a matter of fact, the first application of their mechanics to a realistic problem, that of the hydrogen atom, was given several months later, by Pauli. This application gave results in agreement with experience. This was satisfactory but still understandable because Heisenberg's rules of calculation were abstracted from problems which included the old theory of the hydrogen atom. The miracle occurred only when matrix
mechanics, or a mathematically equivalent theory, was applied to problems for which Heisenberg's calculating rules were meaningless. Heisenberg's rules presupposed that the classical equations of motion had solutions with certain periodicity properties; and the equations of motion of the two electrons of the helium atom, or of the even greater number of electrons of heavier atoms, simply do not have these properties, so that Heisenberg's rules cannot be applied to these cases. Nevertheless, the calculation of the lowest energy level of helium, as carried out a few months ago by Kinoshita at Cornell and by Bazley at the Bureau of Standards, agrees with the experimental data within the accuracy of the observations, which is one part in ten million. Surely in this case we "got something out" of the equations that we did not put in.
The same is true of the qualitative characteristics of the "complex spectra," that is, the spectra of heavier atoms. I wish to recall a conversation with Jordan, who told me, when the qualitative features of the spectra were derived, that a disagreement of the rules derived from quantum mechanical theory and the rules established by empirical research would have provided the last opportunity to make a change in the framework of matrix mechanics. In other words, Jordan felt that we would have been, at least temporarily, helpless had an unexpected disagreement occurred in the theory of the helium atom. This was, at that time, developed by Kellner and by Hilleraas. The mathematical formalism was too dear and unchangeable so that, had the miracle of helium which was mentioned before not occurred, a true crisis would have arisen. Surely, physics would have overcome that crisis in one way or another. It is true, on the other hand, that physics as we know it today would not be possible without a constant recurrence of miracles similar to the one of the helium atom, which is perhaps the most striking miracle that has occurred in the course of the development of elementary quantum mechanics, but by far not the only one. In fact, the number of analogous miracles is limited, in our view, only by our willingness to go after more similar ones. Quantum mechanics had, nevertheless, many almost equally striking successes which gave us the firm conviction that it is, what we call, correct.
The last example is that of quantum electrodynamics, or the theory of the Lamb shift. Whereas Newton's theory of gravitation still had obvious connections with experience, experience entered the formulation of matrix mechanics only in the refined or sublimated form of Heisenberg's prescriptions. The quantum theory of the Lamb shift, as conceived by Bethe and established by Schwinger, is a purely
mathematical theory and the only direct contribution of experiment was to show the existence of a measurable effect. The agreement with calculation is better than one part in a thousand.
The preceding three examples, which could be multiplied almost indefinitely, should illustrate the appropriateness and accuracy of the mathematical formulation of the laws of nature in terms of concepts chosen for their manipulability, the "laws of nature" being of almost fantastic accuracy but of strictly limited scope. I propose to refer to the observation which these examples illustrate as the empirical law of epistemology. Together with the laws of invariance of physical theories, it is an indispensable foundation of these theories. Without the laws of invariance the physical theories could have been given no foundation of fact; if the empirical law of epistemology were not correct, we would lack the encouragement and reassurance which are emotional necessities, without which the "laws of nature" could not have been successfully explored. Dr. R. G. Sachs, with whom I discussed the empirical law of epistemology, called it an article of faith of the theoretical physicist, and it is surely that. However, what he called our article of faith can be well supported by actual examples鉳any examples in addition to the three which have been mentioned. THE UNIQUENESS OF THE THEORIES OF PHYSICS
The empirical nature of the preceding observation seems to me to be self-evident. It surely is not a "necessity of thought" and it should not be necessary, in order to prove this, to point to the fact that it applies only to a very small part of our knowledge of the inanimate world. It is absurd to believe that the existence of mathematically simple expressions for the second derivative of the position is self-evident, when no similar expressions for the position itself or for the velocity exist. It is therefore surprising how readily the wonderful gift contained in the empirical law of epistemology was taken for granted. The ability of the human mind to form a string of 1000 conclusions and still remain "right," which was mentioned before, is a similar gift.
Every empirical law has the disquieting quality that one does not know its limitations. We have seen that there are regularities in the events in the world around us which can be formulated in terms of mathematical concepts with an uncanny accuracy. There are, on the other hand, aspects of the world concerning which we do not believe in the existence of any accurate regularities. We call these initial conditions. The question which presents itself is whether the different regularities, that is, the various laws of nature which will be
网络出版时间：2012-11-12 13:10 网络出版地址：https://www.doczj.com/doc/d53508669.html,/kcms/detail/43.1447.C.20121112.1310.001.html 自然的数学化与近代自然科学的建构 陈俊 （湖北省道德与文明研究中心、湖北大学哲学学院湖北武汉430072） 摘要：近代自然科学的建构无疑是人类思想史上一次深刻的观念革命。这一革命的最初动机就是近代科学革命的先驱们对“简单、和谐的宇宙”这一古希腊理想的不懈追求。哥白尼率先在天文学领域拉开了革命的序幕，他的后 继者们在对自然数学化的追求中以哥白尼本人并未意识到的方式建立起了宇宙空间的背景化和物质自然的对象化这 两个对建构近代自然科学极为重要的形而上学基础。 关键词：宇宙空间；物质自然；数学化；背景化；对象化 作者简介：陈俊（1976－）男，湖北孝感人，湖北省道德与文明研究中心研究员、湖北大学哲学学院副教授、中国社科院哲学所博士后，主要从事科学技术哲学与科技伦理学研究。 在沉寂了近千年之后，人类，至少是欧洲人的心灵在十六、十七世纪经历了一场深层的思想革命。 这场革命改变了人类的思维框架和模式。任何革命都是有其思想基础的。而这场革命最初的思想基础 就是对自然数学化这一古希腊理想的复兴。近代自然数学化过程的直接后果就是在欧洲人的思维框架 中建立起近代自然科学的两个重要的形而上学基础即：宇宙空间的背景化和物质自然的对象化。本文 试对这一思想历程进行初步的探讨。 一、自然数学化的古希腊背景 近代科学的思想渊源可以追溯到古希腊，古希腊是科学精神的发源地。正如有的学者所说：“整个世界的科学发展就是毕达哥拉斯数学主义的诠释史和德谟克利特的原子主义的论证史。”近代自然 科学的数学化就是直接复兴古希腊数学主义思想的结果。 公元前6世纪，古希腊自然哲学开始出现。这种哲学的出现并不是对远古时代的神话的一种简单取代。而本质上是一种新的哲学思维模式的出现。[1]这种新的思维模式的主旨在于它对宇宙的解释不 再诉诸于神灵，而是诉诸于自然主义的解释。最先对宇宙的起源诉诸自然主义解释的是米利都学派的 自然哲学家们。米利都学派的第一个哲学家泰勒斯首先提出“万物源于水”的思想。而他的弟子阿那 克西曼德则相信万物的基即是“无定形”。阿那克西米尼则认为基本的质料是“气”，它可以被“稀释” 和“浓缩”，从而产生我们所知世界中各种各样的物质。阿那克西米尼的思想实际上开始导向毕达哥 拉斯学派。因为他不仅研究了“万物起源于何物”这样的问题，而且还研究了“是什么使得万物彼此 呈现出差别”，即所谓“变化问题”。“变化问题”首先由赫拉克利特提出。他认为“万物皆变”。但赫 拉克利特所肯定的东西遭到巴门尼德的坚决反对。巴门尼德坚持认为所有变化在逻辑上是不可能的。 巴门尼德对变化可能性的否定对西方哲学思想史有着巨大的影响。他实际上提出了“变化无常的万物 背后不变的原因”这个根本的哲学问题。在某种程度上讲，这是西方科学理性的第一次显现。 毕达哥拉斯学派的自然哲学家们对这个根本的哲学问题给出了肯定的回答。即“是数学结构的不同导致了它们表现上的不同”，因而“数才是万物不变的本源”。他们认为世界上显然存在两类不同的 东西，一类是可感知的千变万化的表象世界，另一类则是不可感知的无形的、没有运动变化的世界，
浅谈如何提高小学数学课堂教学的有效性 教学有效性，始终是课堂教学的生命线。在小学数学课改实施过程中，我们的课堂教学也发生了翻天覆地的变化：以往的“填鸭式”变成了“自主探索”，学生的个性得到了张扬，教学气氛活跃。然而，我们不难看出，华丽的“外衣”、热闹的“学习活动”掩饰不了形似神离的痕迹，放任而浮躁，也折射出一个令人深思的问题——随着课程改革的不断深入，如何创造宽松、和谐且便于学生思考、乐于探究的优质课堂教学就显得尤为重要，但打造高效的小学数学课堂更是关键。怎样才能实现课堂的高效呢? 一、准确解读，创造性地使用教材 数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科，各部分知识之间的纵横联系十分紧密。教师解读教材要做到“瞻前顾后”，既要关注学生已有的知识基础和生活经验，也应关注相关知识的后续学习任务及要求。同时，解读教材要做到“入木三分”，如果没有对教材的深入解读，也就不可能有对教材的正确解读、准确把握，留下的只是对教材的“背离”和“误读”。因此，唯有以审慎的态度解读教材，并从教材“出发”，对其进行合理的加工、重组、改造，才能真正做到超越教材，实现科学、有效、创造性地使用教材，使课堂教学更有效率。比如，教学三年级初步认识平均数“比一比”时，学生在操作中通过“移多补少”理解平均数的统计意义后，依托“平均分”的基础，借鉴“移多补少”法求平均数的经验，学生不难想到用“先合后分”的方法来直接求平均数。接着拓展情景，深化对平均数本质的理解，设计以下教学环节，结合统计图观察，虚线表示的平均数6和最多的比怎样？和最少的比呢？使学生明白平均数一定会在最多与最少之间，接着让学生观察：比平均数6个多的有谁？比平均数6少的有谁？从中你有什么发现？通过讨论使学生明白多的和与少的和肯定一样多，要不就拉不平。紧接着，教师抛出问题，如果佳佳投中的不是9个，而是5个，那平均数会怎样？如果佳佳投中的比9个还要多，是13个，那平均数又是多少呢？这样三次拓展情景，使学生对一组数据的平均数介于原始数据的最大值与最小值之间、数据中每一个数与平均数之差的总和为0及平均数易受一组数据中每个数据的影响等特性有一个初步的认识，帮助学生从不同侧面丰富了这一统计量意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解和把握，对学生而言，通过这三个环节的教学，平均数的概念变得丰富、饱满而灵动。当然，创造性使用教材要建立在对教材的整体知识体系的把握上，并充分了解学生，理解新课程的理念。只有恰当地、科学地、灵活地处理教材，真正地为学生的全面发展设计课堂教学，才会真正实现教学的有效性。 二、创设情境，让学生的学习过程充满活力 苏霍姆林斯基指出：“教师在教学中如果无法使学生产生高昂情绪和智力振奋的内心状态，而只是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦。”教学情境对学生而言具有较强的吸引力，容易激发他们的好奇心和求知欲，进而促使其思维处于异常活跃的状况，更重要的是要在情境中产生数学问题，让学生在情境中发现数学问题，让学生在理解情境的情节与内容的基础上通过联想与识别，在自主学习与合作探究中找到解决问题的方法。因此，教师应营造轻松愉快的教学情境，引导学生涉境体味，使学生乐此不疲地致力于学习。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/d53508669.html, 谈数学与自然辩证法 作者：金飞 来源：《中小企业管理与科技·中旬刊》2016年第10期 摘要：自然辩证法为数学提供世界观和方法论，数学的研究和学习有利于自然辩证法的发展。自然辩证法的基本内容为“两观一论”，本文分别介绍了数学与它们之间的关系，更加突出了数学与自然辩证法的密切联系，进一步帮助人们明确数学中的自然观，增强哲学素养，把握科技发展规律，拓展科技创新视野，熟悉科学方法特点。 关键词：数学；自然观；科技观；科学技术方法论 中图分类号： G4 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）29-109-2 0 引言 自然辩证法是研究自然界和科学技术发展一般规律以及人类认识自然和改造自然一般方法的学科。数学作为一门自然科学，其研究和学习过程中处处都蕴含着自然辩证法的思想。本 文分别讨论了数学与辩证唯物主义自然观、数学与辩证唯物主义科技观以及数学与科学技术方法论之间的关系，进而帮助人们更好的理解数学与自然辩证法之间的密切联系，使人们进一步明确数学中的自然观，增强哲学素养，把握科技发展规律，拓展科技创新视野，熟悉科学方法特点。 1 数学与“两观一论” 1.1 数学与辩证唯物主义自然观 首先，数学理论的产生和发展符合辩证唯物主义自然观的特点。数学是一个系统辩证的自然科学。不同的数学知识之间是相互联系的，它们共同构成了一个系统的数学学科。数学作为方法运用于自然科学，不断加深人们对自然界各个细节的了解，特别是对力学规律的把握，进而形成对自然界的总体认识。另外数学在科学发展过程中也具有指导科研的作用。数学以自然科学为中介，对辩证唯物主义自然观的丰富和发展表现在多方面。数学的各种理论常常为 物理学等学科的理论突破提供绝佳的语言工具，例如微积分是牛顿力学的基础；偏微分方程对麦克斯韦的电磁学理论的指导；随机数学是量子力学的基础。总之，数学中充满了辩证法的内容。 其次，数学理论的产生和发展丰富和发展了辩证唯物主义自然观，进一步推动了科学的发展，对人与自然的认识有了新的观点。16-18世纪的科学技术革命和机械唯物主义的自然观，数学是近代自然科学发展最充分的科学之一。笛卡尔开辟了“解析几何”的全新领域。我们所熟悉的x，y来自笛卡尔，正是这种代数对几何的应用铺平了微积分发展的道路。解析几何成了物理学与自然科学研究方法中的常用利器。由此可见数学与自然辩证法是紧密联系、相互促进
数学在计算机中的应用 摘要：结合自身的学习经历和所接触的数学与计算机知识，来谈一下自己对计算机应用的理解和认识，在文章中针对不同的课程可能会谈到一些具体的应用，但重点想突出数学方法与思维对计算机应用的影响。 关键字：离散数学C语言数字逻辑算法设计与分析 上了是十几年学，数学可以说是我的老朋友了。从幼儿园的识数开始，到如今的高等数学，数学学习始终贯穿这我的学习历程，中我们也不难发现数学在教育中的地位。数学作为一门基础课程，它的身影可以说是无处不在的。作为一名计算机系的学生，本来以为可以摆脱数学的”噩梦”的，但是接下来的学习让我再一次失望了。原来学计算机，除了学习高数，线性代数，数理统计外，还要学习一科专门为计算机开设的《离散数学》。 记得在一节课上，一位老师说过：“一位从本科就是计算机专业的博士说：‘研究计算机就是研究数学’。”虽然我现在无法体会到这句话，也不论这就话是否完全正确，但它总能说明了一点：数学在计算机中必然会发挥巨大的作用。 作为一个大三的本科生也许我的知识不够全面，理解也不是那么透彻，我在此只想根据自己的学习经历来谈一下个人的见解—数学在计算机中的应用。 也许我们小的时候，只知道学习数学有趣。等我们慢慢长大，随着学习的深入，我们总是喜欢问这样一个问题：学数学有什么用呢？我们总是告诉自己，学会加减乘除就足以应付生活了，再学深入那些抽象的知识一点用处也没了。其实数学作为一门基础课程也许在现实中确实没有什么用处，但数学作为一种工具，它很好地锻炼了我们的思维，让我们的思维变得活起来。而在计算机中，大家也都有一个共识：学不好数学的人也很难学好计算机。虽然这个也有点片面，但我们不否认这其中总有一定道理的。计算机的知识也是相当抽象化的模型，需要我们具有良好的逻辑思维户外清晰地脉络，而数学好的人这种思维往往是比较突出的。因此，我们经常发现，现实中有非常多的搞计算机搞得比较好的，他们的前身是学数学专业的。从基础方面，数学思维为计算机的学习打下一个良好的基础，站在今天，我不再去抱怨以前的数学学习是多么的艰难，而是有一种风雨之后见彩虹的喜悦，我不能否认，数学确实对我在计算机中的学习产生了潜移默化的影响，而这种影响确实是那么的有益。 记得刚开始学习编程的时候，接触的《C语言程序设计》，程序里的许多样题都是一些小的数学案例。用计算机程序计算和1+2+…+100=，求1！+2！+…+10!=….等，我想大家都不会陌生。是的正是这些小的数学例题，把我们的计算机学习一步步的引向远方。这些样题虽然不难，但它却包含了许多的思想。编程确实是用一种计算机的语言来表达数学的思想。我们必须像往常一样有一个明确的条理性，找出其中的规律，然后一步步求解。不过不同的是，现在不再需要我们在纸上用笔一步步的演算，而是把我们的思维赋予计算机来演算。 接下来的学习，作为一名计算机的学生，总要接触一门《离散数学基础》。刚开始我们会产生一个疑问，我们学计算机的干嘛要学习那么多数学。但随着老师的介绍，我们只能默默接受计算机学子的命运，别抱怨了，埋头学吧！介绍说：离散数学是研究离散量的结构和相互关系的学科，它在计算复杂性理论，软件工程，算法和数据结构，数字逻辑电路等各领域都有广泛应用，同时也能适当培养学生的抽象思维和慎密逻辑推理能力。也许那时候还感觉软件工程，数据结构还很陌生，感觉到学习数学依旧痛苦，没有感到那些抽象的理论到底有什么用啊，不会是在吓唬我们吧？但接下来在以后的学习中，它的确得到了广泛应用。
浅谈数学课堂教学的有效性 发表时间：2012-02-06T09:21:29.877Z 来源：《素教教师》2011年第13期供稿作者：田志兰[导读] 新一轮课程改革对于我们小学的数学课堂教学来说，已经产生了极大的效应。 田志兰 新一轮课程改革对于我们小学的数学课堂教学来说，已经产生了极大的效应。随着新课程改革的不断深入，教师的教学理念、教学行为都在发生着极度地转变，其课堂教学的有效性是我们广大教师所共同追求的目标。 所谓教学的有效性就是课堂教学要达到有效性，是指教师在教学活动中，采取各种不同的教学方法和教学手段，用较短的时间，较少的精力，使学生获得较大限度的知识，取得尽可能好的教学效果，达到教学目标的有效实现。我通过对“数学课程标准”的学习和长期的教学实践，对数学课堂教学的有效性谈谈自己的几点看法： 一、激趣创设情境为实现数学课堂教学的有效性奠定基础 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”这话一点儿不假，它能激起学生们无限的求知欲望。比如课始，教师能够把学生们的注意力吸引过来，这就是成功的开头，是课堂教学达到有效性的基石。如何去做才能把学生们的注意力吸引过来呢？这是一门很难的科学，也是一门艺术。教师要靠自己的生活积累，丰富的知识底蕴，多样的设计手段，已有的教学经验，根据课型的不同要求，采取讲故事、提问题、猜谜语、变魔术、做游戏、生活情景再现、借助信息技术动画演播等不同方法，激发学生们的兴趣，来吸引他们的眼球。当然，这不光是为了吸引学生们的眼球，而是有目的地为学生们学习新知识奠定良好基础的过程，而这一过程是在学生们动眼、动心，产生兴趣时不知不觉中完成的。这样的“兴趣”促使学生们带着好奇的心理踏入了求知的大门。 学生学习最好的状态是对所学的教材感兴趣，这是课堂教学达到有效性的建构。我们教师要用心挖掘一些具体的、有趣的、富有挑战性的、切合教学实际需要的素材，引导学生投入数学活动中。大教育家孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”告诉我们学习的最高境界是乐学，如果知识内容能使学生产生兴趣，那么学生就会主动地、兴致勃勃地参与其中。因此，作为教师我们还要在教学活动中精心地创设有效的学习情境，让学生在情境中感受数学，学习数学。数学学习的过程是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的动态过程。兴趣是学习过程中一个最重要的直接动力，是发展智力提高思维能力的最活跃因素，在兴趣的激发下学生的内因起了作用，有了内在兴趣，他们就会产生高度的学习积极性，就会努力探讨、研究、发现数学知识，学会数学知识，运用数学知识，在知识的海洋里尽情地畅游。 二、创造性地使用教材是实现数学课堂教学有效性的保障 按照新课程教学理念倡导的：我们尊重教材，也可以创造性地使用教材。我们教师不但要用心挖掘一些具体的、有趣的、富有挑战性的切合教学实际需要的素材，还要搜集发现一些贴近学生生活的切合教学实际需要的素材，让数学教学充满生活的阳光。比如在学习简单的分数乘法应用题时，结合本班学生的实际情况列举实例。先让学生说出班级里学生的总人数，教者再说出女生人数占班级总人数的几分之几，而后让学生想一想，怎样才能求出女生有多少人。学生会很快探讨出算法，用班级总人数乘女生人数占班级总人数的几分之几就求出女生人数。这样联系生活实际，大大地降低了数学知识的抽象性，学生就会从已有的生活经验中感悟数学知识，把数学知识从生活中抽象出来，用数学知识解决生活中的实际问题，学生才会领悟到数学来源于生活，又应用于生活的真谛，做到活学数学知识，学活数学知识，有效地理解和掌握数学知识。 三、引导学生动手和动口促进数学课堂教学有效性的落实 动手操作是思维的起点，也是智慧的源泉；动口叙述是思维的升华，也是智力的提高。小学生的思维离不开动手操作，他们认识事物首先是直接感观来认知，因为直接感观认知事物，是要通过动手操作来实现的。数学又是经历由感知到认知再到抽象的阶段，从认知到抽象的阶段，需要用语言来表达。心理学告诉我们：思维的发展和语言的表达是密切联系的。也就是说没有脱离语言的思维，思维是在语言的基础上形成和发展的，因此，在数学教学中加强说的训练，引导学生把操作和语言表达密切结合起来，才能做到真正提高学生的思维。 四、思考与探讨的过程有利于数学课堂教学有效性的提高 我们在教学中给学生足够独立思考的时间和探讨问题的空间，才会真正达到教学的有效性。 夸美纽斯曾说：“自然并不性急，它只慢慢前进。”这就是说，保持节奏意味着让学生“自然生长，循序渐进”。“教学是一种慢的艺术”。“慢”是意味着某种“节奏”，给学生留出独立思考的时间和空间。我们教师决不能单纯地追求课堂进度，为了完成本节课的教学设计，节省时间，而不给学生足够的时间去独立思考，去亲身经历，去深刻体会，学生学到的知识就会肤浅，达不到深化。我们只有让学生深刻体会，才能达到知识的融会贯通。 数学课程标准中明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”这些方式都需要学生在课堂上的四十分钟内有效完成。所以教师要给学生创造探讨的空间，让学生从“数学现实”出发，在教师帮助下，通过学生合作，自己动手、动脑、观察、模仿、实验、猜想等手段探讨新知，获得体验，并作类比、推理、分析、发现、找规律、归纳、总结等，学生才会在头脑中渐渐形成数学知识，达到学习的有效性，提高课堂教学的实效。 五、质疑解惑一环对实现数学课堂教学的有效性必不可少 “质疑解惑”是师生双方的，不是单方面进行的，是小学数学教学中进行启发式教学的一种主要形式，是“有效教学的核心”。在数学课堂中，为了激发学生提问的积极性，教师可根据教学内容和学生的实际，不断变换表达的方式，提出多种激发学生兴趣的有价值的数学问题，让学生主动思考，让学生主动质疑，点燃学生智慧的火花，不断提高学生的思维和创新能力；“质疑解惑”也可以在新课之后，教师鼓励学生提出一些自己感到没有理解透彻的疑难问题，生生互辩质疑，师生共同探讨解疑，达到共识，有时会达到意想不到的教学效果。 可谓学起于思，思源于疑，善于发现问题，才能学会解决问题。学生的积极思维往往是从疑问开始的，有质疑解惑才会促使学生认真对待学习，有质疑解惑才能促使学生更透彻地理解和掌握知识，有质疑解惑才能促使学生去发现创新，使教学行之有效。 作者单位：扶余县实验小学
小学数学作业设计有效性案例 在小学生的眼里，那些新颖、生动、灵活多变的事物往往更容易引起的兴趣，促使他们的思维始终处于积极状态，产生强烈的求知欲，使其进入最佳学习状态。根据这一规律，我们在设计作业时，就应该多设计一些具有童趣性和亲近性的作业，如：数学手抄报、数学日记、数学游戏、数学调查、数学作业“自助餐”等多种形式以激发学生的学习兴趣，使学生成为一个乐学者。 作为新课程改革形势下的教师，我在教学中运用新课程的理念，设计了多种具有层次性、实践性、多样性、趣味性的作业，从学生实际出发，关注学生身心的健康成长，让更多的学生，有更多的机会去体验成功的喜悦，去感受成长的乐趣。让所有的学生都能在做数学特色作业的过程中展现自己的智慧、张扬自己的个性、体会做作业的快乐！ 一、自编数学小报。 设计意图： 自编小报能培育学生书写、绘画、设计、创作等为目的综合能力，自编数学小报又能沟通数学与其它学科的有机融合，在实践中我们让学生分组出刊或自力出刊，刊名和栏目都让学生自订，有时我协助出谋献策。如《数学乐园》、《数学王国》、《数学小灵通》、《漫游数学世界》、《趣味数学》、《欢愉数学》。班级每学期举办一次班级展览，学生的个性在这里获得声张，聪明在这里获得浮现，学生在创作中、想象中、合作中体味到做功课的欢愉。因为
同学们喜欢这项作业，所以学生的小报图文并茂，设计新颖，构思巧妙。 二、写数学日记 设计意图： 写数学日记是把看到的、听到的、想到的、亲自体验到的与数学有关的内容记下来；还可以总结学习内容和对常识的把握水平。自己预习中假若有疑问的问题可以在数学日记中提出来和教师交流切磋；或者对自己在本周做错的题型给以剖析并指犯错误的原因等。让学生在写数学日记中进行自我的反思，自我的前进，出力于叫醒学生的数学意识、生命意识。学生能在数学日记中斗胆揭晓自己的看法，提出自己的质疑；也能在数学日记中透露自己的苦衷，发出心里的感伤；还能在数学日记中发现自己的不足，更正自己的错误……例如：王楚在数学日记中这样写到：“很多人觉得数学很难学，其实数学是很简单的，只在乎你如何看，如何学。往往很多人感受数学难而厌恶学数学。我觉得假如你不害怕数学，你必然可以战胜困难，数学就会一天比一天强。这也是我学习数学的心得。只要你喜欢上数学，你就会发现原本数学很有趣。所以我希望同学们也像我一样喜欢数学，可以吗？ 三、做数学游戏。 设计意图： 设置数学游戏能带动学生学习的气氛，使每个同学的都能参与到活动中去，能达到“学中玩，玩中学“的目的。
?叶邑镇中课堂教学评价原则 一、评价指引思想 课堂教学活动是师生积极参加、交往互动、共同发展过程。高效数学课堂是学生学与教师教统一，学生是数学学习主体，教师是数学学习组织者、引导者与合伙者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引起学生数学思考，勉励学生创造性思维；要注重培养学生良好数学学习习惯，掌握有效数学学习办法。 学生学习应当是一种生动活泼、积极和富有个性过程。除接受学习外，动手实践、自评摸索与合伙交流也是学习数学重要方式。学生应有足够时间和空间经历观测、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 二、数学课堂评价基本内容 （一）教学目的评价 1.知识与技能 实行素质教诲，对数学课堂教学质量提出了更高规定，这就规定教师在教学中把知识形成过程放在首位，使学生经历知识发生和发展过程，获得具备生命力、有用知识，掌握具备可迁移、生动活泼知识构造。 （1）“感知、理解新知”评价内容 为呈现新知能提供包罗新知本质属性感知材料；引导与否便于学生尽快进入新知近来发展区，展开未知摸索；教师点拨与否有助于激发学生思维碰撞，顺利完毕认知“同化”或“顺应”；教学辅助手段使用与否有助于学生省时有效地发现和理解新知本质。 （2）“抽象、概括新知”评价内容 ①思维阶梯设计有助于学生在摸索新知本质过程中，展开高效分析、判断、推理、概括；并在归 纳总结新知过程中经历一种以详细思维为支柱，向抽象逻辑思维过渡，又将已理解抽象概念详细化认知来回历程； ②学生对已概括新知理解与否全面、进一步；表述与否详细严谨；与否达到了学时教学规定教学 目的； 2.过程与办法 （1）学生数学学习过程与否是建立在已有经验基本上一种积极建构过程。 （2）学生数学学习过程与否是布满观测、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩数学活动。 （3）学生数学学习过程与否富有个性、体现多样化。
数学：自然科学之基础 最近，传奇华裔数学家张益唐在清华大学演讲，分享了他的数学人生。他关于“孪生素数猜想”的证明震惊了世界。而此前，他默默无名，曾一度“流浪”美国各州，不时借住朋友家中，靠打零工为生。这一切，再次激起了人们对数学的浓厚兴趣。 数学是一门最古老的科学，有着悠久的历史。早在公元前3000年左右，古巴比伦、古埃及、中国就相继出现了算术、代数和几何，被应用于天文、税收及建筑等领域。想想看，在牛顿时代就可以算出每秒钟8公里的第一宇宙速度，为星际航行的开端迈出了第一步。爱因斯坦质能方程成就了核子物理，也为人类指出寻找新能源的方向。这些伟大发现的背后都离不开数学原理。 现代生活中数学更是无处不在，从指纹识别到CT技术，从数据处理到信息安全，从大气科学到火箭飞行器的设计，从地质勘探到施工建筑，形形色色的技术革命的背后，数学都扮演着不可缺少的角色。那么数学到底是怎样一个学科，包含了哪些专业，未来就业出路如何呢？ 目录 一、专业解析 二、专业与就业 三、报考指南 一、专业解析 数学是打开科学大门的钥匙——培根
什么是数学 什么是数学？很多科学家从不同的角度给过不同的定义。米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就。”爱因斯坦说：“纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。”伽利略说：“自然界这部伟大的书是用数学语言写成的。” 数学是自然科学之基础。从概念上讲，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。 数学有广阔的应用空间。著名数学家华罗庚说：“凡是出现‘量’的科学部门中就少不了要用数学。研究量的关系、量的变化、量的变化的关系，量的关系的变化等等现象都是少不了数学的，所以数学之为用贯穿到一切科学部门深处，而且成为它们的得力的助手和工具。” 数学也有纯粹理论的一面。现代数学已经发展出了众多的分支，而且不断深入。在纯数学很多领域，数学家的工作不为大众所了解，很可能也看不到什么应用前景，但是，数学的美激励着一代代数学家不断去探索未知。 大学里数学学什么？ 数学类专业属于理学，按照教育部《普通高等学校本科专业目录》（2012年）的划分，数学类专业主要包括数学与应用数学、信息与计算科学、数理基础科学（特设）等。 数学与应用数学包括基础数学和应用数学两方面。基础数学研究的是数学本学科的基本理论与发展规律，如著名的哥德巴赫猜想等问题就是基础数学的研究对象；应用数学就是由大量的实际问题引发的数学理论，解决现实生活或其他学科与科学技术中碰到的问题；信息与计算科学包括计算数学与信息处理中的数学两个方面，主要培养学生运用数学的思维和方法解决信息技术领域中的实际问题。另外，统计学是应用数学的一个分支，很多高校的数学学院除了有数学系、信息科学系外，还设有统计、精算、金融数学等科系。
数学在生活作用 数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深——高斯，数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯。 现在的社会很注重文理双全，除了语文好数学也要好。对于我们学药剂的同学来说学数学是非常让人头大的事情。班里好的很好差的很差，真的是一个天一个地的差别。上课的时候很多同学都会念到“学数学有什么用，基本算数会就行了，再说了买菜的时候又不会用到三角函数，在厨房做菜又不用计数蔬菜面积，工作又不用积分求导，数学除了应付考试还能做什么”。 假设：生活中用到的数学只有算数。 喷泉它们划出的弧度和高度是如此的美丽让人惊艳，连接大陆和小岛的桥让两岸人民互相沟通交流，公园和后花园里的拱桥给风景添加诗意，弯曲的隧道让火车在山间来回穿梭。设计这些不只需要会算数，你还需要学会函数，抛物线，三角函数等。还有人在生活中的衣，食，住，行，都需要用到数学而不只至会算数，如果你开了一家服装店需要计数销售额，盈利率等才在知道本月是否赚了下个月应该进什么衣服来提高盈利。还有如果开了超市还要根据银行贷款年利率等考虑是年初售出还是年末售出来提高利润减少利息。如果需要购买房子还要考虑和计数如何分期付款和首付多久能还清。还有出行的
时候除了寻找景点还要计数路线还要计数如何出行可以省钱等等计 数这些就要学会一元一次方程，或一元二次方程。更不可事宜古人还用数学与对联相连在三强韩赵魏．九章勾股弦里，上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对。片刻，人皆摇头，无以对出。他只好自对下联“九章勾股弦”。此联全用“双联”修辞格。“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》。该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理。全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合。 数学还连接着科学，数学是打开科学大门的钥匙——培根。比如我们在熟悉不过的年，月，日。但你们知道吗？为什么二月只有28天或29天吗？实际上，人类精确的计算出地球绕太阳转一圈的时间为365天5小时48分46秒（即1年）．为了方便人们把1年定为365天，这样，每过4年就多出将近1天（5小时48分46秒×4≈24小时）来，就把这1天加在二月份里，这一年就成了闰年，有366天．因为每年按365天来计算，每过四年就多出23时15分4秒，这个数字很接近一天的时间．因此，规定每四年的二月份增加一日，以补上过去少算的时间．但这样实际上每四年又要亏44分56秒，推到100年时，亏了18时43分20秒，又将近一日了，所以规定到公元整百年时不增加这一天，而到整400年时再增加这一天．多不可思议啊！让人连连感叹！
浅谈小学数学课堂教学的有效性 摘要：教学是教师的“教”、学生的“学”相结合的活动，有效教学是广大教师共同追求的目标。数学课堂要重视情境创设，重视学生的学习过程和学习方式，关注学生的学习情感，才能让课堂教学充满活力，才能实现真正的有效。 关键词：小学数学有效教学策略 教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是广大教师所共同追求的。有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都比较成功的教学行为，是教学的社会价值和个体价值的双重表现，“有效的课堂”是教师永恒的追求，而有效的小学数学课堂应注意以下几个方面。 1．重视情境创设的有效性 苏霍姆林斯基曾说：“如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传播知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度。而没有情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，学习就会成为学生的负担。”因此，精心创设情境是提高数学教学有效性的一项重要策略。实现情境创设的有效性，应注意以下几点： (1)情境创设应目的明确。教学中既要紧紧围绕教学目标创设情境，又要充分发挥情境的作用，及时引导学生从情境中运用数学语言提炼出数学问题。如果是问题情境，教师提出的问题则要具体、明确，有启发性，不能笼统地提出诸如“你发现了什么”等问题。 (2)情境创设应结合实际。情境的创设要遵循不同年龄儿童的心理特征、认知规律和生活经验而设计。对低年级的儿童，可以通过讲故事、做游戏、直观演示等形式创设情境，而对高年级的学生，则要多创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境。 (3)情境创设应彰显特色。教师创设的情境应具有一种时代气息，让学生学会关心社会，关心国家发展。如教学《百分数》时，教师可以创设“上海世博会”的情境：出示参展国家统计图，请学生根据统计图用百分数的知识来提出问题，解决问题。 2．重视学习过程的有效性 课堂教学的核心是调动全体学生主动参与到学习的全过程，因此，数学课堂必须由始至终地引导学生积极地参与到数学学习的全过程，做学习的主人。 (1)激发兴趣，产生参与动机。 兴趣是学生学习最好的动力！俄国教育家乌申斯基说过：“没有任何兴趣，被迫地进行学习会扼杀学生掌握知识的意愿。”因此，教师要千方百计地让学生对学习材料感兴趣。如，在教学《求未知数》时，我创设了“猜牌”游戏情境：第一次，我拿两张扑克牌，让学生
浅谈小学数学作业设计的有效性 【摘要】近年来，全国上下都实施了新课程理念，我们小学数学的课堂也与此发生了巨大的变化。在努力学习和践行有效备课与有效课堂的实践中，许多学校与老师给我们提供了丰富的案例。但我认为，在作业设计时，许多教师往往过多地依赖教科书，迷信于习题集，对作业的设计不再有别的思考和设计。所以，在设计作业时，能少一分形式，多一点实质，设计出真正适宜学生的有效作业，使其发挥最大作用，促进教学质量的全面提高。 【关键词】小学数学作业设计有效性 近年来，全国上下都实施了新课程理念，我们小学数学的课堂也与此发生了巨大的变化。在努力学习和践行有效备课与有效课堂的实践中，许多学校与老师给我们提供了丰富的案例。但我认为，在作业设计方面，许多教师往往过多地依赖教科书，迷信于习题集，对作业的设计不再有别的思考和设计。其实数学作业是课堂教学的复习与巩固，也是课堂教学的拓展延伸及补充，是学生学习数学、发展思维的一项经常性的实践活动，也是检验学生独立完成学习任务的主要形式或手段。若我们的作业设计不科学，不仅加重了学生的课业负担，而且制约了学习的灵活性、创造性，是一种慢性扼杀学生学习积极性的变相手段。如何以新课标为依据，设计一种既新颖有趣，又开放灵活的新型作业题，提高学生的学习兴趣和自主能力，应引起我们教数学的老师的高度重视。经几年的教学实践，我认为小学数学的作业设计应遵循以下几点原则。
一、让趣味性的作业，调节学习的心情 在小学生的眼里，那些形象、新颖、生动、灵活多变的事物往往更容易引起他们自主学习的兴趣和积极性，促使他们的思维始终处于积极状态，产生一种较为强烈的求知欲，使其进入最佳学习状态。根据这一规律，我们在设计作业时，就应该多设计一些具有童趣性和亲近性的作业题，以激发小学生的学习兴趣和积极性，使学他们成为一个又一个积极向上的乐学者，成为一个又一个时代最欣赏的学习型学生。 二、用实用性的作业，还原数学的本质 《课程标准》强调指出：数学学习应从学生己有的生活经验和知识出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。小学数学课本的编排也极力贴近生活，寓于生活，用于生活。我本着这一目的，在作业的设计方面，我们应把数学作业与学生的生活实际相结合，经常给学生布置一些与学生生活息息相关的作业题，这样做既可以培养学生用数学知识解决现实问题的能力，又可以让学生所学的知识得到应用拓展与延伸。例如，在学习完“纳税和利息”这节知识后，我让学习设计一个表格，到当地信用社或邮政银行，把当时的利率表抄下来。设定一个情节，给你们10000元，你们自己决定存多长时间，请计算一下，到期后可得到多少元利息？同学们兴趣来潮，参与参与学习中，热情可高涨，积极完成了这项作业。 三、设计探究性作业，开拓创新的空间 新课程倡导学生积极探究，获取信息，创新知识，培养分析、解决问题的能力。长期以来，人们往往把作业的功能定位于“知识的巩固”
数学是自然科学最基础的学科，是中小学教育必不可少的的基础学科，对发展学生智力，培养学生能力，特别是在培养人的思维方面，具有其它任何一门学科都无法替代的特殊功能。我们研究中学生数学学习的心理障碍与消除的目的是：（1）便于对数学教学活动进行较为全面系统的回顾和反思，以总结经验，找准问题，发扬成绩，纠正错误；（2）把握中学生学习数学的心理状态，加强教学活动的针对性，提高数学课程教学的质量和效益；（3）试图探讨影响数学教学质量的因素及与素质教育相悖的有关问题，使数学学科价值能够在教育过程中得到充分展现和有效发挥，更好地为实施“科教兴国”战略和现代化建设服务。 一、中学生数学学习的有哪些心理障碍 中学生数学学习的心理障碍，是指影响、制约、阻碍中学生积极主动和持久有效地学习数学知识、训练创造性思维、发展智力、培养数学自学能力和自学习惯的一种心理状态，也即是中学生在数学学习过程中因“困惑”、“曲解”或“误会”而产生的一种消极心理现象。其主要表现有以下几个方面： 1、依赖心理数学教学中，学生普遍对教师存有依赖心理，缺乏学习的主动钻研和创造精神。一是期望教师对数学问题进行归纳概括并分门别类地一一讲述，突出重点难点和关键；二是期望教师提供详尽的解题示范，习惯于一步一步地模仿硬套。事实上，我们大多数数学教师也乐于此道，课前不布置学生预习教材，上课不要求学生阅读教材，课后也不布置学生复习教材，习惯于一块黑板、一道例题和演算几道练习题。长此以往，学生的钻研精神被压抑，创造潜能遭扼杀，学习的积极性和主动性逐渐丧失。在这种情况下，学生就不可能产生“学习的高峰体验”——高涨的激励情绪，也不可能在“学习中意识和感觉到自己的智慧力量，体验到创造的乐趣”。 2、急躁心理急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错。一是未弄清题意，未认真读题、审题，没弄清哪些是已知条件，哪些是未知条件，哪些是直接条件，哪些是间接条件，需要回答什么问题等；二是未进行条件选择，没对问题所需要的材料进行对比、筛选，就急于猜解题方案和盲目尝试解题；三是被题设假象蒙蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括“该数学问题解题方案是否正确？是否最佳？是否可找出另外的方案？该方案有什么独到之处？能否推广和做到智能迁移等等”。 3、定势心理定势心理即人们分析问题、思考问题的思维定势。在较长时期的数学教学过程中，在教师习惯性教学程序影响下，学生形成一个比较稳固的习惯性思考和解答数学问题的思维格式和惯性。虽然这种解决数学问题的思维格式和思维惯性是数学知识的积累和解题经验、技能的汇聚，它有利于学生按照一定的程序思考数学问题，比较顺利地求得同类数学问题的最终答案，但另一方面这种定势思维的深化和习惯性增长又带来许多负面影响，使学生的思维向固定模式方面发展，解题适应能力提高缓慢，分析问题和解决问题的能力得不到应有的提高。 4、偏重结论偏重数学结论而忽视数学过程，这是数学教学过程中长期存在的问题。从学生方面来讲，同学间的相互交流也仅是对答案，比分数，很少见同学间有对数学问题程的深层次讨论和对解题方法的创造性研究。至于思维变式、问题变式更难见有涉及。从教师方面来讲，也存在自觉不自觉地忽视数学问题的解决过程，忽视结论的形成过程，忽视解题方
数学课堂教学有效性浅谈 当前，课堂教学更加注重学生的全面发展，重视学生的个性发展，倡导建立具有“主动参与、乐于探究、交流与合作”为特征的学习方式。课堂是一个教学互动、师生共同发展的成长历程。因此，在新形势下加强数学课堂教学的有效性探讨势必成为每一位教师共同面临的课题。去年，我在“二期学科带头人”培训期间，充分感受了国内外专家、学者全新的课改新理念，他们非常注重课堂教学的有效性研究。他们以为教师要“加强备课—课堂教学—教后反思”；学生要“认真参与教学活动—复习后完成作业—预习新课”。下面我就简单和大家共同来分享、分享 一加强课前预习的指导，为课堂教学做好充分的准备。 做作业的效果和效率怎么样，取决于听课的效果；而听课的效果怎么样，取决于课前的预习。一项调查显示：在小学生中，经常预习的学生的数学平均成绩要高于不做预习的学生的成绩，而且差异是显著的。另一项调查显示：认为预习是好习惯的学生占95%以上，但不能坚持预习的学生也有95%。桑代克的效果律指出：如果没有从一件事情中深刻体验到好处的话，这种事情就会得不到强化和巩固。所以我们经常帮助学生了解预习的方法、意义，并且规范地开展预习工作，使预习成为学生学习的习惯，促进学习成绩的提高，巩固和持续预习的行为。数学课预习的必要性与重要性是：通过预习，在听课时就有所选择，可以克服盲目被动。预习的主要目的是对将要讲授的内容有一个初步的学习和理解，了解自己在什么地方存在疑难问题，了解新课的重点和难点，以便自己在听课的时候更有针对性，从而把一个被动的接受教学的过程转化成一个主动的求知过程。会听课的学生应该是有准备的、有疑问的、有目的的，是注意力“很会”集中的那种人。下面是开展预习工作的两点体会。
《小学数学课内练习设计有效性的研究》中期报告 李河小学陈小花 一、课题简介 （一）课题由来 通过在不同年级、不同班级的调查，可以发现目前学生作业的负担还比较重，教师布置的作业相对比较单一，不太注重学生的感受，不利于学生数学素养的提高，大多数学生没有把完成数学作业当作一种乐趣！目前的小学数学作业设计有效性的研究关注的是教师层面，对学生层面和管理层面涉及的很少。现实教学中，在作业设计方面主要存在以下问题：1、层次性不够。部分教师所布置的作业时，往往要求学生在一定的时间内完成同一的内容，期望达到同一的目标，忽视了学生的个性特点，导致好学生吃不饱，后进生吃不了。2、形式不够多样。一般以课本习题为主、以计算和解决实际问题为主，而对于操作性的、表述性的涉及较少。3、内容不够丰富。一般以巩固知识、技能为主，而对于过程性的、思想性的重视不够。4、主体性突出不够。在作业的设计上教师说了算，忽略了学生的主导性，不利于调动学生主动作业的积极性。5、作业评价不到位。大多数老师采用等级制，与以往陈旧的分数没有多大的区别，在“赏识性评价”、“多元性评价”、“延迟性评价”方面有待研究。基于以上的认识，我们提出了“提高小学数学作业设计有效性的研究”。 （二）核心概念的界定 作业：《教育大辞典》把完成学习任务的作业分为课堂作业和课外作业两大类。课堂作业是教师在上课时布置学生当堂进行操练的各种练习，课外作业是学生在课外时间独立进行的学习活动。 有效性：一方面是指依据“因材施教”的原则实施的“因材而练”、尽量适合学生个性特征的、最利于学生发展的作业设计；另一方面作业设计得再好，没有相匹配的评价方式也不行，因此有效性还应包含促进学生发展的作业评价方式。
数学与其他科学 太阳系中的行星之一——海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年发现了天王星后，观察它的运行轨道，总是和预测的结果有相当的差距。是万有引力定律不正确呢？还是有其它原因呢？有人怀疑在它的周围有另一颗行星存在，影响了它的运行轨道。1844年英国的亚当斯（1819——1892）利用万有引力定律和对天王星观察的数据，推算这颗未知的行星的轨道，花了很长时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天空的方位。亚当斯于1845年9月——10月把它的结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是，查理士和艾里迷信权威，把他的结果束之高阁，不予理睬。1845年法国一个青年天文学家、数学家勒维烈（1811——1877）经过一年多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒（1812——1910）。信中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶座，就是经度三百二十六度的地方，那时你将在那个地方一度之内，见到一颗九等亮度的星”。加勒按勒维烈所指的方位进行了观察，果然在离指出的位置相差不到一度的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心说的胜利，也是数学的伟大胜利。 这样的例子还很多。如1801年谷神星的发现，意大利天文学家皮亚齐（1746——1826）只记下了这颗小行星沿9度弧的运动，这颗星就又躲藏了起来，皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。德国二十四岁的高斯根据观察的数据进行了计算，求得了这颗小行星的轨道。天文学家在这一年的十二月七日在高斯预先指出的地方又重新发现了谷神星。 已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛地运用了现代数学。我们在这里先讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用。在19世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个关于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一个关于位移电流的方程。对于这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出发，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现在可以通过收音机、电视机接收的频率以及X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光是一种电磁现象。尤为值得注意的是我们对什么是电磁波并无丝毫的物理认识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创造了收音机和电视机的奇迹。 同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力场，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点像水波不断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理本质一无所知，它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、物体的运动，以及现在很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导数描述为消失的量的鬼魂，现代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的公式表示这些在现实中没有明显对应物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果，我们可以得到结论，而当我们用物理术语恰当地解释这些结论时，它们又可以用感性知觉来校验。 赫兹(Heinrich Hertz) 这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于电磁波能在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我们无一例外地感受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧超过我们，甚至超过那些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多得多”。 1930年英国物理学家荻拉克，利用数学推理及计算预言存在正电子。1932年美国物理学家安德逊在试验中证实了这一点。 20世纪最大的科学成就莫过于爱因斯坦的狭义和广义相对论了，但是如果没有黎曼于1854年发明的黎曼几何，以及凯莱，西勒维斯特和诺特等数学家发展的不变量理论，爱因斯坦的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述。爱因斯坦自己也不止一次地说过这一点。例如，1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但是为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花了3年的时间，最后，在数学家M·格拉斯曼的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具——以黎曼几何为基础的绝对微分学，也就是爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程，在该文中他说：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。他还说过“事实上，我是通过她（诺特）才能在这一领域内有所作为的。” 非欧几里德几何是从欧几里德时代起的几千年来，人们想要证明平行公理的企图中，也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。罗巴切夫斯基创立了这门新的几何学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指出它的现实意义，虽然他相信是会找到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多数人来说非但不是“想象的”，而且简直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫斯基的思想为几何学的新发展以及各种不同的非欧几里德空间的理论的建立打下了基础；后来这些思想成为广义相对论的基础之一，并且四维空间非欧几里德几何的一种形式成了广义相对论的数学工具。于是，至少看来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要的物理理论发展的有力工具。同样地，在原子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理论，比如，无限维空间的概念等等。 如果没有凯莱在1858年发展的矩阵数学及其后继者的进一步发展，海森伯和狄拉克就无法开创现代物理学量子力学方面的革命性工作。狄拉克甚至说，创建物理理论时，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信数学方案，甚至表面上看去，它与物理学并无联系。”