第三章习题及答案
3-1.假设温度计可用传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?
解：
2.已知某系统的微分方程为，初始条件，试求：
⑴系统的零输入响应y x(t)；
⑵激励f(t) (t)时，系统的零状态响应y f(t)和全响应y(t)；
⑶激励f(t) e 3t (t)时，系统的零状态响应y f(t)和全响应y(t)。
解：(1)算子方程为：
3.已知某系统的微分方程为，当激励=时，系统的全响应。试求零输入响应y x(t)与零状态响应y f(t)、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。
解：
4.设系统特征方程为：。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=6，a2=12，a1=10，a0=3均大于零，且有
所以，此系统是稳定的。
5.试确定下图所示系统的稳定性.
解：
系统稳定。
满足必要条件，故系统稳定。
6.已知单位反馈系统的开环传递函数为，试求系统稳定时，参数和的取值关系。
解：
由Routh表第一列系数大于0得，即
7.设单位反馈系统的开环传递函数为，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。
解：系统特征方程为
要使系统特征根实部小于，可以把原虚轴向左平移一个单位，令，即
，代入原特征方程并整理得
运用劳斯判据，最后得
8.设系统的闭环传递函数为，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn的值。
解：∵=9.6%
∴ξ=0.6
∵t p=＝0.2
∴ωn=19.6rad/s
9.设单位负反馈系统的开环传递函数为
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn；
（2）系统的峰值时间t p、超调量σ％、调整时间t S(△=0.02)；
解：系统闭环传递函数
与标准形式对比，可知，
故，
又
10.一阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益，调节时间s，试确定参数的值。
解由结构图写出闭环系统传递函数
令闭环增益，得：
令调节时间，得：。
11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：近似描述，其中，。试证系统的动态性能指标为：；；
解设单位阶跃输入
当初始条件为0时有：
1)当时
;
2)求（即从到所需时间)
当;
当;
则
3)求
12.已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）=0
Routh：S51211
S42410
S3
S210
S
S010
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）=0
Routh：S511232
S432448
S30
S248
S0辅助方程,
S24辅助方程求导：
S048
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根。（3）
Routh：S510-1
S420-2辅助方程
S380辅助方程求导
S2-2
S
S0-2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程可解出：（4）
Routh：S5124-25
S4248-50辅助方程
S3896辅助方程求导
S224-50
S338/3
S0-50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程可解出：
13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为、和时系统的稳态误差。
⑴
⑵
解：⑴
经判断系统稳定
⑵
经判断：系统不稳定。
14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
求：(1)试确定系统的型次v和开环增益K；
（2）试求输入为时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
可见，v＝1，这是一个I型系统
开环增益K＝50；
（2）讨论输入信号，，即A＝1，B＝3