函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式
与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式，例
一次函数：y = kx b (k = 0)
二次函数：y = ax2 bx c (a = 0)
k
反比例函数：y=° (k=0)
x
正比例函数：y=kx (k=0)
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函
数叫做分段函数。
21 x € (―co 1 ] 1
例1、设函数f(X)=」’’，则满足f(X)=—的x的值
4
Jog8i x, x^(1,母)
为________________________ 。
解：当■ ■■■■ ,11时，由2"=-得，X=2，与x叮矛盾；
4
1
当x 1,=时，由log81 x 得，x=3。
4
x = 3
3、复合式
若y是u的函数，u又是x的函数，即y = f (u), u = g (x), x ? (a,b)，那么y关于x 的函数y = f lg(x)! x ? a,b叫做f和g的复合函数。
例2、已知f (x) = 2x 1,g(x) = x2 3，则f g(x) L __________ , g〔f (x)丨=
________________________________________________________________ 。
解：f 'g(x) -2g(x) 1 -2(x2 3) 1 =2x2 7
g f (x)f (x) F 3 = (2x 1)23 = 4x2 4x 4
二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出
系数。
例3、已知二次函数y二f(x)满足f(x—2)二f(_x—2),且图象在y轴上的截距为1, 被x轴截得的线段长为2，求函数y二f(X)的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：
2
①一般式：f(x) =ax bx c (a = 0)
②顶点式：f (x) = a(x h)2 k其中a=0,点h, k为函数的顶点
③双根式：f (x) = a(x-xj(x-x2)其中a = 0凶与x2是方程f(x)=0的两根解法1 ：设f
(x) = ax2 bx c (a = 0)，贝U
由y轴上的截距为1知：f(0) =1，即c=l ①
2
f (x) = ax bx 1
由f(x-2) =f(-x -2)知：a(x-2)2 b(x - 2) 仁a(-x-2)2 b(-x - 2) 1
整理得：(4a-b)x = 0, 即: 4a-b = 0 ②
由被x轴截得的线段长为22知，|洛- x2卜22 ,
即(捲 - x2)2 = (x「x2)2 - 4为x2 = 8. 得：(-与-4丄
a a
整理得：b2-4a=8a2③
1 1 2
由②③得： a ,b=2, f (x) x 2x 1 .
2 2
解法2 :由f(x-2) = f (-x-2)知：二次函数对称轴为x = -2 ,所以设
f(x)=a(x 2)2 k (a=0)；以下从略。
解法3：由f(x-2) = f(-x-2)知：二次函数对称轴为x =「2 ;由被x轴截得的线段长为2 2 知，|為-x2 | = 2、2 ；
易知函数与x轴的两交点为'-2 --2,0 ^-2'.2,0 ,所以设
f (x) =a(x 22)(x 2 - ；2) (a = 0)，以下从略。
2、换元法
1 1 例4、已知：f(1 ? ) =
2 -1，求f(X)。
X X
1 1
解：设t =1 ，则t -1 , X ，代入已知得
X t —1
1 2 2
f(t) —y -仁(t-1)2-仁t2—2t
丄
t-1
f (x) = x2 -2X (x 1)
注意：使用换元法要注意t的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
1 21 例5、已知：f (x ) = x
2 ,求f (x)。
X X
1 2 1 1 2
解：f (x _) =x2p = (X _)2 _2
XXX
f (x)二x2-2 (x 丄2或x - -2)
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；
2 、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
4、赋值(式)法
例6、已知函数f (x)对于一切实数x, y都有f (x ? y) - f (y) = (x ? 2y - 1)x成立，且f(1) =0。
(1)求f (0)的值；
(2)求f (X)的解析式。
解：(1)取x =1, y =0，则有
f (1 一0) - f (0) =(1 0 1)1
=f(0) = f (1) -2 = 0-2 = -2
(2)取y =0，则有f (x -0) - f (0) =(x 0 1)x.
整理得：f(x) =x2 x 2
5、方程法
(1 )
例7、已知：2f(x) + f — | = 3x, (x 式0)，求f (x)。
IX丿
■Z1、一丨=3x, ①
ix丿
解：已知：2f (x) f
1 1 3
用丄去代换①中的x得：2f (-) f (x^ 3②
x x x
1 由①x
2 —②得:f(x)=2x- (x=0).
x
跟踪练习
2-^ -1, x 兰0
1、设函数f(x)=」1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
x2 , X A 0
A. -1,1 B . 一1,订匕「| C .：；：-匚亠一2]. |Q；4]；D .：；：-匚1,_1 ]. [1, ?::
[2x +3, x 兰0
2、函数讨二x 3, 0 ：：：x _ 1的最大值是 _______ 。
—x +5, x >1
3、已知:f (x 1) = x2 2x，求f (x)。
4、已知：f (x)为二次函数，且f (x ? 1) ? f (x「1) = 2x2「4x，求f (x) o
2 2
参考答案：1、D 2 、4 3 、x -1 4 、X2-2x -1