Fourier 变换 积 分 变 换 变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减： ,lg lg )lg(b a ab += b a b a lg lg lg -=． 再取反对数变换复原． 积分变换B A T → :， dt t K t f F f T b a ?==) ,()()()(αα， A t f ∈)(——象原函数， B F ∈)(α——象函数， ) ,(αt K ——核． 它实现了从函数类A 到函数类B 的变换．在一定条件下可逆． 积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用：a ．求解线性微分方程(组)； b ．信号处理． 第一章 Fourier 变 换 §1.1 Four ier 积 分 设)(t f T 为周期函数且以Ｔ为周期，在 ]2T ,2 [T - 满足Dirichlet 收敛条件，即： 01 连续或只有有限个第一类间断点； 02 只有有限个极值点． 则在]2 T ,2 [T - 的连续点t 处，有) sin b t cosn (a 2)(1 n n 0 ∑ +∞ =++= n T t n a t f ωω 其中 T π ω2=，2T ,2==l T l ， ??? ???? ====??--2222) 3, 2, 1,(n , sin )(2) 3, 2, 1, 0,(n , cos )(2T T T n T T T n tdt n t f T b tdt n t f T a ωω 利用Euler 公式，转化成复数形式： )(2 1cos ?? ?j j e e -+= ，)(21sin ???j j e e j --=， ∑+∞=-?? ? ???++-+=1 t n j n t n j n 0e 2a e 2a 2)(n n n T jb jb a t f ωω (1) 记 ???? ?? ??? ==+==??????-=-===?????-------22 22 22222200,)(12,)(1 sin )( cos )(12 ,)(12T T t n j T n n n n T T t n j T T T T T T T n n n T T T dt e t f T c jb a c dt e t f T tdt n t f j tdt n t f T jb a c dt t f T a c ωωωω
第一章 傅里叶变换 1.1 傅里叶变换 傅里叶（Fourier ）变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。1777年以前，人们普遍采用多项式函数P (x )来对信号f (x )进行表征：∑-== ≈1 )()(N n n n x a x P x f 。1777年，数学家Euler 在研究天文学时发现某些函 数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f (x )可以表示为系列三角函数之和，即 ]sin cos [2 )(1 0∑+∞ =++ ≈k k k kx b kx a a x f （1.1） 其中2π01()cos d πk a f x kx x = ?，2π 01()sin d π k b f x kx x =?。 表达式（1.1）可以理解为信号f (x )是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中 a k ， b k 为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。 显然，当信号具有对称性（偶）特征时， b k =0，01 ()cos 2k k a f x a kx +∞ =≈+∑ 而当信号具有反对称性（奇）特征时， a k =0，∑+∞ =+≈10sin 2 )(k k kx b a x f 在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f (x )的傅里叶变换定义为： i ?()()e d ,i x f f x x ??-==? R （1.2） 傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。 随着计算机技术的发展与完善，科学与工程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。为了通过离散化来采样信息以及有效地利用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT ）的概念。 为简单计，设f (x )为[-π,π]上的有限信号，则f (x )的傅里叶变换可简化为： π i π ?()()e d x f f x x ??--=? 再假设采用等间距采样，其采样点数为N ，输入时域信号为f k ，要求输出频率信号为k f ?。为了利用采样点f k 得到尽可能符合式（1.2）的输出值k f ?，DFT 的思想是根据f k 拟合出f (x )
深入浅出的讲解傅里叶变换 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、嘛叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？
傅里叶变换 一、嘛叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？ 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。 是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。 现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。 将以上两图简化： 时域：
频域： 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。 所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~） 以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~） 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 （众人：鸡汤文请滚开！） 抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。 而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。 二、傅里叶级数(Fourier Series) 还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，
积分变换练习题 第一章 Fourier 变换 ________系 _______专业 班级 姓名 ______ ____ 学号 _______ § 1 Fourier 积分 § 2 Fourier 变换 一、选择题 1．设 f (t ) (t t 0 ) ，则 F [ f (t)] [] （A ） 1 （B ） 2 （ C ） e j t （ D ） e j t 0 F [ f ( t)] ( t t 0 )e i t dt e i t e i t 0 t t 0 二、填空题 1．设 a 0 ， f (t) e at , t 0 ，则函数 f (t) 的 Fourier 积分表达式为 e at , t 2a cos t dt 0 a 2 2 F ( ) [ f (t )] f (t )e i t dt = e at e i t dt e at e i t dt F R = lim e ( a i )t dt lim e (a i ) t dt R R R ( a i )t R ( a i )t 0 = lim e lim e 1 1 2 2a 2 ; R (a i ) 0 R a i R a i a i a F 1[F( )] 1 F ( )e i t d = 1 a 2 2a 2 (cos t i sin t)d 2 2 = 2a cos t d 0 a 2 2 1 2．设 F [ f (t)] ( ) ，则 f (t ) 2 F 1 [()] 1 ( )e i t d = 1 e i t 1 2 2 2 3．设 f (t) sin 2 t ，则 F [ f (t)] ( ) [ ( 2) ( 2)]
积分变换练习题 第一章 Fourier 变换 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ §1 Fourier 积分 §2 Fourier 变换 一、选择题 1．设0()()f t t t δ=-，则[()]f t =F [ ] （A ）1 （B ）2π （C ）0 j t e ω （D ）0 j t e ω- 00 0[()]()i t i t i t t t f t t t e dt e e ωωωδ∞ ---=-∞??=-== ??? ?F 二、填空题 1．设0a >，,0 (),0at at e t f t e t -?<=?>?，则函数()f t 的Fourier 积分表达式为 2202cos a t dt a ωπω ∞ +? 0 00()()00()()2201()[()]()==lim lim 112=lim lim ;()112[()]()=22i t at i t at i t R a i t a i t R R R R a i t a i t R R R i t F f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e a a i a i a i a i a F F e d ωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞-----∞-∞-+-→∞→∞--+-→∞→∞-∞--∞==+++=+=-+-+-+=??????F F 22220(cos sin )2cos =a t i t d a a t d a ωωωωωωπω∞-∞∞ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ? ?+?? ?? 2．设[()]()f t δω=F ，则()f t = 1 2π 1 1 11[()]()=222i t i t e d e ωωωδωδωωπ ππ∞ -=-∞ ? ?= = ?? ?? F 3．设2 ()sin f t t =，则[()]f t =F ()[(2)(2)]2 π πδωδωδω- ++-
第一章 信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？ 信号：随时间变化的物理量； 消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等 信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在t =0点时，不连续）， 单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。 较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？ 冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？ 单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=?
12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时， 输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。 其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。 线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？ 线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则 当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ； 或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。 另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。 假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ， 当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =； 当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+； 当0t <时，若()0h t =， 则此系统为因果系统； 若|()|h t dt ∞ -∞<∞?， 则此系统为稳定系统。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？ 数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。 不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换( Real DFT) 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong ）的精心编写。 [未*************************************************************************************************] 前言： 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大 都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”--dznlong ， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列？傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列？ 傅里叶变换(Fourier transform )是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下, 你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列？就是一种从时间到频率的变化或其相 互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科)
4) 傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉(Euler )公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们 承认满足狄里克莱(Dirichlet )条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数 f (t )，在［-T , T ］上满足狄里克莱条件：1o f (t )连续或只有 数。在连续点处 a n - jb n jn t a n + j b n - jn t 2e +2e 若令 T c 0 = 1 2 T f (t )dt 有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。 那么 f (t )在［-T , T ］上就可以展成傅里叶级 其中 2 = ， T 根据欧拉 Euler )公式： f (t )=a 0 + (a n cos n t +b sin n t )， 2 n =1 T a = 2 2 f (t ) cos n tdt , (n = 0,1,2, )， n T - T 2 T b n = 2 2 T f (t )sin n tdt , (n = 1,2,3, ) ， n T - T 2 1) 2) 3) e j = cos + j sin ，(1)式化为 f (t )=a 0 + 2 n =1 e jn t + e - jn t a an 2 jn t - jn t +b n e 2- j e = a 0 + 2 n =1
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /**************************************************** ***********************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************** **********************************************/
前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
傅里叶级数针对的是周期函数，傅里叶变换针对的是非周期函数，本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，都有相似的特性，因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法 1、傅里叶级数 在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。 2、傅里叶变换 对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。 3、离散时间傅里叶变换 傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。 对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。 4、离散傅里叶变换 对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。当然，关于DFT是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。有的认为进行DFT分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把DFT看做是对DTFT结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。在实际分析中，将DFT看做是对DTFT结果在频域的采样是合乎情理的。
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T - 上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 0)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2=， ),2,1,0(,cos )(222 ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222 ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ????++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=220)(1
Matlab傅里叶变换傅里叶逆变换 %% 信号经过傅里叶变换然后进行傅里叶逆变换后信号的变化 clear all;clc; %------Author&Date------ %Author: %Date: 2013/07/31 %============================================================= ============= Fs=8e3; %采样率 t=0:1/Fs:1; %采样点 len=length(t); %采样长度 f1=10; %频率1 f2=100; %频率2 f3=1000; %频率3 A1=1; %幅度1 A2=0.8; %幅度2 A3=0.3; %幅度3 MaxS=A1+A2+A3; %信号幅度的最大值 signal=A1*sin(2*pi*f1*t)+A2*sin(2*pi*f2*t)+A3*sin(2*pi*f3*t); X=fft(signal,len); %傅里叶变换 magX=abs(X); %信号的幅度 angX=angle(X); %信号的相位 Y=magX.*exp(1i*angX); %信号的频域表示 y=ifft(Y,len); %信号进行傅里叶逆变换 y=real(y); er=signal-y; %原始信号和还原信号的误差 subplot(311);plot(t,signal);axis([0 1 -MaxS MaxS]);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('原始信号'); subplot(312);plot(t,y);axis([0 1 -MaxS MaxS]);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('还原信号'); subplot(313);plot(t,er);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('误差'); % End Script