简谐运动及其图象
一、选择题
1．弹簧上端固定在O点，下端连结一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，下列说法正确的是（）．
A．球的最低点为平衡位置
B．弹簧原长时的位置为平衡位置
C．球速为零的位置为平衡位置
D．球原来静止的位置为平衡位置
2．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是（）．
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
3．如图所示为质点P在0～4 s内的振动图像，下列叙述正确的是（）．
A．再过1 s，该质点的位移是正的最大值
B．再过1 s，该质点回到平衡位置
C．再过1 s，该质点的速度方向向上
D．再过1 s，该质点的速度方向向下
4．一水平弹簧振子的振动周期是0.025 s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过0.17 s时，振子的运动情况是（）．
A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动
C ．正在向左做减速运动
D ．正在向左做加速运动
5．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T ，振幅为A ，设振子第一次从平衡位置运动到2
A
x =处所经最短时间为t 1，第一次从最大正位移处运动到2
A
x =处所经最短时间为t2（如图）．关于t 1与t 2，以下说法正确的是（ ）．
A ．t 1=t 2
B ．t 1＜t 2
C ．t 1＞t 2
D ．无法判断
6．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（ ）． A ．3
810sin(4)m 2x t π
π-=?+
B ．3810sin(4)m 2
x t π
π-=?-
C ．13810sin()m 2x t ππ-=?+
D ．1810sin()m 42
x t ππ-=?+
7．一弹簧振子在振动过程中，振子经a 、b 两点的速度相同，若它从a 到b 历时0.2 s ，从b 再回到a 的最短时间为0.4 s ，则振子的振动频率为（ ）． A ．1 Hz B ．1.25 Hz C ．2 Hz D ．2.5 Hz
8．一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，如图所示，若从O 点开始计时，经过3 s 质点第一次经过M 点，再继续运动，又经过2 s 它第二次经过M 点，则该质点第三次经过M 点还需的时间是（ ）．
A ．8 s
B ．4 s
C ．14 s
D ．10
s 3
9．如图（a ）是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N 被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO ＇代表时间轴．如图（b ）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线．若板N 1和板N 2的速度v 1和v 2的关系为v 2=2v 1．当两板匀速拉出的距离相同时，则板N 1、N 2上曲线所代表的振动的周期T 1和T 2的关系为（ ）．
A ．T 2=T 1
B ．T 2=2T 1
C ．T 2=4T 1
D ．T 2=
14
T 1
10．弹簧振子在t1时刻速度为v，t2时刻速度也为v，且方向相同，已知（t2－t1）小于周期T，则（t2－t1）（t≠0）（）．
A．可能大于四分之一周期 B．可能小于四分之一周期
C．一定小于二分之一周期 D．可能等于二分之一周期
二、填空题
11．分析如图所示的弹簧振子在一次振动中的运动情况，填好下表．
振子的运动A→O O→A＇A＇→O O→A 位移的方向、大小
速度的方向、大小
三、解答题
12．如图甲所示的频闪照片中，取小球在中心位置O（平衡位置）时为t=0，此时小球向右运动，设水平向右的位移为正，每次曝光的时间间隔为Δt．请你用图中刻度尺测量小球在不同时刻的位移（刻度尺最小刻度为mm），记录在你设计的表格中，根据记录的数据在图乙所示的坐标平面上描绘出振子做简谐运动的位移一时间图像．
13．如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图中的信息，回答下列问题．
（1）质点离开平衡位置的最大位移是多少？
（2）在1．5 s和2．5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
（3）质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？
14．甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况．
（1）甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图（a）中画出甲观察到的弹簧振子的振动图像．已知经过1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为5 cm（设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5 s）．
（2）乙在甲观察3.5 s后，开始观察并记录时间，试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像．画在图（b）上．
15．如图所示为A、B两个简谐运动的位移一时间图像．
请根据图像写出：
（1）A、B两个简谐运动的振幅及周期分别是多少？
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
（3）在时间t=0.05 s时两质点的位移分别是多少？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】平衡位置是振动系统不振动时，振子处于平衡状态时所处的位置，故D项正确．
2．【答案】A
【解析】简谐运动位移是以平衡位置为初始位置的，P→Q的过程位移在增大，速度在减小，故A 项正确，B项错误；由M→N速度先增大后减小，故C项错误；M→N位移先减小后增大，故D项错误．3．【答案】A
4．【答案】B
【解析】0.17 s=6.8T，振予经6T，回到原位置，只考虑0.8T时的位置，此时振子在平衡位置左侧，正向平衡位置做加速运动．故B选项正确．
5．【答案】B
【解析】从0到2A 过程振子的平均速度大，从A 到2
A
过程振子的平均速度小，所以t 1＜t 2． 6．【答案】A
【解析】A=0.8×10－2
m ；T=0.5 s ；24T
π
ωπ=
=；初时刻具有负方向的最大加速度，即初相位2
π
?=
，则3
810sin 4m 2x t ππ-??
=??+
??
?
． 7．【答案】B
【解析】振子经a 、b 两点的速度相同，根据振子做周期性运动的特点可知，a 、b 两点是关于平衡位置O （如图所示）对称的．
又由从b 回到a 的最短时间为0.4 s 知，振子振动到b 点后是第一次回到a 点，且a 、b 两点不是振子的最大位移．设图中c 、d 为最大位移处，则振子b→c→b 历时0.2 s ．同理振子由a→d→a 也应历时0.2 s ，故振予的振动周期应为0.8 s ，由周期和频率关系不难确定频率为1.25 Hz ，故选B ．
8．【答案】C 、D 【解析】设题图中a 、b 两点为质点振动过程中最大位移处，若开始计时时质点从O 点向右运动．从O 到M 过程历时3 s ．再M→b→M 的过程历时2 s ，则有
4s 4
T
=，即T=16 s ．质点第三次经过M 点还需时间为Δt=16 s－2 s=14 s ，故C 正确．
若开始计时时质点从O 点向左运动，则O→a→O→M 运动经历3 s ，从M→b→M 历时2 s ，显然
4s 24T T +=得16s 3T =，质点第3次再经过M 点还需时间1610
s 2s s 33
t ?=-=，故D 正确． 9．【答案】D
【解析】因N 2板和N 1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比
12
21
2t v t v ==．
在这段距离内N 1板上方的摆只完成一个全振动，N 2板上方的摆已完成两个全振动，即t 1=T 1，t 2=2T 2． 故211
4
T T =
，D 项正确。 10．【答案】A 、B
【解析】如图所示弹簧振子在AA ＇间做简谐运动，O 为平衡位置，C 、C ＇分别是OA 和OA ＇间的以O 对称的两位置，根据对称性，从C→O→C＇过程中，C 、C ＇两位置均有向右的速度v ． 若C 对应t 1时刻，C ＇对应t 2时刻，则t 2－t 1=nT+Δt（n=0，1，2，3，…）．
其中Δt 为t 2－t 1的最小值，对应的运动过程是C→O→C＇，由图所示：02
T
t
4
T ，
也可大于14
T ，故A 、B 正确．
若C ＇对应t 1时刻，C 对应t 2时刻，则t 2－t 1=nT+Δt＇（n=0，1，2，3，…），其中Δt＇为t 2－t 1的最小值，对应的运动过程是：C ＇→A＇→C＇→O→C→A→C，由图可知：'2T t T
T
t t T <-<，所以C 、D 不正确．
二、填空题
11．【答案】见解析 振子的运动 A→O O→A ＇ A ＇→O O→A 位移的方向、大小 方向：向右 大小：减小 方向：向左 大小：增大 方向：向左 大小：减小 方向：向右 大小：增大 速度的方向、大小
方向：向左 大小：增大
方向：向左 大小：减小
方向：向右 大小：增大
方向：向右 大小：减小
三、解答题
12．【答案】见解析
时间 0 Δt 2Δt 3Δt 4Δt 5Δt 6Δt 位移／cm 0 1.2 2.3 3.2 4.0 4.5 4.0 时间 7Δt 8Δt 9Δt 10Δt 11Δt 12Δt 13Δt 位移／cm 3.2 2.3 1.2 0 －1.2 －2.3 －3.2 时间 14Δt 15Δt 16Δ 17Δt 18Δt 19Δt 20Δt 位移／cm －4.0
－4.5
－4.0
－3.2
－2.3
－1.2
图像如图所示．
13．【答案】（1）10 cm ． （2）1.5 s 向着平衡位置运动，2.5 s 背离平衡位置运动． （3）0． （4）40 cm ．
【解析】由题中图像上的信息可知，
（1）质点离开平衡位置的最大距离就是x 的最大值10 cm ．
（2）在1.5 s 以后的时间质点位移减少，因此在1.5 s 时是指向平衡位置运动，在2.5 s 以后的时间位移增大，因此在2.5 s 时是背离平衡位置运动．
（3）质点在2 s 末时在平衡位置，因此位移为零．质点在前4 s 内的路程为4×10 cm=40 cm．
14．【答案】见解析 【解析】（1）由题意知，振子的振动周期T=2 s ，振幅A=5 cm ．根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向一－y 方向运动，经t=0.5 s ，到达负向最大位移．画出的甲观察到的振子的振动图像如图（a ）所示．
（2）因为t=3.5 s=3
1
4
T ，根据振动的周期性，这时振子的状态跟经过时间3'4t T =的状态相同，
所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处．画出的乙观察到的振子的振动图像如图（b ）所示．
15．【答案】见解析 【解析】（1）由图像知A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm 。周期是0.8 s ．
（2）由图像知，A ：说明振动的质点从平衡位置沿负方向已振动了1
2
周期，0?π=，由T=0.4 s 得2T
π
ω=
=5π。则简谐运动的表达式：0.5sin(5)A x t ππ=+ B ：说明振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了14周期，02
π
?=，由T=0.8 s ，得
2 2.5T πωπ==，则简谐运动的表达式：0.2sin(2.5)2
B x t ππ=+。
（3）将t=0.05 s 分别代入两个表达式中得：
22
0.5sin(50.05)cm 0.524
A x ππ=?+=-?
=-， 5
0.2sin(2.50.05)cm 0.2sin cm 28
B x πππ=?+=?，即x B =0.18 cm 。
【方法技巧】（1）简谐运动的表达式0sin()x A t ω?=+，要由图像写出表达式，首先要弄清楚振幅A ，周期T ，还有初相位0?。由公式2T
π
ω=
得出ω。 （2）由质点的振动图像我们可以得到很多信息，如振幅、周期、质点在不同时刻的位移，速度大小变化及方向、位移大小的比较和方向的判断等等。