二次根式的知识点汇总
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，
等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二
次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：
因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的
算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时
应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也
可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于
a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即
；
2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平
方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，
而.
知识点七：二次根式的运算
（1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab a b（a≥0，b≥0）；b b
a a
a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
《二次根式》练习题（一）
一、选择题（共12分）
1．在根式15、
22b -a 1b a -、3ab 、631、b a a
221
中，
最简二次根式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．在二次根式32，-256，6
1
1，4951和232中，与6是同类根式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．在下列各式中，等号不成立的是（ ）
A ．
a
-1＝-
a
a
B ．2x y ＝y 4x 2(x ＞0)
C ．32a -＝a 2a -
D ．(x+2xy +y)÷(x +y )＝x +y
4．在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）
①3a ＝a a ②5x x -x ＝4x x ③6a
2b
a
＝ab 2b 3a ④24+
61＝106 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知二条线段的长分别为2cm 、3cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三
条线段的长是（ ）
A ．1cm
B ．5cm
C ．5cm
D ．1cm 或
5cm
6．已知a ＜0，化简：
a
a a 22+的结果是 （ ）
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2a
二、填空题（每题2分，共20分）
7．52-的绝对值是__________，它的倒数__________ 8．当x ___________时，x
311
--
是二次根式． 9．当x ______时，52+x 有意义，若
x
x
-2有意义，则x ______。
10．当m >n 时，2
)(m n -＝______，当a _______时，3
132-=a a 11．化简=?04.0225_________，=-22108117_________。 12．计算：=?b a 10253___________．
13．若最简二次根式1522+x 与－172-x 是同类二次根式，则x =______。 14．把根式a
a 1
-
根号外的a 移到根号，得___________。 15．二次根式x 33-与ax 2的和是一个．．
二次根式，则正整数a 的最小值为 ；其和为 。 16．观察下列各式：322322+=?
；833833+=?；15
4
41544+=?；……则依次第四个式子是 ；用)2(≥n n 的等式表达你所观察得到的规律应是 。
三、解答题（共68分）
17．（5分）计算：
b
a b ab
a a --
-
18．（5分）计算：
)4838
14122(22-+ 19．（5分）解方程：3548015+=+x x 20．（5分）解不等式：)1(6)3(2+≥-x x
21．（5分）已知：2420-=x ，求22
1x
x +的值． 22．（5分）化简并求值
a a a a a a a -+---+-2
2212121 其中3
21
+=a 23．（5分）已知实数a 满足|2003－a |+a －2004 =a ，则a －20032的值是多少？ 24．（5分）已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1；
（2）若3=+b a ，则ab ≤
2
3； （3）若6=+b a ，则ab ≤3；
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤ 。 25．（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。
已知m 为实数，化简：m
m m 13-
--- 解：原式＝m m
m m m -?
---1
＝()m m ---1
26．（6分）如图，ABC ?中，∠=∠Rt ACB ，2,8==
BC AB ，求斜边AB 上
的高CD ．
27．（8分）观察下列等式：①
12)
12)(12(121
21-=-+-=
+；
②
23)
23)(23(2
3231-=-+-=
+；③34)
34)(34(3
43
41-=-+-=
+；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
11321+
（2）计算：
10
31 (2)
313
212
11++
+++++
+
28．（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡
坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长。
A
C
B
E D F
《二次根式》练习题（二）一、选择题
1、如果－3
x+5是二次根式，则x的取值围是（）
A、x≠－5
B、x>－5
C、x<－5
D、x≤－5
2、等式x2－1 =x+1 ·x－1 成立的条件是（）
A、x>1
B、x<－1
C、x≥1
D、x≤－1
3、已知a=
1
5 －2
,b=
1
5 +2
，则a2+b2+7 的值为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
4、下列二次根式中，x的取值围是x≥2的是（）
A、2－x
B、x+2
C、x－2
D、
1 x－2
5、在下列根式中，不是最简二次根式的是（）
A、a2 +1
B、2x+1
C、2b
4D、0.1y
6、下面的等式总能成立的是（）
A、a2=a
B、a a2=a2
C、 a · b =ab
D、ab = a · b
7、m为实数，则m2+4m+5 的值一定是（）
A、整数
B、正整数
C、正数
D、负数
8、已知xy>0,化简二次根式x－y
x2的正确结果为（）
A、y
B、－y
C、－y
D、－－y
9、若代数式(2－a)2+(a－4)2的值是常数2，则a的取值围是（）
A、a≥4
B、a≤2
C、2≤a≤4
D、a=2或a=4
10、下列根式不能与48 合并的是（）
A 、0.12
B 、18
C 、
11
3
D 、－75 11、如果最简根式3a －8 与17－2a 是同类二次根式，那么使4a －2x 有意义的x 的围是（ ）
A 、x ≤10
B 、x ≥10
C 、x<10
D 、x>10 12、若实数x 、y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0,则
x +y
3y －2x 的值是（ ）
A 、1
B 、3
2 + 2 C 、3+2 2 D 、3－2 2
二、填空题 1、要使
x －1
3－x
有意义，则x 的取值围是 。 2、若a+4 +a+2b －2 =0，则ab= 。
3、若1－a 2 与a 2－1 都是二次根式，那么1－a 2 +a 2－1 = 。
4、若y=1－2x +2x －1 +(x －1)2 ，则(x+y)2003= 。
5、若 2 x>1+ 3 x ，化简(x+2)2 －
3
(x+3)3 = 。
6、若(a+1)2 =(a －1)2 ，则a= .
7、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 －13
8、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 9、已知
223
=223
,338
=338
,44
15
=44
15
,…请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来： .
10、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1
b = 。
11、已知x =
1a
－ a ，则4x+x 2 = 。
12、已知a=3－ 5 －3+ 5 ，则化简a 得 . 三、计算与化简
1、( 3 + 2 )－1+(－2)2 +
3
－8 2、
1
3 +1 + 1
5 － 3 +15 +3