随机序列的产生方法

临床实验随机号如何产生在临床研究中，为了保证研究结果的客观性和可信度，常常使用随机化方法对受试者进行分组。

而生成临床实验的随机号是其中关键的一环。

本文将探讨临床实验随机号产生的方法和流程。

一、随机号的定义和作用随机号是指在临床实验中，为参与者分配不同处理条件而使用的编号。

通过随机号的使用，可以避免因人为因素导致的分组偏好，提高实验结果的可靠性和公正性。

随机号的产生需要具备严格的随机化设计，确保每个受试者有相等机会被分配到各个处理组。

二、随机数字表法随机数字表法是一种常用的随机号生成方法。

它基于随机数字表，通过机械或电子装置产生数字序列。

每个数字可单独使用或与其他字符组合而成。

随机数字表法相对简单易行，但需注意确保数字序列具备合适的随机性。

三、计算机生成法随着计算机技术的发展，计算机生成法逐渐成为主流的随机号生成方法。

计算机生成法基于伪随机数生成算法，通过计算机软件生成随机数。

常见的生成算法包括线性同余法、梅森旋转算法等。

计算机生成法具有高效、灵活的特点，能够满足大规模临床实验的需求。

四、分层和阻塞设计为了更好地控制实验结果的可信度和准确性，有些临床实验采用分层和阻塞设计。

分层设计是将研究对象按照某个重要特征进行分类，然后在每个层次内进行随机分组。

阻塞设计则是将参与者按照某种特征进行分块，每块内进行随机分组。

这种设计方法可以更好地控制潜在的混杂因素，提高实验结果的准确性。

五、典型实施流程临床实验的随机号产生通常需要经过以下流程：1. 确定实验设计和分组方式：在制定实验方案时，需要明确定义实验设计和分组方式，包括要分组的处理组数目、分组的比例等。

2. 设计随机号生成方案：根据实验设计和分组方式，选择合适的随机号生成方法。

如果选用计算机生成法，需要选择适当的伪随机数生成算法。

3. 生成随机号：根据随机号生成方案，进行随机号的生成工作。

如果使用计算机生成法，需要编写相应的计算机程序。

4. 分配随机号：根据随机号生成结果，逐个将受试者分配到相应的处理组。

第一章 随机序列前言：这一章是本书的预备知识. 我们借助于实例，用较通俗的语言引入平稳随机序列的概念. 然后介绍平稳随机序列的描述方法，并且对平稳序列中的“频谱分析方法”、“相关分析方法”及“参数化方法”之间的关系给予简要说明. 另外，还将介绍两种常用的估计方法，以备后用.讨论描述随机过程的方法必须注意①随机过程表面上杂乱无章（如Brownian Motion ）但是，它既然是客观事物和数量表征，必然有其内在的规律；②为了掌握和利用这些随机过程所表现出来的规律，需要一定的数学工具，这就是随机过程理论.这章主要讨论随机序列的概率分布、参数表征、平稳随机序列（定义、谱分解、白噪声序列、线性运算、有理谱密度的平稳序列、随机差分方程、遍历性）、多维随机序列、两种估计和参数估计的优效性概念。

1．随机序列的概率分布：随机序列由无穷多个随机变量构成的，我们说给定了一个随机序列(1,2,)t x t =L 的概率分布，是指对于任意有穷多个时刻12,,,m t t t L ，相应的随机变量12,,,mt t t x x x L 的联合分布函数1212(,,,)mt t t m F x x x L L 都是被给定的，而且它们之间不能矛盾，即是说由高维联合分布推出的低维联合分布与原给定的低维分布相同. 有时我们也说给定了序列t x 的任意有穷维分布. t x 为独立的随机序列：若对于∀有穷个不相同时刻12,,,m t t t L 相应12,,,mt t t x x x L 是相互独立的random variable 即12121212(,,,)()()()mmt t t m t t t m F x x x F x F x F x =L L LExp ：电话中的热噪声常常近似于这种独立序列.由于分布函数完整地描述了随机变量的统计特性，故严平稳随机过程的所有统计特性均不随时间的平移而变化. 故这一要求相当严格. 称之为严平稳（狭义平稳）.而宽平稳过程对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上. 显然，严平稳过程比宽平稳过程之条件要求更“严”. t x 为狭义平稳序列（严平稳序列）：若一个随机序列t x 的任意有穷维分布满足：Z τ∀∈（整数集），,(1,)i m t i m τ+=121212,,,12(,,,)(,,,)m m t t t m t t t m F x x x F x x x τττ+++=L L L L即1,,mt t x x L 和12,,,m t t t x x x τττ+++L 有相同的分布，无论对怎样的m 和时刻12,,,m t t t L 以及τ都如此.2．随机序列的参数表征：①均值函数：对每个t 而言，若把随机变量t x 的均值记为t t Ex μ=. 则随机序列t x 的均值函数就是(1,2,3,)t t μ=L ；若t x 的分布为()t F x ，若t x 具有密度()t f x ，则()()t t t t Ex xdF x xf x dx μ≡≡=⎰⎰. Remark ：t μ可取常数（§1例4且电负荷量）；可取周期函数（§1例2某点平均水温）；或取其它形式，为方便计，称t t Ex μ=为t x 的均值.②自协方差函数：易知随机序列的均值只和随机序列的一维分布有关，为了分析随机序列t x 在不同时刻取值的统计关系，须要考虑t x 与s x 的协方差值，令()()()()(,)ts t t s s t s ts r E x Ex x Ex x y f x y dxdy μμ≡--≡--⎰⎰ts r 作为(,)t s 的二元函数，称为随机序列t x 的自协方差函数，特别称2()tt t t r E x Ex =-为t x 的方差函数，简称方差. 若一个随机序列t x 的任意有穷维分布都是正态分布，则称t x 为正态随机序列.若以f 表示相应于F 的分布密度，此时1212121(,,,)(2||)exp ()()(,)2m m t t t m m m m m m m m m f x x x x x N τπμμμ--⎧⎫=Γ⋅--Γ-≡Γ⎨⎬⎩⎭L L其中),,(1mt t m x x x Λ=τ；12(,,,)mm t t t τμμμμ≡L1112112m m m m m t t t t t t m t t t t t t r r r r r r ⎛⎫ ⎪Γ= ⎪ ⎪⎝⎭LL L很多实际应用的随机序列可近似当做正态序列，正态序列在数学处理上有很多方便之处.③自相关函数：序列的自相关函数ts ρ定义为ts r ρ≡它刻划了序列t x 在不同时刻取值的线性相关程度.Remark ：随机序列的参数表征还有很多，与本书关系密切的就是以上三种量. 从上述表述易见，,t ts r μ和ts ρ被t x 的分布唯一确定. 但是，反之由,t ts r μ和ts ρ一般并不能唯一确定t x 的分布，即具有不同分布的随机序列可以有相同的均值、自协方差和自相关函数.3．平稳随机序列：为便于读者掌握，我们把本书的讨论几乎完全限于正态序列范围之内，这不会影响时序分析方法的介绍，且会使很多数学概念和性质有较为简单的形式，只是在某些个别情形下，我们指出对于非正态序列的类似结果. 特别，本书所介绍的各种方法的基础是广义平稳序列（宽平稳序列）.（1）广义平稳序列的定义：若随机序列t x 的二阶矩有穷2()t Ex <∞且对任意时刻t 和s 满足： t Ex μ=2t s ts t s Ex x r r μ--== 为方便计，通常不妨设0μ=. 则称它为广义平稳序列（宽平稳序列），即μ与t 无关，ts r 只与t s -有关. “广义”是相对于“狭义”而言的，简称平稳过程.Remark ：①若狭义平稳过程（序列）t x 的一、二阶都有穷2(,)t t Ex Ex <∞则它一定也是广义平稳的.112212,1212,012()()(,)(,)()t t t R R t t t t Ex xdF x xdF x a t Ex x x x dF x x x x dF x x f τττττ+++⎫⎛==≡⎪ ⎪ === ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰　与无关 ②若t x 是正态随机序列，t x 的狭义平稳性t x ⇔的广义平稳性. （()()t s E x x μμ--Q ，复旦大学《随机过程》第三册P 183特征函数） Proof ：“⇒”若{},t x t T ∈是狭义平稳的（严平稳的），又正态过程有二阶矩，∴由①知{},t x t T ∈为宽平稳的. “⇐”若正态过程是宽平稳的，则,t Ex a t T ≡∈()()()()()ijt t i j i j E x a x a r t t r t t ττ--=-=+-+()(),,1,2,,i jt t i E x a x a t T i n ττ++=--∈=L表明12(,,,)nt t t x x x L 和12(,,,)nt t t x x x τττ+++L 具有相同的协方差矩阵和均值向量，而正态（多维）分布仅由它们确定（特征函数知识）因而11,,1,,1(,,)(,,)nnt t n t t n F x x F x x ττ++=L L L L{},t x t T ∈是严平稳（狭义平稳）过程.③Theorem. 设{},0,1,t x t =±L 为平稳列，则t x 要表为()i t t x x e dz πλπλ-=⎰其中{}(),[,]x z λλππ∈-是标准化的具有正交增量的，左2()L 连续的随机过程，且121212(()())(),,([,])x x x E z z F ππ∆∆=∆∆∆∆∈-I B 这样的正交增量过程唯一地由t x 所确定.（证明略）④实际应用中，平稳序列仅仅是对于真实随机序列的一种近似描述手段. 例：电路中的热噪声，陀螺仪的漂移速率及其它精密仪表的漂移误差，金融中的收益率序列等，第三章将给出一种粗略判别平稳序列手法.（2）自协方差函数与谱分布（t x 为实列）对于正态平稳序列t x ，其均值和自协方差函数s t r -唯一决定了它的分布（（1.2.6）式知），从而也就决定了它的全部统计性质，故讨论自协方差函数s t r -的性质十分重要，也是首要任务. s t r -满足：①对称性：()t t t t r r r Ex x Ex x r ττττττ----====Q ②非负定性：对{}1,2,m z +∀∈=L ，方阵11102120m m m m m r r r r r r rr r ----⎛⎫⎪⎪Γ= ⎪⎪⎪⎝⎭LL L L L L L 是非负定的.（Q 对m ∀维实值非零向量011(,,,)m τξξξξ-=L 都有：11,0,0()()m m m i j ij i jiji j i j rE x xτξξξξξξμμ---==Γ==--∑∑120[()]0m i i i E x ξμ-==-≥∑）有时称满足上述性质1和性质2的实数列01,,,,m r r r L L 称为非负定列. 易知000,||r r r τ≥≤，反之，任意一个非负定列必为某平稳序列的自协方差函数（[3]，E.lukacs, Characteristic Functions, London, 1960）. Theorem1. 设k r 为一平稳序列的自协方差函数，则存在一有界非降函数()G λ，使得1/221/2()i k k r e dG πλλ=⎰（相关函数的谱表示Th ）()G λ称为平稳序列t x 的谱分布，若()G λ可微，并记()()dG g d λλλ≡则 1/221/2()i k k r e g d πλλλ-=⎰()g λ称为平稳序列t x 的谱密度.当||kk r∞=-∞<∞∑时，()g λ一定存在且2()i k kk g r eπλλ∞-=-∞=∑. 有的工程书上，称()g λ为序列的功率谱密度.（3）白噪声序列若平稳序列t a 的均值为0，自协方差函数20k a k r σδ=，我们称这样的t a 为白噪声序列，或简称白噪声，它的谱密度：2220()i k a a k a k g e πλλσδσ∞-=-∞=≡∑可见()a g λ为一常数，即序列t a 的谱密度在各个频率上具有相同的分量（正象白光一样，等量地包含了各种有色光的光频分量）.Remark ：很多随机序列可以近似地符合白噪声的性质. 虽纯粹的白噪声很难遇到（自然界）.（4）平稳序列的线性运算随机变量可以进行加减等运算，随机序列也是如此.①设t x 是一平稳序列，,αβ是两个实数，τ是某一固定时刻，则t t t y x x ταβ-=+，还是平稳序列（令2t Ey μ=验证22()t t Ey y f τμτ--=）. ①′假定k α是实数列，且2||k k α∞=-∞<∞∑，那么易验证t k t kk y xα∞-=-∞=∑也是平稳序列，其中k t k k x α∞-=-∞∑，作为当,M N →∞时Nk t kk Mxα-=-∑的均方极限. （Remark ：设{}k x 为平稳序列，若2||0k k E x x →∞-→，称{}k x 均方收敛于x ，又称x 为{}k x 的均方极限）.Remark ：（A ）取t t x a =为白噪声，当0k <时0k α=，这时平稳序列0t k t k k y a α∞-==∑称为t a 的滑动和；特别若再有0k α=，当k q >时（0k <时0k α=），则0qt k t k k y a α-==∑称为t a 的q 阶滑动平均.上两式所给出的平稳序列，其自协方差函数和谱密度可利用t a 的性质很方便求出，约定0k <时0k α=，0t k t k k y a α∞-==∑则0,0()ys tk t k j s j kjt ks j k j k j rE a a Eaa αααα∞∞∞-----=====∑∑∑22(),0,0,0,0akjs j t k akjs t k j k j k j σααδσααδ∞∞----+-====∑∑022,0s t k j ak k s tak k s tj s k t k j k σαασαα-+-=∞∞+-+-⇔=+-====∑∑2||||akk t s k t s σαα∞--=-=∑讨论：①当s t ≥时2()k s t my s tamm s t m s trσαα∞+-=---=-====∑.②当s t ≤时，由于0k <时0k α=，222()y s ta k k s takk s takk t s k t sk t sk t srσαασαασαα∞∞-+-+---=-=-=-===∑∑∑从而总有2||||y s takk t s k t s r σαα∞---=-=∑W .2220()y i i y akk k g r e e πτλπτλττττλσαα∞∞∞--+=-∞=-∞===∑∑∑22222()00i i k i k akk akk k kk keee πτλπλπτλττττσαασαα∞∞∞∞--+++==-==-==∑∑∑∑222()0i k i k akk k k ee πλπτλττσαα∞∞-++==-=∑∑22200m ki k i m a k mk m ee τπλπλσαα∞∞=+-====∑∑222222000||i k i k i k akkak k k k eee πλπλπλσαασα∞∞∞--=====∑∑∑若令 0()k k k A ωαω∞==∑则上式可表为： 222()|()|i y a g A e πλλσ-=.例下面介绍有理谱密度. 它比白噪声t a 的常值谱密度更具一般性，t y 具有较复杂连续谱密度.（5）具有有理谱的平稳序列：对于正态平稳序列，只要知道了它的自协方差函数k r ，或知道了它的谱分布()G λ，就等于掌握了它的统计性质. 主要利用k r 去分析时间序列时，称为“相关分析法”或“时域分析法”；利用后者时，称为“频谱分析法”. 怎样求得一个正态平稳序列t x 的k r 或()G λ呢？主要利用t x 的样本值12,,,N x x x L 对k r 或()G λ进行估计，这是时序分析要解决的主要问题之一，这有两个难点：①(0,1,2,)k r k =L 是由无穷多个值构成的，谱密度()G λ为在11[,]22-内取值的函数，用有穷个t x 的样本值对所有k r 或()G λ的所有取值进行估计，难点之一.②即使能对k r 或()G λ的所有取值做出估计，由于01,,r r L 或()G λ的形状复杂，也不利于在预报、控制或模拟等应用中使用. 于是为克服这两个困难，我们采取绪论中提到的“参数化”方法，即将()G λ局限在一个较窄的函数范围内讨论，我们只讨论这样一类正态平稳序列，它们的谱分布()G λ不仅可微，而且它的导函数（谱密度）()()dG g x d λλ≡为2i e πλ-的有理函数： 2222()()||()i a i e g e πλπλθλσϕ--= （I ）其中()θω和()ϕω为ω的实系数多项式：212212()1()1q q pp θωθωθωθωϕωϕωϕωϕω=----=----L L （II ）两者无公共因子，且限定()θω和()ϕω的根全在复平面的单位圆外. 这样一来，为了估计()G λ，只要估计2,,a p q σ和（II ）中诸系数1,,q θθL 和1,,p ϕϕL 即可，这些只是有限个系数而已. 有了这些参数的估计值，利用（I ）式即可得到()g λ在)21,21[-上的各处取值的估计. 在用于预报、控制和模拟等目的时，由于()g λ拥有（I ）之形式，解决问题就方便多了. Remark ：①谱密度有（I ）这种形式的t x ，称为具有有理谱的平稳序列； ②对于()g λ为连续的情形，它可用有理谱来逼近真实的谱，这是较有效的一种方法.（6）随机差分方程：据前所述，具有有理谱的平稳序列的自协方差函数k r 也是被以上诸参数所决定.Q 由Th1知 21/222221/2()|| 0,1,2,()i i k k ai e r e d k e πλπλπλθσλϕ--==⎰L（III ）反之，若k r 能表成（III ）之形式，则随机序列也一定具有（I ）形式的有理谱密度.例1 取 222()|,||1i k a g e πλλσϕϕ-=-< 则 1/222221/21|1|i k k a i r e d e πλπλσλϕ-=-⎰21/22221/2cos 2,0,1,2,12cos 21k a ak d k σπλσλϕϕπλϕϕ===-+-⎰L（Q21/2221/2cos 21cos 12cos 2212cos t k ktd dt t πλπππλλϕπλϕπϕϕ=--==-+-+⎰⎰当2||1ϕ<时221112cos 12cos m m mt t ϕϕϕϕ∞=-=+-+∑， 此级数对一切t 一致收敛，它的各项都乘以同一有界函数cos kt后仍然一致收敛，从而22cos (1)12cos ktdt t ππϕϕϕ---+⎰21cos 2cos cos 2cos m k m ktdt mt ktdt ktdt ππππππϕϕ∞---==+=∑⎰⎰⎰1cos 222kkkt dt ππϕπϕ-+==⎰从而 1/2221/21cos cos 2212cos 12cos 2kt k d dt t πππλλπϕϕϕπλϕ--=-+-+⎰⎰ 2(0,1,2,)1kk ϕϕ==-L若 21/222221/2()||()i i k k a i e r ed e πλπλπλθσλϕ---=⎰， 则随机序列{}t ω也一定有2222()()||()i a i e g e πλπλθλσϕ--=形式的有理谱密度. ( Theorem1 ()()()()n n a s P ξωξωξωξω⋅⇒u r u u u r令()(1,2,)n n ξω=L ，()ξω是r v ⋅，则{}111:lim ()():(|()()|)n n n m k n km ωξωξωωξωξω∞∞∞→∞===⎧⎫==-<⎨⎬⎩⎭I UI {}lim ()()n n ωξωξω→∞∈=⇔对∀一个m （正整数），∃一个正整数N ，使当n N >时均有()1|()|n mωξξω-<⇔对∀一正整数,m ω属于1(|()()|)n m ξωξω-<之下限事件. 111(|()()|)1n m k n kP m ξωξω∞∞∞===⎧⎫⇔-<=⎨⎬⎩⎭I UI or111(|()()|)0n m k n kP m ξωξω∞∞∞===⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭UI U0ε⇔∀>成立1(|()()|)0n k n k P ξωξωε∞∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭I U{}lim (|()()|)n n n n P A A ξωξωε→∞==-≥)Theorem2 若()B ϕ没有模为1的因子（即2()0i e πλϕ-≠），若{}t ω为差分方程1111 ,1,0,1,t t p t p t t q t q x x x a a a t ϕϕθθ-------=---=-L L L L （IV ）的平稳解（即它是平稳序列且满足（IV ）），则{}t ω有有理谱密度2222()()||()i ai e g e πλπλθλσϕ--=. 反之，若平稳序列{}t ω有此谱密度，则{}t ω可表成（IV ）形式.Theorem3 （Wiener-X HHYH ）设{},0,1,t x t =±L 是平稳列，其相关函数(,0,1,)k r k =±L 满足||k k r ∞=-∞<+∞∑，则t x 必有非负谱密度函数()f λ，且()x r τ和()f λ是Fourier 变换的关系：()(),0,1,ik x r k e f d k πλπλλ-==±⎰L1()(), 2ik xk f r k eλλπλππ∞-=-∞=-≤≤∑W推论，若{},0,1,n x n =±L 是实平稳列，()x r τ绝对可和，则谱密度()f λ必存在，并且（a ）()(),f f λλπλπ=--≤≤（b ）101()(0)2()cos 2()2()cos x k xf R r k k r n f n d πλλπλλλ∞=⎧⎧⎫=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎨⎪=⎪⎩∑⎰ 这表明自协方差函数为一指数型数列，反之，若221k ak r σϕϕ=-形式，则相应的随机序列一定具有谱密度222()|1|i a g e πλλσϕ-=-，||1ϕ<. 虽然（III ）式反映了有理谱与其相应的自协方差函数之间的关系，但是，为了以后的时域分析，还要引进随机差分方程的概念. 上例中||k r <∞∑Q2222222()()1|1|i k i ka aki k k g r eee πλπλπσσλϕϕϕ∞∞---=-∞=-∞∴===--∑∑222() |1|ai g e πλσλϕ-∴=-W .]111[-1][-122222a 0122a πλπλπλϕϕϕϕσϕσi i i k k e e e ---∞=∞=-+-=+=∑∑ 设12,,,p ϕϕϕL 和12,,,q θθθL 分别是p 个和q 个实数，并设以它们为系数的两个多项式()ϕω和()θω无公共因子，且它们的根全在单位圆外（为了保证收敛性），若平稳序列t x 满足关系式：1111 ,1,0,1,t t p t p t t q t q x x x a a a t ϕϕθθ-------=---=-L L L L （IV ） 其中t a 是一白噪声，22t a Ea σ=，且当s t >时，0t s Ex a =，那么我们就说t x 是随机差分方程（IV ）的一个平稳解. Q 根据平稳序列的理论（[1]附录，§1Th1）知，具有有理谱密度()g λ（I ）的平稳序列，一定是随机差分方程（IV ）式的一个平稳解；反之，（IV ）式的平稳解一定具有（I ）()g λ的有理谱密度. 于是建立关系：具有有理谱的平稳序列11-←−→随机差分方程的平稳解.例1 （同前）具有谱密度222()|1|,||1i a g e πλλσϕϕ-=-<平稳序列t x ，它应满足差分方程：1t t t x x a ϕ--= （V ）于是有： 10 ()0t k t k t t k t k E x x x Ex a ϕ---->-== 1,0k k r r k ϕ-=>又由（V ）知：2222220100()(1)t t t a a r Ex E a x r r ϕσϕσϕ-==+=+⇒=-2212021kk ak k k r r r r σϕϕϕϕϕ--∴====⋅=-L W 这与前面解答完全一致，但计算方便. 另一方面，（V ）又可写为1t t t x x a ϕ-=+，表明了t x 的前后依赖关系（这很类似t t t x y a ϕ=+的回归方程，1t t y x -=自身滞后一步），1t t t x x a ϕ-∴-=又称()t x 的平稳解t x 为一阶自回归序列，而参数ϕ表明t x 前后的相关程度. 由（V ）推知：212121()t t t t t t t t x x a x a a x a alt ϕϕϕϕϕ-----=+=++=++1212n n n t n t n t n t x a a a ϕϕϕ----+-+==++++L L由于()1ϕωϕω=-的根在单位圆外（||1ϕ<Q ）∴对上式两边取极限得到：122220(lim)||||||0n j n n t t j t n t n j E x a E x E x ϕϕϕ----=-==→∑1lim()n nj j t t n t j t j n j j x x a a ϕϕϕ-∞+---→∞===+=∑∑ （均方意义下）（t Ex μ=Q 1/221/2())i t x e Z d πλλ-=⎰）这恰如平稳列的滑动和（t x 只是1,,t t a a -L 的滑动和，而t a 是白噪声，∴当t s <时，t x 与s a 独立，0t s t s Ex a Ex Ea ∴==）下面再从滑动和回到谱密度，||1ϕ<Q ，由222()|()|i y a g A e πλλσ-=知01(),||11j j j A ωϕωωϕω∞===≤-∑ 222222()|()||i i a a g A e e πλπλλσσϕ--==-22(12cos 2)a σϕϕπλ=+-从此后，我们所讨论的平稳随机序列，不仅限于正态序列，而且都有有理谱密度. 即它们必是（IV ）型的随机差分方程的平稳解，利用（IV ），下一章再详细分析相应k r 的各种性质.（7）遍历性：为了估计p ，q ，2a σ和()ϕω与()θω的系数等值，常用的统计方法显得不够用，应用新手段的一个重要前提：随机过程要具有遍历性.遍历性定义：设t x 为一随机序列，()t v x 是t x 的函数（如2||,,,etc t t t t x x x x τ+），若对任何使()t Ev x 存在的函数v ，概率为一地有（or 依概率1）11()lim()Nt t jN j Ev x v xN+→∞==∑则称t x 为具有遍历性的随机序列. Remark ：①（[5]（U.Grenander and M. Rosenblatt ）平稳时间序列的统计分析，郑绍谦译（1962））知：正态有理谱平稳序列一定具有遍历性. ②遍历性物理意义：随机序列t x 的函数（连续）()t v x 也是一个随机变量，其均值为()t Ev x ，可称之为()t v x 的总体平均（即依()t v x 的分布所求出的均值，或称相平均. ）又当t 固定，而将(),1,2,3,t j v x j +=L视为一个随机序列时，11lim ()Nt jNj v xN+→∞=∑称为()t v x 的时域平均. 所谓t x 的遍历性，简而言之，就是对任何函数v ，()t v x 的总体平均等于它的时域平均. 粗略说：意味着t j x +的任何一个样本随j 的变化所能取的值，依随机变量t x 的概率分布，历经它所能取的各种值，11()lim()Nt t jN j Ev x v xN+→∞==∑.③若t x 具有遍历性，它的线性运算也具有此性质. 例1 遍历性用途取1()t t t v x x x +=，则由遍历性11111limNt t t j t jN j r Ex x xxN++++→∞===∑这说明当N 很大时上式右边平均值可作为1r 的近似估计值.4．多维随机序列：t y 为r -维随机序列：对每个固定的整数值时刻t 而言，t y 是-r 维随机向量，常记做2(1)(2)()(,,,)r t t t t y y y =L Y ，时刻(,)t ∈-∞+∞. 这r 个随机序列(1)(),,r t t y y L 相互之间有一定的统计联系.（1）t y 的均值函数（均值）：(1)(2)()(,,,)r t t t t E Ey Ey Ey τ≡L Y对t Y 而言，固定t 时t E Y 为一个r 维向量（非随机的）.（2）方差阵、自协方差阵与互协方差函数： 方差阵函数：(1)()(,,)r t t t y y τ=L Y()()t t t t E E E τ--Y Y Y Y这是一个r 阶非负定矩阵，其主对角线上的元恰是()(1,)k t y k r =的方差，而i 行j 列的元，则为()i t y 与()j t y 的互协方差. 为掌握t Y 在不同时刻取值的统计关系，定义()()ts t t s s E E E τ≡--¡Y Y Y Y为t Y 的自协方差阵函数；其主对角元素是()(1,)k t y k r =的自协方差函数，而i 行j 列的元()()()()()()i i j j t t s s E y Ey y Ey --称为()i t y 与()j s y 的互协方差函数. 当t s =时，tt ¡为t Y 的方差阵函数.ts ∴¡更进一步揭示了t Y 的各分量间及前后之间的相互联系.（3）多维平稳序列：设t Y 为r 维随机序列，若它还满足;()()t ts t t s s t s E u E E E R τ-==--=¡Y Y Y Y Y则称t Y 为r 维平稳随机序列. （略）5．两种估计及参数估计的优效性概念：（1）最小二乘法（Least Square简称LS 法）线性参数的最小二乘法是常用的估计方法之一，这里主要介绍非线性参数的最小二乘法（第四章将用之）.考虑模型121(;,,,),1,2,k k k k y f y y y e k β-=+=L L ; （I ） 其中k e 仍表示残差，12(,,,)r τββββ=L 为未知参数矢量，k f 是11(,,,)k y y β-L 的函数，对β非线性，若获得了测量值12,,,n y y y L ，那么，使得残差平方和21211()[(;,,,)]nk k k k S y f y y y ββ-=≡-∑L达到极小的解µβ，即称为β的最小二乘估计，以后简称LS 估计（LeastSquare Estimation ）. Remark ：①一般说来，对非线参数而言，µβ的求解比线性情形要麻烦得多，且只能给出数值解法，无法得到线性参数明显解. 此外，k f 还可能是用迭代方式给出，而不必有明显的函数形式；②为了分析估计µβ的误差情况，应当引入k e 和k y 的统计特征. 假定k e 为白噪声，而且k e 与11,,k y y -L 独立；作为1,,n y y L 的函数的最小二乘估计µβ和真值β之间的接近程度可用下面介绍的几种估计量优效性来衡量. 可见附录§5关于最小二乘估计量各种优效性质.（2）最小方差估计（Least Mean Square or 简记LMS 估计）（第IV 、VII 、IX 等章常用之）设(11,,k M k N N M ω-<<+为整数 or 正、负无穷)是一组正态随机变量，且它们的均值都是0. 又设正态随机变量z 的均值亦为0，且z 与k ω的联合分布也是正态分布. 所谓根据(11)k M k N ω-<<+对z做的（或z 关于k ω的）LMS 估计z$是指存在如下的量：Nkkk Mz wβ==∑$其中系数k β使误差方差2()E z z-$达到极小，即 22()inf ()kNk k k ME z z E z ααω=-=-∑$我们把这种估计记为(|,11)kz E z M k N ω≡-<<+$最有用的情况是：每一k ω可以表成白噪声k)j 1-M (a j ≤<的和kk kjj j Ma ωξ==∑（I ），同时每一j a 也能表成(1)l M l j ω-<≤之和，即jj jl l l Ma ηω==∑（II ）.且其中系数满足如下条件：22()()11||,||g k j g j l kj jl g e g e ξη----≤≤ （III ）此处12,g g 表示与,,k j l 无关的正实数.（上述条件①当,M N 为有穷整数时易满足（E.P.Box 时序分析：预测与控制P 138-149）②当M =-∞时，由P 49~52和附录中将会有，若k ω是()()t t B x B a ϕθ=的平稳解，则上述条件满足（LMS 估计））对于这样的k ω，随机变量Z 的最小方差估计形式简便，易于讨论它们的性质.令≡A {|,Nj j j j My y a ββ==∑为实数，2Nj j Mβ=<∞∑}≡W {|,N l l l l My y w αα==∑为实数，2Nl l Mα=<∞∑}从A 与W 出发讨论LMS 估计的性质. 1．=A W当,M N 都为有穷时，显然. 我们只对,M N =-∞=+∞情形给予证明. 若y ∈A ，则∃-串j β使得2jl β∞=-∞<∞∑且jjj y aβ∞=-∞=∑，由上述讨论知：()jj jll jjll llj l l j ll y w w w βηβηα∞∞∞∞=-∞=-∞=-∞==-∞===∑∑∑∑∑其中l j jl j lαβη∞==∑，由（III ）及Schwarz 不等式知：2()21,,||g j l k l z ljkjlklj kl l j k l l j k lg e αββηηββ∞∞∞∞∞--+-=-∞=-∞==-∞==≤∑∑∑∑∑ 22()22211,0(||)()()1m j l g m n m l n l l g n k lm n l l g g e eβββ∞∞∞=--+++-=-==-∞=-∞=≤<∞-∑∑∑ 21/221/2(||||()()m l n l m ln l l l l ββββ∞∞∞++++=-∞=-∞=-∞≤∑∑∑222211,)11g mg n g g m n ee ee∞∞----====--∑∑ 因此y ∈W ，y Q 是A 的任意元. ∴⊃W A ，同理⊂W A ，∴=A W . 利用泛函分析知识：=A W 是Hilbert 空间（估计量ˆ(|,11)k zE z w M k N =-<<+是z 在W 上的投影，∴也是在A 上投影，ˆ(|)(|)zE z E z ∴≡=W A ） 2．ˆzW ∈为z 的最小方差估计（LMS 估计）⇔对y ∀∈W ，必有ˆ()0E z zy -=. 首先注意，由性质1，y ∀∈W 可表为Njjj My aβ==∑，且2Njj Mβ=<∞∑，222Najj MEy σβ=∴=<∞∑“⇒”（反证法）设ˆz是Z 的LMS 估计，而且y ∃∈W 使ˆ()0E z zy -≠. 那么显然成立20(0)Ey y <<∞≠. 由最小方差性质，对R β∀∈有22222()()()2()E z zE z z y E z z Ey E z z y βββ-≤--=-+--$$$$ 由此有：222()Ey E z z y ββ≥-$. 取2()0E z z y Ey β-≠$@. 便导致21≥. 这与实数理论相矛盾，y ∴∀∈W 必有()0E z zy -=$这与z W ∈$为z 之最小方差估计矛盾.另证：令2(,)(),0z zy E z z y Ey α=-=-<<+∞$$则 222222222222(())()2()()()()E z z y E z z Ey E z z y E z z E z z Ey Ey Ey Eyαααα-+=-+--=--<-$$$$$ “⇐”设zW ∈$满足条件：()0E z z y -=$，对y ∀∈W 成立. 则对**,z zz ∀∈-∈$Q W W （H 氏空间）∴有0))(ˆ(=--*z z z z E ，于是 *2*22*2*2()()()()2()()()E z z E z zz z E z z E z z E z z z z E z z -=-+-=-+-+--≥-$$$$$$$ 这就证明了z$是LMS 估计. 又可注意，上式不等号当且仅当*z z =$时才取等号，z∴$中唯一的. 3．z 的的最小方差估计（LMS 估计）z$存在且唯一. 唯一性已在性质2的充分性证明过程得到. 现证存在性：令21()Njjj Maz Eza aσ==∑$，j a 为白噪声. 易算出：2220()2E z zEz Ezz Ez ≤-=-+$$$ 222()/Nj a j MEz Eza σ==-∑2222(/)/Nj a a j MEza Ez σσ=∴≤<∞∑“（利用上述不等式且z Q 为正态随机变量）从而$2()NN j j j j j M j MaEza za a ασ=====∑∑$中2Njj Mα=<∞∑. 由性质1，z ∈=$A W ，又对任意N j j j My a β==∈∑W221()()()N Nj j j j j j Mj M aE z zy Eza Eza Ea ββσ==-=-∑∑$()()0N Nj j j j j Mj MEza Eza ββ===-=∑∑因此由性质2，z$即为z 的最小方差估计. 4．若1112z z z ββ=+，其中12,ββ是实数，则1212z z z ββ=+$$$；若z ∈W ，则z z =$；若z 与W 的元都独立，则0z =$；若(11)kw M k N -<<+是相互独立的随机序列，则任意z 的最小方差估计为2(/)Njj j j MzEzwEw w ==∑$它们由性质2得到验证：0, ()0 (0)zy E z z y Ezy EzEy Ez =∀∈-====$$W ,Nj j j M y y w β=∀∈=∑W ，利用独立性易知()0N Njjjjj Mj ME z zy Ezw Ezwββ==-=-=∑∑$.5．若¢是r 维随机向量，且,M N 有穷，则¢的最小方差估计µ¢（µ¢的各分量为¢的对应分量的最小方差估计）可表为µ1()()E E ττ-=ⅱW WW W其中1(,,,)M M N w w w τ+=L W ，这也易由性质2得到.（3）参数估计的优效性概念：LS 估计与LMS 估计在概念上有本质的差别：LMS 估计是用随机变量或序列的样本的对另一随机变量做出估计，它们之间的概率分布是已知的（常为正态分布）（用于解决随机序列预报VII 章）.LS 估计则是用随机变量或序列的样本去估计某些未知参数（参数化非线性估计问题IV 章）.其它方未能：极大似然法或近似极大似然法来解决参数估计问题.从数理统计的角度怎样衡量参数估计的优劣程度，是另一个很重要的问题，我们在这里引进几个有关的定义. 参数估计：根据某种原则，将随机序列的样本（即测量值）12,,,N y y y L 进行各种运算，从而对于未知参数向量β作出估计与判断. 因此，一般可以把β的估计量µβ表成样本的函数形式，即µµ12(,,,)Ny y y =L ββ，为了衡量µβ与真值β的近似程度，需一些概念：1．无偏性与渐近无偏性：若估计量µβ满足µE =ββ，则称µβ为β无偏性. 若µlim NE →∞=ββ，则称µβ为β的渐近无偏估计量. 无偏估计比渐近无偏估计量难于寻找.2．相容性：若样本长度N →∞时，估计量µβ依概率收敛于β，即对任意小的0ε>，µ{}lim 0N P ε→∞->=ββ，其中{}12max ||,||,,||r βββ≡L β是β的范数（或称模量），这时我们称µβ为β的相容估计.3．优效性与渐近优效性：在相当一般的条件限制下，特别当限于讨论正态随机序列时，经典统计中的Cram ér-Rao 不等式仍成立，即有µµ11log log ()(()()()Np p E J E ττ--∂∂--≥≡⋅∂∂βββββββ 其中p 12,,,N y y y L 的联合概率密度，1()NJ -β称为Cram ér-Rao 下界，这一公式我们将在附录§4中证明（P 308-327）.若估计量µβ能使上式等号成立，即 µµ1()()()NE J τ---=βββββ 则称µβ为优效估计，若估计量µβ只能成立极限关系式 µµ1122lim ()()()()N NN J E J I τ→∞--=ββββββ 其中I 表示单位矩阵，则称µβ为渐近优效估计. 4．渐近正态性：若存在一个矩阵列N B ，当N →∞时，N N B B τ的主对角线都无限地增大，而且使得µ()N B -ββ的联合分布NF 收敛于正态分布(0,)N I ，则称µβ具有渐近正态性，简单地用µ()~(0,)N B N I -ββ表示.5．优效渐近正态性，若µβ具有渐近正态性，而且其中的NB 满足 1lim ()N N N N B J B I τ-→∞=β 则称µβ具有优效渐近正态性，即µ12()()~(0,)NJ N I -βββ. 例 正态(,0)AR p 序列参数140()02pNa M J σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭β 01110221120 p p p a p p p p r r r r r r M r r r σ-----⎛⎫ ⎪ ⎪=ΓΓ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L 2log log log ()N p p pJ E E βττ∂∂∂≡⋅=-∂∂∂∂ββββP 是t y 的似然函数.Remark ：①随机序列的参数估计与经典统计有一点本质性的差别，经典统计中，样本12,,,N y y y L 常是相互独立同分布的随机变量，而参数β只是这一相同的分布中所含的未知参数（如正态分布的均值方差）. 在这里，12,,,N y y y L 是随机序列的一段样本，它们一般不是相互独立的，而参数β是这些随机变量的联合分布中的未知参数（如自回归序列的系数）.②估计量的渐近优效性和优效渐近正态性的渐近法则是不相同的，前者要求µµ()()E τ--ββββ与1()NJ -β渐近相同，由于1()N J -β是估计误差µ()-ββ的方差阵的下界，因此，渐近优效性又可以叫做渐近最小方差性. 而后者只要要求µ12()NJ -ββ的分布NF 与正态分布(0,)N I 渐近相等或说µ()-ββ的分布与1(0,())NN J -β渐近相等，这里并不要求µ()-ββ的方差阵的收敛性. （H.Cramer 曾弄错二者之间关系）③具体使用参数估计方法时，我们总希望估计量能具有上述的各种优效性质，即这些性质是检验估计优劣的重要标准.。

用单片机产生随机数的两种方法在单片机中产生随机数是非常重要且常见的需求。

随机数在许多应用中起着重要作用，例如密码生成、游戏开发、模拟实验等。

单片机中的随机数通常用于实现伪随机数序列。

下面将介绍两种常见的方法来产生随机数。

一、基于时间的随机数生成在单片机中，可以使用芯片计时器以及芯片内置的实时时钟来产生基于时间的随机数。

具体步骤如下：1.初始化计时器和实时时钟。

2.确定需要生成的随机数的范围。

3.使用计时器或实时时钟的当前值来作为随机数的种子。

4.通过其中一种算法（例如线性同余法）将种子转化为随机数。

5.将产生的随机数存储在指定的变量中。

这种方法的优点是简单易用，而且可以通过调整计时器和实时时钟的初始化设置来增加随机性。

但是缺点是随机数的质量可能不如其他方法，因为在一些情况下，计时器和实时时钟的值是可预测的。

二、基于模拟信号的随机数生成这种方法是通过模拟信号产生随机数。

具体步骤如下：1.选择一个可变的模拟信号（例如光敏电阻传感器、温度传感器等）。

2.初始化模拟信号，使其处于一个初始状态。

3.读取模拟信号的值。

4.使用其中一种算法（例如移位寄存器）对模拟信号的值进行处理，得到随机数。

5.将产生的随机数存储在指定的变量中。

这种方法的优点是产生的随机数质量较高，因为它们是基于真实的物理过程产生的。

然而，与基于时间的方法相比，基于模拟信号的方法更复杂一些，因为需要选择合适的模拟信号和算法。

总结：产生随机数是单片机中常见的需求之一、基于时间的随机数生成方法简单易用，但随机数质量可能不如其他方法。

基于模拟信号的随机数生成方法可以产生质量较高的随机数，但比较复杂。

根据具体需求选择适合的方法来产生随机数是很重要的。

产生正态分布随机数的matlab方法random在Matlab中生成正态分布随机数有多种方法，下面将介绍其中几种常用的方法，并对它们进行全面评估。

1. 使用randn函数生成正态分布随机数- randn函数是Matlab中用于生成符合标准正态分布的随机数的函数。

- 该方法的优点是简单易用，一行代码就可以生成所需的随机数序列。

- 但是，这种方法生成的随机数序列可能不够随机，存在一定的偏差。

2. 使用Box-Muller变换生成正态分布随机数- Box-Muller变换是一种经典的生成正态分布随机数的方法，通过均匀分布的随机数生成正态分布的随机数。

- 这种方法生成的随机数更加符合正态分布的特性，具有更好的随机性和分布性。

- 但是，实现Box-Muller变换需要一定的数学基础和编程技巧，相对复杂一些。

3. 使用truncated normal distribution生成截尾正态分布随机数- 有时候我们需要生成一定范围内的正态分布随机数，这时可以使用truncated normal distribution方法。

- 这种方法可以有效地控制生成的随机数范围，使其符合实际应用需要的要求。

- 但是，对于一些特殊情况，需要考虑truncated normal distribution生成的随机数是否符合实际问题的分布需求。

总结回顾：在Matlab中生成正态分布随机数有多种方法，每种方法都有各自的优点和局限性。

根据实际需求，选择合适的方法是非常重要的。

在编写程序时，需要根据具体情况综合考虑随机性、分布性和实际应用需求，选择最合适的方法来生成正态分布随机数。

个人观点和理解：在实际编程中，生成符合实际需求的随机数是非常重要的。

对于正态分布随机数的生成，需要考虑到数据的随机性和分布特性，才能更好地应用于实际问题中。

也要注意选择合适的方法，并在实际应用中进行验证和调整，以确保生成的随机数符合实际需求。

正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它具有许多重要的统计特性，如均值、标准差和形态等。

随机数产生的原理随机数产生的原理主要依赖于随机数生成器（Random Number Generator，简称RNG）的算法。

这个算法通常使用一个称为种子（seed）的输入值来初始化。

种子可以是任何数据，例如当前的系统时间或用户的输入。

然后，RNG算法使用这个种子来生成一系列看似随机的数值。

然而，由于计算机程序的本质是可计算的，所以生成的随机数实际上是伪随机数。

也就是说，通过固定的算法和种子，随机数序列是可重复的。

这是因为计算机程序总是按照一定的规则执行，因此可以预测出随机数序列的下一个数值。

为了增加生成的随机数的随机性，常常使用熵作为种子输入。

熵可以是来自外部环境的任意输入，例如硬盘读写的速度、网络传输的延迟等。

通过使用熵作为种子输入，RNG算法可以生成更为随机的序列。

在实际应用中，随机数被广泛用于模拟、加密、彩票系统等领域。

然而，需要注意的是伪随机数并不是真正的随机数，随机数生成算法的质量和种子输入的选择都会对随机数的质量产生影响。

因此，为了获得更为随机的序列，通常会使用真正的随机事件作为种子输入，如量子力学的随机性或者大型随机数生成器生成的值。

经典的随机数产生方法之一是线性同余法（Linear Congruence Generator，LCG）。

LCG使用不连续分段线性方程来计算产生伪随机数序列。

这种方法背后的理论比较容易理解，且易于实现。

在LCG中，随机数序列是由一个初始值（种子）、一个乘子、一个增量（也叫做偏移量）通过递归的方式产生的。

当生成器不断往复运行时，将会产生一序列的伪随机数。

如果参数选择得当，序列的最大周期将达到可能的最大值，这种情况下，序列中所有可能的整数都会在某点固定出现。

总的来说，随机数产生的原理主要是基于随机数生成器的算法和种子输入。

尽管计算机生成的随机数是伪随机数，但只要通过合适的统计检验并符合一些统计要求（如均匀性、随机性、独立性等），它们就可以作为真正的随机数来使用。

舍选法生成随机数
随机数在计算机科学和统计学中有着广泛的应用。

生成随机数是一项重要的任务，因为随机数的产生往往涉及到密码学、模拟实验和随机算法等领域。

舍选法是一种常用的生成随机数的方法。

舍选法是一种基于概率的方法，通过选择在某一范围内的随机数来生成一个随机数序列。

具体而言，舍选法首先确定一个范围，然后从这个范围中选择一个随机数作为结果。

在这个过程中，每个数都有相同的概率被选中。

舍选法生成随机数的基本步骤如下：
1.确定一个范围，例如从1到100。

2.生成一个随机数r，使得r落在这个范围内。

3.返回随机数r作为生成的随机数。

舍选法的优点在于简单易懂，容易实现。

然而，舍选法也有其局限性。

首先，舍选法生成的随机数序列可能不满足统计学上的随机性
要求。

例如，如果范围很大，而生成的随机数序列很短，那么就有可能出现重复的情况。

其次，舍选法无法生成真正的随机数，因为它是基于概率的方法。

为了克服舍选法的局限性，人们通常会采用更复杂的算法来生成随机数，例如线性同余法和Mersenne Twister算法等。

这些算法在生成随机数时考虑了更多的因素，使得生成的随机数序列更加随机。

总之，舍选法是一种常用的生成随机数的方法，它通过在某一范围内选择随机数来生成一个随机数序列。

虽然舍选法简单易懂，但它也存在一些局限性。

为了生成更加随机的随机数序列，人们通常会采用更复杂的算法。

随机数的生成是计算机科学和统计学中的一个重要问题，对于实际应用和理论研究都具有重要意义。

vb中随机数生成方法在VB中，生成随机数是一项非常常见的任务。

随机数可以用于许多不同的应用程序，例如游戏、密码生成器、模拟器等等。

在VB 中，生成随机数的方法有很多种，本文将介绍其中的几种方法。

方法一：使用Rnd函数Rnd函数是VB中生成随机数的最基本方法。

它可以生成一个0到1之间的随机数。

如果需要生成一个整数，可以将Rnd函数的结果乘以一个大于等于1的整数，然后使用Int函数将结果转换为整数。

例如，下面的代码将生成一个1到10之间的随机整数：Dim randomNum As IntegerrandomNum = Int((10 * Rnd) + 1)方法二：使用Randomize函数Randomize函数可以用于初始化随机数生成器。

如果不使用Randomize函数，每次生成的随机数序列都是相同的。

使用Randomize函数可以使每次生成的随机数序列都不同。

例如，下面的代码将生成一个1到10之间的随机整数：Dim randomNum As IntegerRandomizerandomNum = Int((10 * Rnd) + 1)方法三：使用GetTickCount函数GetTickCount函数可以返回自系统启动以来经过的毫秒数。

可以使用这个函数来生成一个随机数种子。

例如，下面的代码将生成一个1到10之间的随机整数：Dim randomNum As IntegerRandomize GetTickCountrandomNum = Int((10 * Rnd) + 1)方法四：使用Cryptographic Service ProviderCryptographic Service Provider是Windows操作系统中的一个加密服务提供程序。

它可以用于生成高质量的随机数。

例如，下面的代码将生成一个1到10之间的随机整数：Dim randomNum As IntegerDim provider As New System.Security.Cryptography.RNGCryptoServiceProviderDim byteArray(3) As Byteprovider.GetBytes(byteArray)randomNum = (BitConverter.ToInt32(byteArray, 0) Mod 10) + 1总结以上是VB中生成随机数的几种方法。

临床试验中的随机分组方法真正的随机化应符合下列原则:(1)医生和患者不能事先知道或决定患者将分配到哪一组接受治疗;(2)医生和患者都不能从一个患者已经进入的组别推测出下一个患者将分配到哪一组。

随机序列的产生可以采用计算机、计算器、随机数字表和抛硬币的方法来实现。

随机分组方法包括:简单随机化(simple randomization)、区组随机化(blockrandomization)、分段(或分层)随机化(stratifiedrandomization)、分层区组随机化(stratified blockrandomization )动态随机化( dynamicrandomization)1.1 简单随机化分组简单随机化分组又称为完全随机化分组,是对研究对象直接进行随机分组,常通过掷硬币或随机数字表,或用计算机产生随机数来进行随机化,在事先或者实施过程中不作任何限制和干预或调整。

简单随机化分组方法对小样本试验操作起来很简单,但是如果研究对象例数较少时,则各组例数会出现不平衡现象。

例如,掷硬币的方法在小样本的试验中由于随机误差难以保证组间病例数的均衡。

有研究表明,当总例数为100时,每组刚好50例的概率仅为8%。

因此,采用随机数字表的方法,以及随机数余数分组法可以很好地解决这个问题,使分组后各组例数相等。

操作步骤:(1)编号:将N个实验单位从1到N编号。

动物可按体重大小,患者可按预计的样本量编号;(2)获取随机数字:从随机数字表中任意一个数开始,沿同一方向顺序获取每个实验单位一个随机数字;(3)求余数:随机数除以组数求余数。

若整除则余数取组数;(4)分组:按余数分组;(5)调整:假如共有n例待调整,需要从中抽取1例,便续抄一个随机数,除以n后将得到的余数作为所抽实验单位的序号(若整除则余数为n)。

例1:欲将15例病例随机等分到3个组中去。

方法:从随机数字表中任意选择起始数,现将从第5行第5列开始向右的随机数按随机数余数分组的分类结果列于表1中。

随机数生成及蒙特卡洛方法随机数在计算机科学和统计学中扮演着至关重要的角色。

它们被广泛应用于模拟实验、密码学、金融建模等领域，而蒙特卡洛方法则是一种利用随机数来解决复杂问题的计算方法。

本文将介绍随机数的生成方法以及蒙特卡洛方法的基本原理与应用。

一、随机数的生成方法在计算机上生成真正的随机数是一项具有挑战性的任务，因为计算机是基于确定性逻辑的。

为了产生接近于真正随机的数字序列，我们通常使用伪随机数生成器（Pseudorandom Number Generator，PRNG）。

下面是一些常见的随机数生成方法：1. 线性同余法（Linear Congruential Method）线性同余法是一种简单且高效的随机数生成方法。

它基于一个递推公式：Xn+1 = (A Xn + C) % M，其中Xn为当前随机数，A、C、M为事先选定的参数。

尽管该方法具有周期性和一致性的局限性，但对于一般应用来说已经足够。

2. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm）梅森旋转算法是一种高质量的随机数生成方法，具有较长的周期和良好的统计特性。

它是目前应用广泛的伪随机数生成器之一，被用于各种科学计算和模拟实验中。

3. 硬件随机数除了软件生成的伪随机数之外，还可以利用计算机硬件中的随机性来生成随机数。

例如，利用鼠标移动、键盘敲击、电子噪声等硬件事件作为随机源，通过特定的算法进行处理，生成真随机数序列。

二、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种利用随机数和统计学原理来解决问题的计算方法。

它通过生成大量的随机样本，通过统计分析得出问题的数值解。

下面是蒙特卡洛方法的基本原理和应用：1. 基本原理蒙特卡洛方法的基本原理是利用概率统计的知识，通过大量的随机抽样和统计分析来近似求解问题。

它的核心思想是将问题转化为随机试验，通过统计样本来获得问题的解。

2. 应用领域蒙特卡洛方法在各个领域都有广泛的应用。

在金融领域，蒙特卡洛方法可以用于计算期权定价、风险管理等；在物理学领域，蒙特卡洛方法可以用于粒子运动模拟、相变研究等；在计算机图形学中，蒙特卡洛方法可以用于渲染算法、光线追踪等。

随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_ 班级：_ 学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计2实验目的 2实验原理 2实验内容及实验结果 3实验小结 6实验二随机过程的模拟与数字特征7实验目的7实验原理7实验内容及实验结果8实验小结11实验三随机过程通过线性系统的分析12实验目的12实验原理12实验内容及实验结果13实验小结17实验四窄带随机过程的产生及其性能测试18实验目的18实验原理18实验内容及实验结果18实验小结23实验总结23实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。

2.实现随机序列的数字特征估计。

实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，U(0,1)。

即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。

定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。

(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

修改后Jadad量表（1-3分视为低质量，4-7分视为高质量）随机序列的产生1恰当：计算机产生的随机数字或类似方法（2分） 2不清楚：随机试验但未描述随机分配的方法（1分） 3不恰当：采用交替分配的方法如单双号（0分）随机化隐藏1恰当：中心或药房控制分配方案、或用序列编号一致的容器、现场讣算机控制、密封不透光的信封或其他使临床医生和受试者无法预知分配序列的方法（2分） 2不清楚：只表明使用随机数字表或其他随机分配方案（1分） 3不恰当：交替分配、病例号、星期日数、开放式随机号码表、系列编码信封以及任何不能防止分组的可预测性的措施（0分） 4未使用（0分）盲法1恰当：采用了完全一致的安慰剂片或类似方法（2分） 2不清楚试验陈述为盲法，但未描述方法（1分） 3不恰当：未采用双盲或盲的方法不恰当，如片剂和注射剂比较（0分）撤出与退出1描述了撤出或退出的数U和理山（1分） 2未描述撤出或退出的数U或理山（0分）Jdckd评分表:1随机分组序列的产生方法2分：通过计算机产生的随机序列或随机数表产生的序列 1分：试验提到随机分配，但产生随机序列的方法未予交待 0分：半随机或准随机试验，指采用交替分配病例的方法，如入院顺序、出生日期单双数 2双盲法 2分：描述了实施双盲的具体方法并且被认为是恰当的，如采用完全一致的安慰剂等 1分：试验仅提及采用双盲法 0分：试验提及釆用双盲，但方法不恰当，如比较片剂与注射剂而未提及使用双伪法 3退出与失访 1分：对退出与失防的病例数和退出理山进行了详细的描述 0分：没有提到退出与失防备注：该表未强调随机方案的隐藏这一质量因素修改后Jdad量表（1-3分视为低质量，47分视为高质量）随机序列的产生1恰当：计算机产生的随机数字或类似方法（2分）2不清楚随机试验但未描述随机分配的方法（1分）3不恰当：采用交替分配的方法如单双号（0分）随机化隐藏1恰当：中心或药房控制分配方案、或用序列编号一致的容器、现场讣算机控制、密封不透光的信封或其他使临床医生和受试者无法预知分配序列的方法（2分） 2不清楚：只表明使用随机数字表或其他随机分配方案（1分）3不恰当：交替分配、病例号、星期日数、开放式随机号码表、系列编码信封以及任何不能防止分组的可预测性的措施（0分） 4未使用（0分）盲法1恰当：采用了完全一致的安慰剂片或类似方法（2分） 2不清楚：试验陈述为盲法，但未描述方法（1分） 3不恰当：未采用双盲或盲的方法不恰当，如片剂和注射剂比较（0分）撤出与退出1描述了撤出或退出的数U和理111 （1分） 2未描述撤出或退出的数U或理山（0分）Jadad评分量表介绍Jadad 在 1996 发表在 Controlled Clinical Trials 上的题为 Assessing theQuality of Reports of Randomized Clinical Trials: Is BlindingNecessary的论文中详细介绍了一种评价随机对照试验纳入meta分析和系统综述中的质*评价方法，被称为JADAD *表。

excel随机生成数字或者字母、以及指定范围生成随机字符串1、生成随机数字(1)生成随机数比较简单，=rand()即可生成0-1之间的随机数；(2)如果要是整数，就用=int(rand())*10，表示0至9的整数，以此类推；另外RANDBETWEEN（a,b）可返回a到b之间的随机整数（不过此函数需加载宏“分析工具库”）(3)如果要生成a与b之间的随机实数，就用=rand()*(b-a)+a，如果是要整数就用=int(rand()*(b-a))+a；稍微扩充一下，就能产生固定位数的整数了。

注意：如果要使用函数rand()生成一随机数，并且使之不随单元格计算而改变，可以在编辑栏中输入“=rand()”，保持编辑状态，然后按F9，将公式永久性地改为随机数。

不过，这样只能一个一个的永久性更改，如果数字比较多，也可以全部选择之后，另外选择一个合适的位置粘贴，粘贴的方法是点击右键，选择“选择性粘贴”，然后选择“数值”，即可将之前复制的随机数公式产生的数值（而不是公式）复制下来！2、产生随机字母随机小写字母：=CHAR(INT(RAND()*26)+97)或=CHAR(RANDBETWEEN(97,122))随机大写字母：=CHAR(INT(RAND()*26)+65)或=CHAR(RANDBETWEEN(65,90))随机大小写混合字母：=CHAR(INT(RAND()*26)+if(INT(RAND()*2)=0,65,97))或=IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(RANDBETWEEN(97,122)),CHAR(RANDBETWEEN(65,90)))3、产生随机的六位数的字母和数字混合=CONCATENATE(IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RA ND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT( RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(I NT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),I F(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CH AR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHA R(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48) ),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))))产生随机的10位数的大小写混合字母和数字混合：=CONCATENATE(IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0, CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(IN T(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*2 5+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT (RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()* 9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF( INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*2 5+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(I NT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAN D()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CH AR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND ()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,C HAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(R AND()*25+97)))),IF(INT(RAND()*2)=0,CHAR(INT(RAND()*9+48)),IF(INT(RAND()*2)=0,C HAR(INT(RAND()*25+65)),CHAR(INT(RAND()*25+97)))))4、随机不重复数字序列的生成方法有些情形下，我们需要生成一个不重复的随机序列。

C语言中产生随机数的方法在C语言中，可以使用多种方法产生随机数。

下面将介绍三种常用的方法：使用rand函数、使用srand函数、使用时间戳作为种子。

1. 使用rand函数：rand函数是C标准库中用于产生伪随机数的函数，其返回一个介于0至RAND_MAX之间的随机整数。

使用rand函数需要包含stdlib.h头文件。

```#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int maiint i, n;printf("输入一个整数：");scanf("%d", &n);//产生n个随机数for (i = 0; i < n; i++)printf("%d\n", rand();}return 0;```2. 使用srand函数：srand函数用于设置rand函数的种子，通过设置不同的种子可以获取不同的随机数序列。

使用srand函数需要包含stdlib.h头文件。

```#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int maiint i, n;printf("输入一个整数：");scanf("%d", &n);//设置种子为当前时间//产生n个随机数for (i = 0; i < n; i++)printf("%d\n", rand();}return 0;```3.使用时间戳作为种子：```#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int maiint i, n;printf("输入一个整数：");scanf("%d", &n);//获取当前时间的时间戳//产生n个随机数for (i = 0; i < n; i++)printf("%d\n", rand();}return 0;```以上就是在C语言中产生随机数的三种常用方法。

4
2、任意分布随机数的产生
反函数法
变换法
（1）反函数法
定理：如果随机变量X具有连续分 布函数FX(x)，而r=是(0,1)上均匀 分布的随机变量，则X=Fx-1(r)
证明：
P{X x} P{FX1 (r ) x} P{r FX ( x)} FX ( x) /1 FX ( x)
ai1 ki1 / a11
i 2,3
2 a jj k j j a jk k 1
a21 k21 / a11 a /1 a
2 a22 k22 a21 1 a2
j 1 1 aij a jj ki j aik a jk k 1
蒙特卡洛模拟的基本步骤
建立合适的概率模型 重复试验的次数称 为蒙特卡洛仿真次 数，试验次数越多， 精度越高
进行多次重复试验
对重复试验结果进行 统计分析（估计频率、 均值等）、分析精度
蒙特卡洛方法可以求解复杂系统的计算问题， 如雷达检测系统的检测概率
3
二、随机序列的产生
1、均匀随机数的产生 蒙特卡洛方法需要大量的重复的随机试验，重复 试验需要大量的服从一定分布的随机数随机数， 各种分布的随机数通常都是通过均匀分布的随机 数变换来的。因此，产生高质量的均匀分布的随 机数十分重要。 产生的要求：满足均匀性、独立性，避免周期 重复（或者重复的周期要长） 基本方法：平方取中法、乘同余法、混合同余法
1/ 2
在算出第1,2,...j-1列元素后， 第j列的主对角元素为
2 a jj k j j a jk k 1
1 jj
主对角线以下的元素为
j 1 aij a ki j aik a jk k 1

随机数生成及‎各概率分布一．随机数生成及‎（0，1）均匀分布1.乘同余法生成‎随机数：乘同余法的迭‎代式如下:Xn+1=Lamda*Xn(mod M)Rn+1=Xn/M这里取X0=1,Lamda=7^5,M=2^31-1;利用乘同余法‎生成的300‎个（0，1）之间的随机数‎为（这里仅显示2‎00个数据）0.0000 0.1315 0.7556 0.4587 0.5328 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711 0.0077 0.3834 0.0668 0.4175 0.6868 0.5890 0.9304 0.8462 0.5269 0.0920 0.6539 0.4160 0.7012 0.9103 0.7622 0.2625 0.0475 0.7361 0.3282 0.6326 0.7564 0.9910 0.3653 0.2470 0.9826 0.7227 0.7534 0.6515 0.0727 0.6316 0.8847 0.2727 0.4364 0.7665 0.4777 0.2378 0.2749 0.3593 0.1665 0.4865 0.8977 0.9092 0.0606 0.9047 0.5045 0.5163 0.3190 0.9866 0.4940 0.2661 0.0907 0.9478 0.0737 0.5007 0.3841 0.2771 0.9138 0.5297 0.4644 0.9410 0.0501 0.7615 0.7702 0.8278 0.1254 0.0159 0.6885 0.8682 0.6295 0.7362 0.7254 0.9995 0.8886 0.2332 0.3063 0.3510 0.5133 0.5911 0.8460 0.4121 0.8415 0.2693 0.4154 0.5373 0.4679 0.2872 0.1783 0.1537 0.5717 0.8024 0.0331 0.5344 0.4985 0.9554 0.7483 0.5546 0.8907 0.6248 0.8420 0.1598 0.2128 0.7147 0.1304 0.0910 0.2746 0.0030 0.4143 0.0269 0.7098 0.9379 0.2399 0.1809 0.3175 0.8870 0.6521 0.1503 0.6813 0.3858 0.3877 0.4997 0.1475 0.5872 0.8456 0.5901 0.9554 0.5561 0.1482 0.9833 0.4088 0.1418 0.5649 0.2521 0.4885 0.4640 0.9611 0.1260 0.1998 0.3192 0.6293 0.1267 0.6513 0.6216 0.8031 0.2478 0.4764 0.3893 0.2033 0.0284 0.9017 0.4265 0.1420 0.9475 0.4103 0.1312 0.8856 0.0922 0.1622 0.0711 0.3653 0.2531 0.1351 0.7832 0.4553 0.3495 0.4523 0.8089 0.9317 0.6516 0.2152 0.6796 0.9089 0.2501 0.8609 0.4713 0.5060 0.6004 0.8176 0.7558 0.4622 0.9514 0.6327 0.4393 0.8247 2.（0，1）均匀分布数据‎的检验（1）通过计算得均‎值为()5081.0=X E ，二阶矩为()3423.02=X E ，方差为0842.02=S（2）均基本满足（0，1）均匀分布的均‎值()21=X E ，二阶矩为()312=X E ，方差为1212=S 所以认为该随‎机序列基本上‎符合（0，1）均匀分布。

摘要摘要本文着重讨论了随机数生成方法、随机数生成法比较以及检验生成的随机序列的随机性的方法。

在随机序列生成方面，本文讨论了平方取中法、斐波那契法、滞后斐波那契法、移位法、线性同余法、非线性同余法、取小数法等，并比较了各方法的优劣性。

在统计检验方面，介绍了统计检验的方法，并用其检验几种随机数生成器生成的随机数的随机性。

最后介绍了两种新的随机数生成法，并统计检验了生成随机序列的随机性。

关键词：随机数，随机数生成法，统计检验IABSTRACTABSTRACTThis article focuses on methods of random number generator, random number generation method comparison and test the randomness of the generated random sequence method.In random sequence generation, the article discusses the square method, Fibonacci method, lagged Fibonacci method, the shift method, linear congruential method, linear congruence method, taking minority law, and Comparison of advantages and disadvantages of each method.In statistical test, the introduction of the statistical test method, and used to test some random number generator random random numbers generated.Finally, two new random number generation method, and statistical tests of randomness to generate a random sequence.Key Words: random number，random number generator，statistical testII目录第1章引言 (1)1.1 课题背景 (1)1.2 课题的价值及意义 (1)1.3 课题的难点、重点、核心问题及方向 (1)第2章随机数 (3)2.1 基本概念 (3)2.2 产生随机数的一般方法 (3)2.3 随机数生成的数学方法 (4)2.4 产生随机数的方法种类 (5)2.5 随机数的应用 (6)第3章常见随机数生成法与比较 (7)3.1 平方取中法 (7)3.1.1 迭代算法 (7)3.1.2 平方取中法的优缺点 (7)3.2 斐波那契(Fibonacci)法 (8)3.3 滞后斐波那契(Fibonacci)法 (9)3.4 移位法 (9)3.5 线性同余法 (10)3.5.1 模数的选取 (10)3.5.2 乘数的选取 (11)3.5.3 线性同余法的缺陷 (12)3.5.4 广义线性同余法 (12)3.6 非线性同余法 (13)3.6.1 逆同余法 (13)3.6.2 二次同余法 (14)3.6.3 三次同余法 (14)3.6.4 BBS法 (14)3.7 取小数法 (14)III3.8 常见随机数生成法的比较 (15)第4章随机数生成法的统计和检验 (16)4.1 检验类型 (16)4.2 统计检验的一般方法 (16)4.2.1 参数检验 (17)4.2.2 均匀性检验 (18)4.2.3 重要分布 (18)4.2.4 重要定理 (19)4.2.5 卡方检验 (20)4.2.6 柯氏检验 (20)4.2.7 序列检验 (21)4.3 独立性检验 (22)4.4 对线性同余法和取小数法进行随机性检验 (22)第5章新的随机数生成法 (24)5.1 开方取小数法 (24)5.2 一种混合型随机数发生器 (28)5.2.1 超素数长周期法 (28)5.2.2 组合发生器的研究 (30)5.2.3 随机数算法统计检验结果 (30)结束语 (32)参考文献 (33)致谢 (34)外文资料原文 (35)翻译文稿 (37)IV第1章引言第1章引言1.1课题背景随机数(随机序列)在不同的领域有许多不同类型的应用。