（第6题图）
2016—2017学年度下学期高三二轮复习
数学（理）综合验收试题（6）【新课标】
第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目
要求的。 1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =
A ．)0,0(
B ．{}0
C ．{})0,0(
D ．?
2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x y
i ++的值为 （ ）
A ．4
B ．4+4i
C ．4-
D ．2i
3．由函数3cos ,(02)12
y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积
（ ）
A ．4
B ．
12
3+π
C ．
12
π
+ D ．π2
4．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β
B ．当α?b 时，若b ⊥β，则βα⊥
C ．当α?b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥b
D ．当α?b ，且α?c 时，若c ∥α，则b ∥c
5．已知θ是第三象限角，m =|cos |θ，且02
cos
2
sin
>+θ
θ
，
则2
cos
θ
等于（ ）
A ．21m +
B ．2
1m +-
C ．
21m - D ．2
1m
-- 6．执行如图所示的算法程序,输出的结果是（ ）
A ．24,4
B ．24,3
C ．96,4
D ．96,3
7．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈ 的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则b
a
的取值范围是 （ ）
A ．]2
1
,
2[--
B ．12,2??-- ???
C ．]2,
2
1[
D ．)2,
2
1( 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右
图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为 （ ） A ．20 B ．25 C ．30 D ．
35
9．已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件
????
?≤?≤≤?≤-,
21,
22 则?的最大值为 （ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．15
10．在正三棱锥A 一BCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A 一BCD
的体积等于 （ ）
A ．
12
12
B ．
24
2
C ．
12
3
D ．
24
3
11．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其
中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 （ ）
A ．3
8C 种
B ．3
8A 种
C ．39C 种
D ．3
11C 种
12．已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象
上，若△21F AF 的面积为1，且2
1
ta
n 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ）
A ．1351222
=-y x B ．131252
2=-y x C ．15
1232
2
=-y x D ．
112
532
2=-y x
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 13．设n x x )3(2
131+的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系
数之和为h ，若h+ t=272，则二项展开式为x 2
项的系数为 。
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
____________； 15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各
节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 16．设函数)(x f 的定义域为D ,若存在非零常数l 使得对于任意
)(D M M x ?∈有D l x ∈+且)()(x f l x f ≥+,则称)(x f 为
M 上的l 高调函数．对于定义域为R 的奇函数)(x f ,当22)(,0a a x x f x --=≥,若)(x f 为R 上的4高调函数,则实数a 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本题满分12分）已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=
a （sin x ，2），=
b （2sin x ，
2
1
），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ?）＞f （d c ?）的解集．
18、（本题满分12分）已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()
*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若函数(),2,1
111)(321≥∈++
++++++=
n N n a n a n a n a n n f n
且 求函数)(n f 的最小值；
19、（本题满分12分）一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记
0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋。 （1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；
（2）求该人两次投掷后得分ξ的数学期望E ξ。
20、（本题满分12分如图，四边形ABCD 为矩形，且
2,1AD AB ==，PA ABCD ⊥平面，E 为BC 上的动点。 （1） 当E 为BC 的中点时，求证：PE DE ⊥；
（2） 设1PA =，在线段BC 上存在这样的点E ，使得二面角
P ED A --的平面角大小为
4
π
。试确定点E 的位置。
21、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x
好是抛物线2
4
1x y =
的焦点， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若12,,MA AF MB BF λλ==
12λλ+求证：为定值．
22、（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)f x x x a x =+-+，其中a 为常数． （Ⅰ）当[1,]x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）求()()1
ax
g x f x x '=-+的单调区间．
第20题图
D
P
参考答案
一、选择题
1．C ；2．C ；3．B ；4．B ；5．D ；6．B ；7．B ；8．C ；9．A ；10．B ；11．（A ；12．A ； 二、填空题
13．1；，60，15 14．π348+；15．66
67
；16．11a -≤≤； 三、解答题
17．设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1一x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）
因为
12
)
1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，
由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，……………………3分
若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数． ∵ x (sin =?b a ，x sin 2()2?，11sin 2)2
12
≥+=x ，x 2(cos =?d c ，1)(1,2)?
122cos ≥+=x ，
∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+?>??x f x f f f d c b a 1sin 22
+?x
02cos 222cos 12cos 122cos +-?+>x x x x 02cos
ππ2+
?k 2
3π
π22+
< π34π< π4 π 3≤ π 34π|{< }π4π 3≤ 即11=-+n n a a ，且11=a ；……………………3分 数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列 )2(1)1(1≥=?++=n n n a n ，11=a 同样满足，所以n a n =……………………6分 （Ⅱ）n n n n f 212111)(+++++= 2 21 121413121)1(+++++++++=+n n n n n n f 01 1 22122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+n n n n n n n f n f 所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是12 7 )2(= f ……………………12分 19（1）“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A ，B ，C ． 则4 1 10025)()(,2110050)(=====C P B P A P 因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为 4 1)211()21()3(3 344=-=C P …………………………………6分 （2）两次投掷得分ξ的得分可取值为0，1，2，3，4…………………………………7分 则：16 1 )()()0(= ==C P C P P ξ 8 141412)()()1(12=??===C P B P C P ξ 165)()()()()2(12=+==B P B P C P A P C P ξ 41)()()3(1 2= ==C P A P C P ξ；4 1 )()()4(===A P A P P ξ…………………………………10分 2 5 41441316528111610=?+?+?+?+? =∴ξE …………………………………12分 20．方法一：（1） 证明：当E 为BC 的中点时，1EC CD ==，从而DCE 为等腰直角三角形， 则45DEC ∠= ，同理可得45AEB ∠= ，∴90AED ∠= ，于是DE AE ⊥，………1分 又PA ABCD ⊥平面，且DE ABCD ?平面，∴PA DE ⊥，AE PA A = 。………2分 ∴DE PAE ⊥平面，又PE PAE ?平面，∴DE PE ⊥。……………………4分 （也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理） （还可以分别算出PE ，PD ，DE 三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分） （2） 如图过A 作AQ DE ⊥于Q ，连,A E P Q ，则P Q D E ⊥，………………………6分 ∴PQA ∠为二面角P ED A --的平面角． ……………8分 设BE x =，则2CE x =-． ,, 1.4 Rt PAQ PQA AQ PA π ?∠= ∴== 在中……………9分 ,,,Rt ABE AE Rt AQE EQ x ?=∴?= 在中在中 Rt AQD DQ ?=在中于是 DE x = ………………………………10分 Rt DCE ?在中 ，有22((2)1x x =-+解之得2x = 点E 在线段BC 上距B 点的32-处。………………………12分 方法二、向量方法．以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图………………………………1分 （1）不妨设AP a =，则(0,0,),(1,1,0),(0,2,0)P a E D ， 从而(1,1,),(1,1,0)PE a DE =-=- ，………………………2分 于是(1,1,)(1,1,0)110PE DE a =--=-= ， 所以,PE DE ⊥ 所以PE DE ⊥ ………………………………4分 （2）设BE x =，则(0,0,1),(1,,0),(0,2,0)P E x D ， 则(1,,1),(1,2,0)PE x DE x =-=- ………………………………………………6分 易知向量(0,0,1)AP = 为平面AED 的一个法向量．设平面PDE 的法向量为(,,)n a b c = ， 则应有0,0,n PE n DE ??=???=?? 即0(2)0a bx c a b x +-=?? +-=?解之得2c b =，令1,b =则2c =，2a x =-， 从而(2,1,2)n x =- ，………………………………………………………………10分 依题意cos 42n AP n AP π== = 解之得12x = ，22x =11分 所以点E 在线段BC 上距B 点的32-处。………………………………………………12分 21．解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ， 因为抛物线2 4 1x y = 的焦点坐标是(0,1) 所以由题意知b = 1． 又有 2 5.a ∴= ∴椭圆C 的方程为.15 22 =+y x …………………………………………4分 （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 易知右焦点F 的坐标为（2，0）． 1110111, (,)(2,).MA AF x y y x y λλ=∴-=-- 01111 1 2,.11y x y λλλ==++即……6分 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(5121 021 1=+++λλλy 去分母整理得.055102 0121=-++y λλ ………………………………………9分 222220,:10550.MB BF y λλλ=++-= 同理由可得 22120,10550,x x y λλ∴++-=是方程的两个根 .1021-=+∴λλ …………12分 方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）． 显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 .052020)51(2222=-+-+k x k x k ………………………………8分 .51520,51202 2212221k k x x k k x x +-=+=+∴ 又.2,2,,2 2 211121x x x x -=-= ==λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(2222 1212 121221121-==++--+=-+-= +∴ x x x x x x x x x x x x λλ……………………12分 22．（Ⅰ）由()ln(1)01x f x x a x '=++ ->+得ln(1)1x a x x <+++………2分 令()ln(1)1x h x x x =++ +，则2 11()1(1) h x x x '=+++ 当[1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>在[1,]+∞上单调递增．…………………………4分 1(1)ln 22a h ∴<= + a ∴的取值范围是1,ln 22?? -∞+ ??? ．…………………………6分 （Ⅱ）(1)()ln(1),(1,)1 a x g x x a x x -=++-∈-+∞+ 则22 112()1(1)(1)a x a g x x x x -+-'= +=+++…………………………8分 ① 当1a >时，(1,2),()0,()x a g x g x '∈--<是减函数． (2,)x a ∈-+∞时，()0,()g x g x '>是增函数．…………………………11分 ② 当1a ≤时，(1,),()0,()x g x g x '∈-+∞>是增函数． 综上；当1a >时，增区间为[2,)a -+∞，，减区间为(1,2]a --； 当1a ≤时，增区间为(1,)-+∞．…………………………14分
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