3.2.2 函数模型的应用实例
1．用已知函数模型解决实际问题
解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．
第二步：根据所给模型，列出函数关系式．
根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．
第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．
【例1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽
开花．经测定，古莲子出土时14C(半衰期为5 730年)的残余量占原始含量的87.9%，试推算
古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若14C 的原始含量为Q 0，则经过t 年后的残余量Q 与Q 0
之间满足Q ＝Q 0·e －kt )．
解析：利用半衰期求出参数k ，再根据出土的古莲子14C 的残余量求出古莲子的生活年
代．
解：已知残余量Q 与Q 0之间满足Q ＝Q 0·e －kt ，其中Q 0是初始量，t 是时间．
因为半衰期为5 730年，即当
012Q Q 时，t ＝5 730． 所以e －5 730k ＝
12
，解得k ≈0.000 12．所以Q ＝Q 0·e －0.000 12t ． 由题目条件得0Q Q ＝87.9%，代入上式，解得t ≈1 075． 故古莲子的生活年代约是1 075年前．
2．建立函数模型解决实际问题
通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：
第一步：收集数据．
第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图．
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．
第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．
【例2
则x ，y )
A ．y ＝a ＋bx
B ．y ＝b x
C ．y ＝
2
a x ＋
b D ．y ＝b x
解析：散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A 选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除C ，D 选项，故选择B ．
答案：B
3．已知函数模型的应用题
(1)常用到的函数模型：
①正比例函数模型：y ＝kx (k ≠0)；
②反比例函数模型：y ＝cx d ax b
++(a ≠0)； ③一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)；
④二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
⑤指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a ＞0，且a ≠1，m ≠0)；
⑥对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a ＞0，且a ≠1)；
⑦幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．
(2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型．随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色．
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【例3－1】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系式为 2 000ln 1M v m ??=+
???
．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s? 解：由12 000＝2 000ln 1M m ??+ ???，即6＝ln 1M m ??+ ??
?
， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m ≈402． 故当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s ．
【例3－2】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，
剩余水y L 满足函数关系式y ＝a e －nt ，那么乙桶的水就是y ＝a －a e －nt ，假设经过5 min ，甲
桶和乙桶的水相等，则再经过__________min ，甲桶中的水只有
8a L ． 解析：由题意可得5 min 时，a e －5n ＝12a ，解得1ln 25
n =． 那么剩余水y L 满足的函数关系式为1ln 25t y ae -=．
由1ln 251e 8
t a a -=，解得t ＝15． 因此，再经过10 min 后，甲桶中的水只有
8a L ． 答案：10
点技巧 解决已知函数模型应用题的方法 一般来说，若题中已给出了函数模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解．
4．一次函数模型的应用
现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等．对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数．
一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
【例4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km ．火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．
解析：由“匀速行驶”可知总路程s 关于时间t 的函数为一次函数，注意时间t 的范围限制．
解：因为火车匀速行驶的时间为27713111205-=(h)，所以0≤t ≤115
． 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t 1105t ??≤≤ ??
?
． 故离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)． 5．二次函数模型的应用
(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省问题．
(2)在应用题中能够列出函数的解析式
解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：
①待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式．
②归纳法：先让自变量x 取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式．
③方程法：用x ，y 表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出x ，y 的二元方程，把x 看成常数，解方程得y (即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法．
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【例5－1】有A ，B 两城相距100 km ，在A ，B 两城之间距A 城x km 的D 地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km ．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A 城供电量为20亿度/月，B 城供电量为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A 城多远时，才能使供电费用最小？
解：(1)由题意：y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]＝2
100500007.533x ??-+ ???．∵x ≥10，且100－x ≥10，∴10≤x ≤90．
∴函数的定义域为[10,90]．
(2)由二次函数知当1003
x =
时，y 最小， 因此当核电站建在距离A 城1003 km 时，供电费用最小． 【例5－2】某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34
，设该企业裁员x 人后年纯收益为y 万元． (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．
(2)当140＜a ≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)
解：(1)由题意可知，
y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝21140100100100a x x a ??-
+-+ ???
． ∵a －x ≥34a ，∴x ≤14a ，即x 的取值范围是区间0,4a ??????中的自然数． (2)∵22
11707010021002a a y x a ??????=---+-+ ? ???????
??，且140＜a ≤280，∴当a 为偶数时，x ＝2
a －70，y 取最大值． 当a 为奇数时，x ＝12a -－70，y 取最大值(∵尽可能少裁人，∴舍去1702
a x =-＋)． ∴当员工人数为偶数时，裁员702a ??- ???人，才能获得最大的经济效益； 当员工人数为奇数时，裁员1702a -??- ???
人，才能获得最大的经济效益． 6．指数函数模型的应用
(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律．
(2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．
(3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型．
【例6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50 g ，经过一年后质量变为40 g ．
(1)设x (x ≥0)年后，这种放射性元素的质量为y g ，写出y 关于x 的表达式；
(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
思路解析：本题属于降低率问题，建立指数函数模型解决．
解：(1)由题意可知每经过一年该放射性元素衰减的百分率为
504050-＝20%，故y ＝50(1－20%)x ，则y ＝50×0.8x (x ≥0)．
(2)由题意知50×0.8x ＝25，即0.8x ＝0.5，
则lg 0.8x ＝lg 0.5，从而可知x lg 0.8＝lg 0.5．
因此x ＝lg 0.5lg 20.3010lg 0.83lg 210.90301
--=≈--≈3.1． 故约经过3.1年这种放射性元素的质量变为原来的一半．
析规律 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关增长率(减少率)问题常常用指数函
数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1±p )x ，其中N 为基础数，p 为增长率(减少率)，x 为时
间，增长率问题取“＋”，减少率问题取“－”．
7．对数函数模型的应用
形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数是对数函数，a ＞1时，此函数为增函数；0＜a ＜1时，此函数为减函数．虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们要知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
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【例7】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝25log 10
Q ，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得0＝2
5log 10Q ，解得Q ＝10．故燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得v ＝2805log 10
＝5log 28＝15(m/s)． 故当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s ．
8．分段函数模型的应用
由于分段函数与日常生活联系紧密，已成为考查的热点；对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．
例如，某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．试写出订购量与实际出厂单价的函数关系式．
解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为100＋60510.02
-＝550个． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，
当0＜x ≤100时，P ＝60，
当100＜x ＜550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－
50
x ，
当x≥550时，P＝51，
所以P＝f(x)＝
60,0100,
62,100550,
50
51,550.
x
x
x
x
<≤
?
??
-<<
?
?
≥
??
【例8】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解：(1)当甲的用水量不超过4 t，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4 t，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x≤4且5x＞4时，
y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8；
当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x＞4时，y＝24x－9.6．
故
4
14.4, 0,
5
44
20.4 4.80,,
53
4
249.6,.
3
x x
y x x
x x
?
≤≤?
?
?
=-<≤
?
?
?
->
?
?
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，
当x∈
4
0,
5
??
??
??
时，y≤
4
5
f
??
?
??
＝11.52＜26.4；
当x∈
44
,
53
??
?
??
时，y≤
4
3
f
??
?
??
＝22.4＜26.4；
当x∈
4
,
3
??
+∞
?
??
时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，
因此5x＝7.5，甲户用水量为7.5 t，
甲应付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)．
3x＝4.5，乙户用水量为4.5 t．
乙应付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)．
点技巧分段函数解析式的求法分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，从而写出函数的解析式．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．
9．拟合函数模型的应用
(1)此类题目的解题步骤
①作图：根据已知数据作出散点图．画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点．当然，如果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图．
②选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，利用“假设”，找出比较接近的函数模型．这要求会根据图象形状估计函数模型：
图象是直线，那么函数模型是一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)；
图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
图象位于某条垂直于y轴的直线一侧，与y轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那
么函数模型是指数函数模型；
图象位于某条垂直于x 轴的直线一侧，与x 轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是对数函数模型．
③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
(2)关于“假设”问题
就一般的数学建模来说，是离不开“假设”的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了．“假设”的作用主要表现在以下几个方面：
①进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗．在“假设”时就可以设这些因素不需考虑．
②降低解题难度．经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化，从而得到相应的解．
一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．
【例9】某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
A 才合算．请你帮助设计一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
观察散点图可以看出：A 种商品的所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：
取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，
解得a ＝－0.15．故y ＝－0.15(x －4)2＋2．
B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：
设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入得0.25,14,k b k b =+??
=+? 解得0.25,0.k b =??=?
故y ＝0.25x ．
因此前6个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前6个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x ． 设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，则
212,0.15(4)20.25,
A B A B A B x x W y y x x +=??=+=--++? 于是W ＝－0.152196A x ??- ???＋0.15×2196?? ???
＋2.6， 当x A ＝196
≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元． 此时x B ≈8.8(万元)．
故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．